例談增根的產生與作用

摘 要：增根是中學階段解方程時的常見問題，本文結合高考題目與個人思考，重點闡述一下二次曲線聯立為什么產生增根、兩圓聯立為什么不產生增根、如何對根進行取舍、增根的作用等問題.

關鍵詞：增根;等價轉換;根軸;提示性作用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）04-0035-02

中學階段，增根是學生普遍感覺比較棘手的問題.增根是指方程求解后得到的不滿足題設條件的根.了解增根產生的原因，對根進行合理取舍，是中學生必備的數學素養.本文以高考題目為例談一下增根問題.一、增根產生的原因

增根的產生源于題目條件轉化為結論的過程中，使得條件成為結論的充分不必要條件.如果在題目的解答過程中將條件等價轉換為結論，增根自然會被舍去.例1 （2020年全國Ⅱ卷理19）已知橢圓C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|=43|AB|.

（1）求C1的離心率;

（2）設M是C1與C2的公共點，若|MF|=5，求C1與C2的標準方程.

分析 （2）由（1）知e=12，所以a=2c，b=3c.橢圓C1的方程為x24c2+y23c2=1，聯立y2=4cxx24c2+y23c2=1，消去y并整理得3x2+16cx-12c2=0，解得x=23c或x=-6c（舍去）.

為什么x=-6c是增根呢？分析發現，y2=4cx中隱含著x≥0.可將過程完善為“y2=4cxx24c2+y23c2=1x≥0，去y整理得3x2+16cx-12c2=0x≥0，解得x=23c或x=-6cx≥0，所以x=23c.

我們常常說，二元二次曲線方程聯立在實數范圍內容易產生增根，但兩圓聯立不產生增根，這是為什么呢？

二、探索兩圓聯立不產生增根的原因

例2 已知：圓C1：（x-a1）2+（y-b1）2=r21，圓C2：（x-a2）2+（y-b2）2=r22，

兩圓相減得直線2（a2-a1）x+2（b2-b1）y+a21-a22+b21-b22-r21+r22=0，我們稱此直線為根軸，試判斷“兩圓公共點個數”和“根軸與兩圓公共點個數”之間的關系.

分析 兩圓的圓心距為d=（a1-a2）2+（b1-b2）2，C1到根軸的距離為d1=|（a1-a2）2+（b1-b2）2+r21-r22|2（a1-a2）2+（b1-b2）2=|d2+r21-r22|2d，C2到根軸的距離為d2=|（a1-a2）2+（b1-b2）2-r21+r22|2（a1-a2）2+（b1-b2）2=|d2-r21+r22|2d，

①當兩圓相交時，顯然根軸為公共弦所在的直線，根軸與兩圓的兩個公共點即是兩圓的兩個公共點;

②當兩圓外切時，兩圓的1個公共點在根軸上，且d=r1+r2.

下面證明根軸與兩圓只有一個公共點.

C1到根軸的距離為d1=|（r1+r2）2+r21-r22|2（r1+r2）=2r21+2r1r22（r1+r2）=r1，同理C2到根軸的距離d2=r2，所以根軸與兩圓均相切，即根軸與兩圓只有一個公共點.

所以，兩圓外切時，兩圓的1個公共點即根軸與兩圓的1個公共點;

③當兩圓內切時，兩圓的1個公共點在根軸上，設r2<r1，d=r1-r2.

C1到根軸的距離為d1=|（r1-r2）2+r21-r22|2（r1-r2）=|2r21-2r1r2|2（r1-r2）=r1，同理C2到根軸的距離d2=r2，所以根軸與兩圓均相切.

所以，兩圓內切時，兩圓的1個公共點即根軸與兩圓的1個公共點;

④ 當兩圓內含時，設r2<r1，d<r1-r2，C1到根軸的距離為d1=|d2+r21-r22|2d=d2+r21-r222d，

d1-r1=d2+r21-r22-2dr12d=（d-r1）2-r222d=（d-r1-r2）[d-（r1-r2）]2d>0，得 d1>r1.因為d2-r21+r22<（r1-r2）2-r21+r22=2r22-2r1r2=2r2（r2-r1）<0，所以d2-r2=|d2-r21+r22|-2dr22d=r21-r22-d2-2dr22d=r21-（d+r2）22d=（r1+r2+d）（r1-r2-d）2d>0，得d2>r2.所以根軸與兩圓均相離.

所以，兩圓內含時，兩圓無公共點，根軸與兩圓也沒有公共點.

⑤ 當兩圓相離時，設r2<r1，d>r1+r2，C1到根軸的距離為d1=d2+r21-r222d，

d1-r1=d2+r21-r222d-r1=d2+r21-r22-2dr12d=（d-r1）2-r222d=（d-r1+r2）（d-r1-r2）2d>0，

得d1>r1.

d2-r2=d2-r21+r222d-r2=d2-r21+r22-2dr22d=（d-r2）2-r212d

=（d-r2-r1）（d-r2+r1）2d>0，得d2>r2.所以根軸與兩圓均相離.

所以，兩圓外切時，兩圓無公共點，根軸與兩圓也沒有公共點.

綜上所知，“圓與圓的公共點的個數”和“根軸與圓的公共點個數”是相同的.

所以，兩圓的位置關系本質是根軸與圓的位置關系，因為直線與二次曲線聯立不會出現增根，故兩圓聯立不會出現增根.

三、增根在部分題目中存在的意義

很多人認為增根本身沒有存在的必要性和價值性，是嚴謹數學的一個瑕疵，這其實是不對的，細細研磨會發現，增根在部分題目中對解題有些積極的提示性作用.

例3 （2020山東卷22）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為22，且過點A（2，1）.

（1）求C的方程：（x26+y23=1）

（2）點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足.證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值.

分析 本題絕大部分學生得6分或者7分，主要原因是計算到4k2+8km+3m2-2m-1=0不會因式分解，若利用變換主元法，可得4k2+8mk+（m-1）（3m+1）=（2k+m-1）（2k+3m+1）.但是這種二元二次方程因式分解絕大部分學生不會做.下面提供一種利用增根進行因式分解的方法.

產生增根的原因：因為AM⊥AN，所以AM·AN=0，而AM·AN=0AM⊥AB或AM=0→或AN=0→，所以，利用AM·AN=0解答能夠得到直線MN經過點A的情況，或者說點M或點N與A重合的情況.

直線MN的斜率存在時，設方程為y=kx+m，因為直線MN存在過點（2，1）的情況，此時MN可寫為y-1=k（x-2），即y=kx-2k+1，于是得m=1-2k，故2k+m-1為方程4k2+8km+3m2-2m-1=0的一個因式，根據方程4k2+8km+3m2-2m-1=0的特點，左邊可分解為（2k+m-1）（2k+tm+1）=0，所以2tkm+2km=8km，所以t=3.也可以根據多項式的除法得另一個因式，即4k2+8km+3m2-2m-12k+m-1=2k+3m+1，所以4k2+8mk+3m2-2m-1=（2k+m-1）（2k+3m+1）.

參考文獻：

[1]蘇凡文.多角度求解山東省高考21題[J].數理化解題研究，2020（25）：52-53.

[責任編輯：李 璟]