基于常見的幾種輔助函數的構造方法的思考

吳鳳嬌

[摘? ? ? ? ? ?要]? 在高等數學的學習中通常會遇到一些輔助函數的構造，如何根據題目的特點巧妙地構造輔助函數對解決問題十分重要。為了說明輔助函數的構造方法，從題目類型，通過分析有效的構造輔助函數以及在教學中的思考，提高學生的自主學習能力。

[關? ? 鍵? ?詞]? 高等數學;輔助函數;教學

[中圖分類號]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2021）31-0156-02

輔助函數的構造是數學學習中的難點之一。如何巧妙地構造輔助函數對解題有事半功倍的效果，這也考查了學生獨立思考的能力，能否將“抽象”的問題通過某個式子聯系起來。因此，在條件“不足”的情況下，我們只有根據題目的特點以及相應的關鍵詞等重要信息，來指引學生往“特定”的方向去思考。另外，在遇到一些比較抽象復雜的證明題時，命題人主要想考查學生能否對問題進行獨立的思考、能否從題目中提取出關鍵的信息。眾所周知，數學題目可以千變萬化，解題的方法也多種多樣。而教師要做的是指導學生找到解決問題的突破口，這才是關鍵，教會他們一種解題思路、一種方法，也就是所謂的“授之以魚，不如授之以漁”。所以，教師通過對典型例題的分析、講解，讓學生慢慢地體會、掌握此種方法，能做到舉一反三。一旦方法掌握之后，不管題目怎樣變化，學生都能做出來。所以，可以這樣告訴學生，這些問題都是有“套路”的，讓他們從心理上不再懼怕，不要遇到這種題目就直接放棄，要鼓勵他們仔細、獨立地分析題干，得出有用的信息。經過長期的訓練、方法的積累，學生才能更加自信地解題，這樣他們也能夠制訂清晰的目標。本文將根據以下幾種題型，通過詳細的分析、完整的解答，指引學生輕松構造輔助函數。

一、關于不等式的證明

不等式的證明是一個難點，也是學生最怕遇到的一種題型。但是如果我們掌握了其中的技巧——構造恰當的輔助函數，就變得簡單了。通常不等式的證明方法主要是作差法，即將不等號右邊的項移到左邊，使得右邊變成“0”。左邊的“一堆”，我們可以把它看成一個函數，然后在此基礎上研究此函數的單調性，最后得出的函數在給定區間上的“最值”和“0”比較，從而得出大小關系。掌握這種方法后，不論式子多么復雜，都可以朝這個方向去思考。

二、關于存在性的證明

存在性的證明，本文只給出某個方程在給定區間內至少有一實根或者證明至少存在一個點ξ在某個區間內滿足一個關于的等式的證明方法。這類題目有共同的特點：內容比較簡短，條件較少，通常是以抽象函數的形式給出。這也是學生最害怕的證明題之一，學生一般會選擇放棄。雖然題目看起來比較“難”，但是摸清其中的門路后，其實一點也不難。這類問題考查的內容用到的原理比較固定，即零點存在定理。而用該定理來解決的話，有兩個方面要注意：（1）要構造合適的輔助函數;（2）輔助函數構造完成后，需要驗證所構造的函數是否滿足零點存在定理的條件。滿足這兩個條件后，結論自然成立。下面我們先給出零點存在定理：

設函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，且滿足f（a）f（b）<0，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得f（ξ）=0。

下面分別舉出方程至少有一根的實例和至少存在一個點ξ在某個區間內滿足一個關于的等式的證明的例子。

例2. 證明：方程x5-3x=1在（1，2）內至少有一實根。

分析：這是一道證明方程至少有一實根的問題。要證明方程至少有一實根，根據零點存在定理，我們首先構造出合適的輔助函數，然后再驗證所構造的函數是滿足該定理的條件。這類問題常用的方法就是將等號的右邊移到左邊來，使得右邊為“0”，x5-3x-1=0，而左邊的“一堆”就是我們所要構造的輔助函數。即令f（x）=x5-3x-1。

證明：令f（x）=x5-3x-1

則f（x）在[1，2]上連續。而f（1）=1-3-1=-3<0，f（2）=25-6-1=25>0，

于是f（1）f（2）<0。

由零點存在定理得，至少存在一點ξ∈（1，2），使得f（ξ）=0。

即ξ5-3ξ-1=0。

故方程x5-3x=1在（1，2）內至少有一實根。

例3.設函數f（x）在閉區間[0，1]上連續，且0

分析：這是一道證明至少存在一個點ξ在某個區間內滿足一個關于ξ的等式的例子。題目中f（x）是抽象函數，想要用零點存在定理解決，需要構造滿足該定理的“函數”。由于題目中只需找出ξ是存在的即可，所以，我們將問題一般化，即將結論中的ξ換成x，然后將等號右邊的移到左邊來。此時等號左邊的就是我們要構造的輔助函數。

證明：令F（x）=f（x）-x

由于f（x）在閉區間[0，1]上連續，因此F（x）在閉區間[0，1]上連續，且F（0）=f（0）>0，F（1）=f（1）-1<0。

也即F（0）F（1）<0。

由零點存在定理得，至少存在一點ξ∈（0，1），使得F（ξ）=0。

即f（ξ）=ξ。

三、關于中值定理的應用

中值定理是高等數學微積分中的重要內容之一，它將函數與其導數聯系了起來，也是導數的一種重要應用。中值定理的應用也比較廣泛，主要應用于證明一些不等式以及根的存在性問題。要求學生必須掌握，也是在研究生考試中重點考查的知識點。而我們主要講的是微分中值定理，它主要包含羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。關于其應用，難點在于怎樣構造恰當的輔助函數。下面我們以羅爾定理的應用為例，詳細說明輔助函數的構造。而羅爾定理的應用，一般情況是根據乘積求導公式（uv）′=u′v+uv′的逆用來構造輔助函數。下面我們列舉幾種常見的構造情形：