對比拓展 讓復習課更高效生動

梁修曦

摘 要：本文以 “橢圓中的定點問題”復習課為例，探討了 “證定點”和“找定點”兩類問題的通性通法和巧解.并層層遞進，對比漸變，推廣出了一般性結論.

關鍵詞：定點問題;通性通法;復習課

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）04-0011-02

一、課堂再現

問題1 如圖1，已知橢圓C的方程為x24+y2=1，過點A（0，1）作兩條互相垂直的直線l1和l2，分別交橢圓于M、N 兩點，試證明：直線MN恒過定點，并求出該定點的坐標.圖1

生1：可設直線l1的方程為y=k1x+1，則直線l2的方程為y=-1k1x+1，聯立橢圓C與直線l1和l2的方程，可求得M、N兩點的坐標，進而寫出直線MN的方程，并求出恒過的定點坐標.

生2：也可直接設MN的方程為y=kx+m，利用kAM·kAN=-1求得m與k的關系式，從而得到定點的坐標.

師：這兩種思路都很好，請你們寫出求解過程.

生1：聯立直線l1與橢圓的方程，可求得M點坐標（-8k14k21+1，1-4k214k21+1），只需將其中的k1換成-1k1，即得N點坐標（8k14+k21，k21-44+k21），故直線MN的方程為y-k21-44+k21=k21-15k1（x-8k14+k21），化簡為y=k21-15k1x-35，它恒過定點（0，-35）.

生2：聯立直線MN的方程y=kx+m與橢圓C方程，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0，記M（x1，y1），N（x2，y2），則有x1+x2=-8km4k2+1，x1x2=4m2-44k2+1（*）

由kAM·kAN=-1可得y1-1x1·y2-1x2=-1，即（k2+1）x1x2+k（m-1）（x1+x2）+（m-1）2=0，將（*）式代入可得m=-35，直線MN的方程y=kx-35，恒過定點（0，-35）.

師：這兩種方法均為證明直線恒過定點問題的通性通法. 比較來看，那種方法稍好一些呢？

生3：方法1思路簡潔，依照題意直接計算即可.

生4：方法2目標明確，求哪條直線過定點，就設哪條直線方程為y=kx+m，再尋找m與k的關系式，計算都很常規.

生5：兩種方法都差不多.

師：既然大家難以取舍，接下來我們看變式1，再次體驗一下.

變式1 在問題1中，將A點坐標改為（2，0），其他條件和求證不變.

生6：我采用的是方法2，由kAM·kAN=-1可得y1x1-2·y2x2-2=-1，即（k2+1）x1x2+（mk-2）（x1+x2）+m2+4=0，將（*）式代入，可得5m2+16km+12k2=0，故m=-2k（舍）或m=-65k，直線MN的方程y=k（x-65），恒過定點（65，0）.

生7：我采用的是方法1，設直線l1的方程為y=k1（x-2），可求得M點坐標（8k21-24k21+1，-4k14k21+1）， N點坐標（8-2k214+k21，4k14+k21），故直線MN的方程為y-4k14+k21=-5k14（k21-1）（x-8-2k214+k21），后面的化簡很困難，無法判斷直線恒過的定點.

師：其他同學有什么辦法解決這個問題嗎？

生8：根據橢圓的對稱性，此定點應該在x軸上，所以在上述直線MN方程中，令y=0，得x=65，故直線MN恒過定點（65，0）.

師：回答正確，我們在解決定點問題中，有時要靈活運用圖形的幾何性質幫助我們的計算.再次對比，我們發現：方法1涉及到方程的化簡，有時會比較復雜，而方法2的計算量就稍小一些，運用起來更方便.

生9：問題1還有更簡單的解法！

師：好，請你給大家講一講.

生9：因為這里是兩直線的斜率之積等于-1，我們可以聯想到韋達定理.

由kAM·kAN=-1可得y1-1x1·y2-1x2=-1，所以將橢圓方程變為x24+（y-1）2+2（y-1）=0，再由y=kx+m得y-1-kxm-1=1，在上述方程的一次項乘1變為齊次式，再兩邊同除以x2可得（m+1）（y-1x）2-2k·y-1x+m-14=0，從而kAM·kAN=m-14（m+1）=-1，m=-35，直線MN的方程y=kx-35，恒過定點（0，-35）.

師：非常精彩！這是此類問題的一種巧解.聯想到韋達定理，巧妙地將橢圓方程變形為以斜率為主元的二次方程，使計算量大幅減少，值得大家學習！

問題2 已知橢圓C方程為x22+y2=1，直線l過點B（0，-13）交橢圓于M、N 兩點，試問以MN為直徑的圓是否恒過一定點？若是，求出點的坐標，若不是，請說明理由.圖2

生10：假設存在點P（x0，y0）滿足條件，則kMP·kNP=-1，設直線l的方程為y=kx-13，聯立橢圓方程得（2k2+1）x2-43kx-169=0，記M（x1，y1），N（x2，y2），

則有

x1+x2=12k9（2k2+1），x1x2=-169（2k2+1），

kMP·kNP=y1-y0x1-x0·y2-y0x2-x0=k2x1x2-k（13+y0）（x1+x2）+（13+y0）2x1x2-x0（x1+x2）+x20

=18（y20-1）k2+（1+3y0）218x20·k2-12x0·k+9x20-16，因此式為定值，與k無關，所以x0=0，

當y0=1時，定值為-1，符合題意;當y0=-1時，定值為-14，不合題意應舍去.

綜上知，以MN為直徑的圓恒過定點（0，1）.

師：回答正確，這就是“找定點”問題的通性通法.其步驟是：先假設存在符合題目條件的點，再化圖形特征為代數計算，看能否找到方程的解.最后再驗證方程的解是否符合題目要求.其中會涉及到恒成立或代數式為定值的問題，需認真觀察式子的結構，找到對應的辦法.

最后，請大家再觀察問題1和2，它們有什么聯系？

生11：它們是對偶問題，問題1是已知以MN為直徑的圓過定點，求直線過的定點;問題2是直線轉動，求圓過的定點.

師：對，它們其實是同一個問題從兩種不同角度設問.這類問題有一個一般性結論，大家下課后可以繼續探究：

過橢圓C：x2a2+y2b2=1的上頂點A（0，b）作兩條互相垂直的直線l1和l2，分別交橢圓于M、N 兩點，則直線MN恒過定點（0，-bc2a2+b2），反之亦成立.

二、回顧與反思

在備本節復習課時，筆者的主要思路是設計一組關聯題目，求解時能用到“證定點”和“找定點”兩類問題的全部方法和技巧.問題1是一個“證定點”問題，解答中涵蓋了動點坐標設題法和動直線方程設題法，為了比較兩種方法的優劣，引入了變式1，同時也滲透了利用圖形對稱性輔助計算的技巧;利用韋定理巧解則是本節課的意外收獲，體現了學生思維的靈活多變.問題2是一個“找定點”問題，它需要“先猜后證”，把動態幾何特征變化轉化為代數計算，進而找到定點.而對恒等式的處理，也是學生的弱項，需要學生具備良好的觀察和分析能力.最后，通過對比，看清問題1和2的本質是同一個問題的兩種不同角度設問，進而提煉總結出一般性的結論.

總之，定點問題在高中圓錐曲線教學中是熱點問題，也是一個難點，它既考查學生的計算推理能力，更注重學生對動態問題的處理能力，鍛煉學生熟練地將“數”的計算與“形”的分析結合起來.圓錐曲線章節的復習課更需要精心地設計問題，通過橫向深挖縱向拓展，一方面可以減少部分重復的計算，直接進入核心的思維環節，又可以促進學生構建完整的知識網絡，讓課堂更高效生動.

參考文獻：

[1]秦宜菊，楊會.有關圓錐曲線一類定值及定點問題的再研究[J].中學數學教學參考，2019（16）：52-53.

[2]秦江銘.例析直線恒過定點問題的求解策略[J].中學數學教學參考，2019（27）：64-65.

[責任編輯：李 璟]