關(guān)于求和型數(shù)列試題解析

肖坤悟

摘 要：通過對2019年浙江省數(shù)學(xué)高考數(shù)列題的呈現(xiàn)、賞析、解法探究、變式以及反思，給出些許教學(xué)啟示，引導(dǎo)學(xué)生重視課本核心概念，重視通性通法，回歸課本，以期對數(shù)學(xué)教學(xué)有所幫助。

關(guān)鍵詞：數(shù)列;經(jīng)驗(yàn)總結(jié);教學(xué)啟示

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，具有豐富的內(nèi)涵和外延，它可以溝通函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容之間的聯(lián)系，常受到高考命題者的青睞。2019年第20題數(shù)列試題的設(shè)計(jì)返璞歸真，重視對數(shù)學(xué)本質(zhì)的挖掘，又在學(xué)科核心素養(yǎng)的考查上下了功夫。第20題（1）側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算，我們能夠求出有限的前幾項(xiàng)，總結(jié)規(guī)律，猜測數(shù)列的通項(xiàng)公式，也可以高屋建瓴從整體出發(fā)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用等差等比基本性質(zhì)來解題;第20（2）實(shí)際和書本中的例題類似，考查通法通解，促使學(xué)生能夠想到使用數(shù)學(xué)歸納法來解決這一類型的問題，考題指導(dǎo)我們要注重課本，不要被參考資料帶偏跑道，教材乃本源。這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)。對于今后的教學(xué)也提示我們可以多多“自編試題”源自于教材的試題。

20.（本小題滿分15分）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3=4，a4=S3，數(shù)列{bn}滿足：對每個(gè)成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式;

（2）記

證明：

參考答案：20.本題意在考查等差、等比定義及基本性質(zhì)、涉及數(shù)列求和、數(shù)學(xué)歸納法知識。

（1）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由題意得，，得，所以即，因?yàn)槿龜?shù)成等比數(shù)列，因此.

解得.所以.

（2）.

下面數(shù)學(xué)歸納法證明：（i）當(dāng)n=1時(shí)，c1=0<2，不等式成立;

（ii）假設(shè)時(shí)不等式成立，

即.那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，

.

即當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立.

根據(jù)（i）和（ii），不等式對任意成立。

上述為官方解答，第二問另有解法

法二：數(shù)學(xué)歸納法證明+分析法

（i）當(dāng)n=1時(shí)，c1=0<2，不等式成立;

（ii）假設(shè)時(shí)不等式成立，即.

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，

欲證，

只需證，

即證：

即證：

顯然成立。

即當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立.

根據(jù)（i）和（ii），不等式對任意成立。

法三：放縮法

從而

面對這種a1+a2+…+anf（n））這種類型的題（其中a1+a2+…+an難以求和），那么我們可以采用數(shù)學(xué)歸納法、放縮法、分析法處理，而我們再來觀察下例：

例1：（1985全國）

求證：

分析：不等式形如，中間是數(shù)列之和，能否將左右兩邊的式子構(gòu)造成數(shù)列之和，形成統(tǒng)一數(shù)列之和不等式：為前n項(xiàng)之和），

即：

要證：，只需證，

其中

又

同理：

∴只需證明：

證明：

總結(jié)：形如的數(shù)列不等式證明的思維策略

設(shè)Sn和Tn分別為數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和，顯然，若，因?yàn)椤巴虿坏仁娇杉有浴边@一性質(zhì)，則有Sn

這樣我們就知道證明數(shù)列不等式的方向，尤其是放縮法可以明確目標(biāo)，特別是對于法三，或者采用分析法證明不等式，避開放縮的難點(diǎn)。

由此法我們可以輕松應(yīng)對如：例2：（2010.湖北理.21）第三問：求證：

分析：令

則

要證明原不等式則只需證明：

成立，

令

即要證明不等式成立。

令

∴f（x）單調(diào)遞增，∴f（x）>f（0）=0

成立。

成立。

若數(shù)列之和換成數(shù)列之積又如何？

例1：（2006廣東理21第2問）

求證：

分析：我們能否將證明形如的思維策略類比遷移過來呢？

，利用公式，b1=B1易得：，因此，我們只需證明

證明：

總結(jié)：形如的數(shù)列不等式證明的策略

設(shè)An和Bn分別為數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)積，顯然，若，利用“不等式正數(shù)同向可乘”這一性質(zhì)，則有.因此要證明不等式，如果記Bn=f（n）看作是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積，則，b1=B1，那么只要證其通項(xiàng)滿足即可。

練習(xí)：（1998全國理25第（2）問）

求證：

教學(xué)啟示：對于數(shù)列內(nèi)容，我們必須重視概念，等差等比的性質(zhì)就是通過概念推導(dǎo)出來的，性質(zhì)就是概念的延展;我們也要重視平時(shí)教學(xué)中學(xué)生解題經(jīng)驗(yàn)的積累，在不斷反思中螺旋遞進(jìn)，以期達(dá)到量變導(dǎo)致質(zhì)變，使學(xué)生具有獨(dú)立發(fā)現(xiàn)、分析、總結(jié)問題，進(jìn)而提出解決問題的方法，最終提升至思想方法的高度。當(dāng)經(jīng)驗(yàn)的不斷積累同過遷移，進(jìn)而能夠多角度多方法轉(zhuǎn)化，使自己的知識結(jié)構(gòu)得以重組重構(gòu)，達(dá)到更高層次，學(xué)生的學(xué)習(xí)效率得到真正的提升，也使得學(xué)生脫離題海，使我們的教學(xué)真正有效。

參考文獻(xiàn)

[1]《2019年高考浙江省數(shù)學(xué)試題評析》浙江省嘉興市第一中學(xué)特級教師.沈新權(quán)

[2]《高考數(shù)學(xué)你真的掌握了嗎？數(shù)列》張楊文主編

[3]《用放縮法證明數(shù)列中的不等式》羅紅雨《讀寫算》2019.9