基于等效源法的近場聲全息技術(shù)研究與應(yīng)用

張亞虎 王波 王一風(fēng) 田甲 寧傳彬

摘 要：近場聲全息技術(shù)可實現(xiàn)聲源的高精度識別定位及聲場可視化，在噪聲控制領(lǐng)域應(yīng)用前景廣泛。文章在前期論述的傅立葉變換近場聲全息技術(shù)的基礎(chǔ)上，提出了一種基于等效源法的近場聲全息技術(shù)，可適用于任意形狀的聲源識別。首先推導(dǎo)了基于等效源法的近場聲全息的原理算法，然后對聲場重建計算過程中奇異值積分問題的正則化應(yīng)用做了簡要介紹，最后將這種方法應(yīng)用到雙聲道音響的噪聲源識別實驗中，取得了較好的識別效果，從而驗證了基于等效源法的近場聲全息技術(shù)的有效性和準(zhǔn)確性。

關(guān)鍵詞：近場聲全息;聲源識別;等效源法;正則化

中圖分類號：TB533.1 ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ?文章編號：1673-260X（2021）07-0027-03

1 引言

噪聲控制最有效直接的途徑是在噪聲源處降低噪聲，因此定位噪聲源是降低噪聲的前提、關(guān)鍵。近場聲全息技術(shù)（NAH）[1]是一種先進(jìn)的噪聲源識別技術(shù)，它是在測試對象表面獲得全息測量數(shù)據(jù)，然后利用測量面與聲場重建面之間的空間變換關(guān)系，獲得重建聲場數(shù)據(jù)。

近場聲全息經(jīng)過長期的發(fā)展，演化成多種算法，如基于空間傅立葉變換法[2]、分布源邊界點(diǎn)法[3]、統(tǒng)計最優(yōu)方法[4]等，基于空間傅立葉變換的近場聲全息技術(shù)原理簡單，計算效率快，由于只能用于規(guī)則形狀的聲源，對于不規(guī)則的或者復(fù)雜形狀的聲源，傅立葉變換法受到限制，而后演化發(fā)展了一種基于邊界元法[5]的近場聲全息，該算法雖然可以應(yīng)用于復(fù)雜形狀的聲源識別，但是需要對不同階的奇異積分作相應(yīng)的數(shù)值處理，計算效率及聲場重建的精度大大降低，聲源識別效果較差[6]。基于此，本文提出一種基于等效源法的近場聲全息算法，可以有效避免邊界元法存在的奇異積分問題，實現(xiàn)任意形狀聲源的識別定位。

2 基于等效源法的NAH原理

2.1 等效源法的原理

基于等效源法的NAH技術(shù)主要原理是將物體振動自身輻射的聲場由置于其輻射體內(nèi)部的一系列等效源產(chǎn)生的聲場疊加替換，所等效的源強(qiáng)則由振動體表面相應(yīng)的法向振速匹配獲得，從而實現(xiàn)聲場的重建和預(yù)測。等效源法是一種聲場定解積分方程，區(qū)別于邊界元法，它是以等效源積分方程為理論依據(jù)，等效源法積分方程與常規(guī)的Kirchhoff-Helmholtz積分方程是等價的[7]。

如圖1所示，等效源積分方程計算的是連續(xù)分布的等效源在無限域中的輻射聲場，而在實際聲場重建中需要計算邊界為S0的振動體外部輻射聲場，將外部輻射聲場與等效源積分方程相聯(lián)系，進(jìn)而形成等效源法。

將等效源連續(xù)分布于圖1所示的振動體內(nèi)，振動體的邊界為S0，且等效源強(qiáng)q（rE）和S0上邊界條件匹配一致，即

其中，？籽0表示介質(zhì)的密度，？棕表示角頻率，？棕=2？仔f，p為質(zhì)點(diǎn)聲壓，v為質(zhì)點(diǎn)振速，g（rs，rE）表示等效源強(qiáng)與場點(diǎn)之間的傳遞函數(shù)，一般取為格林函數(shù)。

進(jìn)行數(shù)值計算，第一步就要對等效源積分方程進(jìn)行離散化，等效源面S0離散為N段，從而式（1）和式（2）離散如下：

式中，k為波數(shù)，rj和qj分別為第j個等效源的坐標(biāo)和源強(qiáng)。

該振動體內(nèi)的輻射聲場可由置于其內(nèi)部的等效源產(chǎn)生的聲場代替，而且等效源布置于邊界為S0的振動體內(nèi)，故而rE≠rs，且rE≠r，進(jìn)而解決了因奇異積分產(chǎn)生的問題。通過式（3）式（4）可得，只要能找到各個等效源所對應(yīng)的源強(qiáng)，即可計算出聲場中任意點(diǎn)處的聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速。

2.2 等效源位置的選擇

采用等效源法，如要提高其計算精度，傳遞矩陣需要滿足兩個必需條件[8]：（1）傳遞矩陣必需滿足對角優(yōu)勢。（2）傳遞矩陣要保證盡量對稱。因此，若要滿足上述兩個條件，一般等效源布置在沿各個聲源表面結(jié)點(diǎn)處的法向位置，且背離其表面一定的距離d，等效源的數(shù)目與聲源表面結(jié)點(diǎn)的數(shù)目相等。

距離d的選擇是等效源位置確定的關(guān)鍵。d的選擇可以歸結(jié)到等效源所在半徑的選取問題。半徑值不同，等效源的位置隨之變化。在實際選取中，一般依據(jù)不同等效源半徑取值時的表面振速插值函數(shù)實部的主瓣寬度和旁瓣峰值以及插值函數(shù)的虛部大小，主瓣寬度越大，插值函數(shù)虛部越小，等效源的位置越優(yōu)。距離d過大或小過都會加大等效源法的計算誤差，當(dāng)距離d過大時，各等效源排布密集，聚集在一起，進(jìn)而到表面各點(diǎn)的距離近似相等，導(dǎo)致傳遞矩陣中各列間線性相關(guān)性增強(qiáng)，計算誤差大大增加;當(dāng)距離d過小時，各等效源點(diǎn)距離與其相應(yīng)的表面各點(diǎn)的長度將很小，進(jìn)而出現(xiàn)類似邊界元法的奇異積分問題。因此，距離d只要在等效源法要求的有效范圍內(nèi)，總體計算誤差變化不大。

2.3 基于等效源法的NAH重建公式

基于等效源法的NAH是通過獲得聲場信息重建聲源聲源表面的法向振速和聲輻射聲場。假設(shè)全息面上有M個測量點(diǎn)（rhj，j=1，2，…，M），則分別有M個與式（4）相同的方程構(gòu)成聲壓方程組。

同理，N個聲源表面法向振速方程

其中W（rEi）表示離散后第i個等效源的源強(qiáng)。寫成矩陣形式為

Ph=GhpW ? （7）

式中，Ph是全息面上的M階聲壓列向量，Ghp是M×N階聲壓傳遞函數(shù)矩陣，Ghp=g（r，rEi）表示全息聲壓與等效源源強(qiáng)之間的傳遞關(guān)系，W是N階等效源強(qiáng)度列向量。VS為M階質(zhì)點(diǎn)振速列向量，KhS為質(zhì)點(diǎn)振速傳遞矩陣，KhS=？塄g（r，rEi）/（i？籽o？棕），表示測量面質(zhì)點(diǎn)振速與等效源強(qiáng)之間的傳遞關(guān)系。

基于等效源法的NAH第一步需要通過式（7）獲得等效源列向量W：

式中，上標(biāo)“H”表示Hermitian算子。

通過式（9）知，Ghp是M×N階，且如果M≥N，NAH中向量W的計算是一個計算廣義逆的過程，廣義逆的計算可以采用奇異值分解的方法，確定各個源強(qiáng)的唯一性。

式中，U，V為列向量相互正交的酉矩陣，即uiHuj =？啄ij，viHvj=？啄ij，？啄ij是Dirac常量。diag表示對角矩陣，？滓i為矩陣奇異值，且滿足？滓1≥？滓2≥，…，？滓N>0。

將式（10）代入式（9）可得等效源強(qiáng)列向量

將式（11）代入式（7）可以獲得任意場點(diǎn)r處的聲壓重建公式：

將式（11）代入式（8）可以獲得任意場點(diǎn)r處的質(zhì)點(diǎn)振速重建公式：

式（12）式（13）即為基于等效源法的近場聲全息重建公式。

2.4 正則化的應(yīng)用

基于等效源法的近場聲全息包含空間的反向映射過程，這個過程通常是不穩(wěn)定的。當(dāng)全息面聲壓含有測量誤差時，奇異值會放大測量誤差。而在測量全息聲壓的過程中，會不可避免地產(chǎn)生傳感器幅值誤差、定位誤差、相位誤差等，同時測試環(huán)境中存在背景噪聲誤差，這些誤差放大后，將對重建數(shù)據(jù)產(chǎn)生較大的影響，重建結(jié)果將大大失真[9]。

因此，為了抑制測量誤差的影響，在基于等效源法的NAH計算過程中，必須采用正則化的方法。一般常用的正則化方法包含兩種，一種是直接正則化方法，一種是迭代正則化方法。在基于等效源法的NAH算法中，常用的是直接正則化方法中的Tikhonov[10]正則化。由于奇異值越小，對測量誤差的放大作用越強(qiáng)，因此需要通過正則化來控制和濾除奇異值較小的項對重建結(jié)果的影響。

4 雙聲源音響噪聲源識別實驗

為驗證該算法的有效性，將基于等效源法的NAH技術(shù)應(yīng)用到某雙聲源音響的噪聲源識別實驗中，如圖2所示，實驗測試置于背景噪聲為18dB的半消聲室內(nèi)，以長體形雙通道音箱為目標(biāo)聲源，單頻1000Hz，圓弧線陣列半徑0.15m，中心角度135°，弧線上均勻分布有7個傳聲器，聲源附近布置一參考傳聲器。采樣頻率設(shè)定為10240Hz，以長體形雙通道音響表面的幾何中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，橫向為X軸，縱向為Y軸，全息掃描橫向長度為0.6m，掃描間隔為0.04m，掃描16次，陣列掃描過程中，參考傳聲器保持不動，重建柱面半徑0.1m，等效源柱面半徑為0.05m。

實驗測試完畢，對所采集的聲壓數(shù)據(jù)進(jìn)行處理分析，選取1000Hz頻帶的信號進(jìn)行分析，建立的等效源面為柱面，全息面聲壓幅值云圖如圖3所示，從圖中可以明顯地看出，掃描面顯示的噪聲源大致集中在長體形雙通道音響的中心，隨后運(yùn)用等效源法的NAH算法對全息面進(jìn)行聲場重建，得出重建面柱面的聲場數(shù)據(jù)，聲壓幅值云圖如圖4所示。由圖4可以明顯地看出，云圖中噪聲源分別位于x軸（-0.18，-0.12）、（0.12，0.18），而這兩個區(qū)域也恰好位于雙聲道音響的兩個音源的位置區(qū)域，進(jìn)而有效驗證基于等效源的NAH聲源識別定位的準(zhǔn)確性。

5 結(jié)論

基于等效源法的近場聲全息算法是一種先進(jìn)的聲源識別技術(shù)，它適用于任意形狀聲場的重建。文章對等效源法的近場聲全息算法進(jìn)行了推導(dǎo)，并對計算過程中出現(xiàn)的奇異積分問題給出了解決辦法，即采用正則化技術(shù)，最后將這種算法應(yīng)用到某雙聲道音響的噪聲源識別實驗中，將聲源面等效成為柱面，成功地識別出音響的兩個噪聲源，進(jìn)而有力地驗證了等效源法在近場聲全息計算中的可靠性，也為實際生產(chǎn)生活中噪聲源的識別控制提供有力的理論依據(jù)。

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