鉆孔爆破炮孔孔壁壓力計算模型*

張 馨，孫金山，張湘平，賈永勝，姚穎康

(1.中鐵十八局集團有限公司，天津 300222；2.江漢大學 a.爆破工程湖北省重點實驗室;b.精細爆破省部共建國家重點實驗室，武漢 430056)

爆炸荷載是工程爆破理論分析和數值模擬的重要邊界條件。目前，在對鉆孔爆破過程進行分析時，炮孔爆炸荷載計算模型主要有兩類，一類是簡化的半理論半經驗模型，一類是氣體狀態方程模型。

簡化的半理論半經驗模型常用的是雙折線模型和雙指數模型。雙折線三角形分段函數模型簡單實用[1,2]，該模型僅有升壓時間、卸壓時間和峰值壓力三個參數，其中，峰值壓力可通過C-J爆轟模型計算，時間參數則主要通過經驗公式估算得到。該荷載模型未考慮炸藥爆炸特征，也未考慮炮孔的孔深、孔徑和堵塞對爆炸荷載的影響，因此峰后荷載的時間歷程難以準確確定。雙指數函數由Starfield提出[3]，該模型為連續光滑函數，更易應用于理論分析和數值模擬中。Jong對該模型進行了改進，提出了其關鍵參數的計算公式，使荷載時程曲線更接近實驗結果[4]。但該模型中關鍵參數M和N的取值同樣未考慮爆破破巖過程的特征，因此其適用范圍也受到限制。

爆轟產物狀態方程是計算爆轟產物壓力、體積、溫度等物理量之間的數學方程。不同學者提出了BKW、JCZ、VLW、Davis、JWL等多種方程[5-9]，其中，JWL狀態方程在爆炸數值模擬中應用廣泛，然而該方程的大量未知參數需要通過圓筒試驗及流體動力學計算確定，且其忽略了巖石破碎及氣體逸出過程的影響。

因此，以往爆炸荷載半理論半經驗模型以及爆轟產物狀態方程主要考慮了炸藥本身參數對荷載的影響，忽視了爆破介質及其動態響應特征的影響，難以精確計算工程爆破場景中的爆破荷載，例如不同單耗、不同抵抗線條件下炮孔爆破荷載的差異性模擬。因此，針對工程爆破過程中，連續裝藥的柱狀炮孔的爆破荷載計算問題，考慮炸藥爆轟、炮孔彈性膨脹、炮孔周圍裂紋擴展、巖石拋擲及氣體逸出過程等因素對炮孔孔壁壓力的影響，利用理想氣體狀態方程和經典力學理論構建了炮孔孔壁壓力的數學函數。

1 炸藥爆轟炮孔升壓階段

炮孔內的炸藥發生爆轟后，產生的氣體在炮孔內膨脹并對炮孔壁施加沖擊荷載，根據炸藥爆轟理論與理想氣體狀態方程，耦合裝藥和不耦合裝藥條件下炮孔壁上的峰值壓力P1為[10]

(1)

式中：n為爆轟產物碰撞炮孔壁時的壓力增大系數，耦合裝藥時一般取n=1，不耦合裝藥時常取n=10；ρe為炸藥密度；D為炸藥爆轟速度；db為炮孔直徑；dc為裝藥直徑；γ為炸藥爆轟的等熵指數，簡化計算時γ≈3.0。

遠離炮孔壁稍遠的介質中可測到的爆炸壓力升壓時間為炸藥爆轟所需時間

(2)

式中：T1為炮轟時間：Lc為裝藥長度。

將距離炮孔壁稍遠的介質中爆炸壓力視為線性增大時，得到炸藥爆轟階段炮孔孔壁的平均壓力函數為

(3)

式中:t的起始時刻為0，結束時刻為炸藥爆轟完成時刻T1。

2 炮孔初步彈性膨脹階段

炸藥爆轟后爆轟產物撞擊炮孔壁時將使炮孔發生膨脹，并導致爆炸壓力的迅速下降。該過程中炮孔周圍的介質將受到徑向的壓縮與切向的拉伸，并使炮孔壁附近的介質形成粉碎區，粉碎區以外的巖石將被拉裂。不耦合裝藥條件下，孔壁受到的爆炸荷載較低，粉碎區半徑相對較小。

粉碎區的形成過程較為復雜，目前仍以半理論計算為主進行估算，為簡化炮孔的膨脹過程的分析，假定孔壁上未形成粉碎區，此時炮孔孔徑的變化主要受爆炸荷載和巖石的彈性參數影響。根據無限邊界中受內部壓力圓孔的彈性力學分析[11]，距離炮孔中心2.5db處的質點位移為孔壁處的1/25，因此可認為該處質點位移達到其最大值時，炮孔的彈性膨脹基本完成。受慣性的影響，質點位移最大值出現的時刻滯后于應力波峰值到達的時刻。因此，2.5db處的質點位移最大值出現的時刻可由受內部動壓力圓孔的波動方程進行求解，在極坐標系下可表示為

(4)

式中：u為質點位移；r為質點距離孔中心的距離；t為時間；Cp為介質中的彈性波波速。

然而，上述方程求解無解析解，數值解求解也很困難，考慮炮孔膨脹是在裂紋擴展至炮孔中心約2.5db處之前完成的，因此可近似認為爆炸荷載產生的彈性膨脹所需時間為裂紋擴展長度為2db(孔壁到距離孔中心2.5db處的距離)時所經歷的時間，即裂紋到達前發生彈性膨脹，裂紋到達后發生塑性膨脹。同時考慮炸藥爆轟所需時間，以及炸藥與測點的位置關系，炮孔彈性膨脹所需時間為

(5)

式中：ζ為系數，根據Griffith理論[12]，裂紋穩定擴展時ζ=0.38;ω為爆轟時間系數，當測點位于孔壁附近時，不考慮炸藥沿炮孔軸線方向的爆轟時間，僅考慮某個炮孔截面處的膨脹過程時，ω=0；當測點遠離炮孔時，需要考慮炸藥爆轟時間，并考慮整個炮孔的膨脹過程時，ω=1。

炮孔彈性膨脹后，直徑則由db增大為db+2Δr，爆炸壓力自P1降低至P2，設炮孔彈性膨脹所導致的半徑增量由P1控制，且膨脹前后滿足理想氣體狀態方程，可得方程組

(6)

式中，k為炸藥氣體膨脹或流動的等熵指數，k=1.25～1.4。

解得P2近似解為

(7)

將爆炸壓力視為線性減小時，得到炸藥爆轟過程中炮孔的平均爆炸壓力函數

(8)

式中，t的取值區間為[0,T2]。

3 孔壁裂紋張開且氣體流入階段

炮孔徑向裂紋擴展過程中，巖石失去環向承載力，徑向荷載和爆生氣體將進一步驅動張拉裂紋的張開并向周圍擴展，直至裂紋擴展至自由邊界使介質破碎，該階段所經歷的時間約為

(9)

式中，b為炮孔與介質自由面某點的距離，即抵抗線長度。

如圖1所示的炮孔彈性膨脹與裂紋擴展過程中，設炮孔橫截面周長的增加量即為徑向裂紋初始張開寬度的總和，即2πΔr；爆炸氣體流入張開的裂紋中，其流速由0加速至速度C1，取平均流速度0.5C1，則流入裂縫的氣體體積為

圖 1 炮孔彈性膨脹與裂紋擴展過程示意圖Fig. 1 Schematic diagram of blasthole elastic expansion and crack propagation process

Δv=πΔrLcC1t

(10)

式中，C1為氣體的流速，近似認為氣體流動處于臨界狀態則C1等于當地聲速。由于氣體的密度、壓力、泄漏量等參數相互影響，使氣體壓力方程難以求解，因此以氣體T3時刻流速代替流速函數。由氣體臨界狀態的當地聲速計算公式[13]，且考慮在氣體縫隙中流動時，其邊界處流速為0，則平均流速約為自由流動流速的1/3，可表示為

(11)

式中:ρe2為T3時刻氣體密度;me為裝藥質量;P3為由氣體狀態方程得到的氣體壓力。

根據氣體體積與壓力間的關系，可得T3時刻孔壁壓力為

(12)

因此，忽略炮孔進一步彈塑性膨脹，且主要考慮裂紋的擴展和氣體的流動時，由氣體狀態方程得

(13)

式中，t的取值區間為[0,T3]。

4 介質剝離拋擲且氣體逸出階段

炮孔產生的裂紋貫通后，剝離的破碎介質將發生拋擲，進而發生“鼓包”，爆炸氣體進一步膨脹并向空氣中逸出。設在0～T3時間內，爆炸荷載做功部分轉化介質的動能，同時使剝離下來的介質獲得一定的動量，在此過程中能量不守恒，但動量守恒。為簡化分析過程，取炮孔直徑為彈性膨脹結束時的直徑db+2Δr，則孔壁側面積為πLc(db+2Δr)，根據動量定理得

(14)

式中：mR為爆破剝離的巖石、混凝土的質量，可根據實際的爆破方案進行估算；VR為剝離介質的初速度。

同時，考慮T3時間內氣體壓力已經降至較低水平，且中間過程有部分動量的損失，僅考慮T1和T2階段的動量轉化過程時，可得

(15)

同時，爆炸氣體將自裂紋開口處逸出，設其以C2速度逸出，同樣設氣體流動處于臨界狀態，此時氣體的流速等于當地聲速,直至停止流動，則平均流速為

(16)

考慮破碎介質的“鼓包”運動以及氣體自不斷增大的裂縫中勻速逸出時，根據氣體狀態方程得到氣體溢出時的孔壁壓力近似解為

(17)

式中，t的取值區間為[0,T4]。T4為氣體壓力降至臨界狀態所需時間，即壓力降低至數個大氣壓力后認為氣體基本停止流動。

5 孔壁壓力的分段函數及其算例

將各階段炮孔壓力函數置于統一的時間坐標系下，得到完整的孔壁壓力分段函數

(18)

以多米尼加共和國Pueblo Viejo礦Monte Negro B-370礦坑爆破試驗為算例對模型進行初步驗證[14]。該礦爆破巖體的巖性為安山巖，密度2800 kg/m3，彈性模量E=40 GPa，泊松比μ=0.2。#2實驗方案中，炮孔孔深L=7.25 m，裝藥長度Lc=3.75 m，堵塞長度3.5 m，炮孔直徑db=0.22 m，炸藥密度ρe=1200 kg/m3，炸藥爆速D=5500 m/s，炸藥直徑dc=0.22 m，炸藥重量171 kg。根據標準拋擲爆破漏斗的形狀，裂紋擴展長度b=10.2 m，剝離巖石的質量mR=154000 kg，取n=1，γ=3.0，k=1.4，ζ=0.38。

在距離炮孔5.2～7 m的4個監測孔中布置電氣石壓力傳感器對爆炸產生的沖擊信號進行監測，如圖2所示。監測孔與炮孔深度一致，且其中充滿水，傳感器在孔中的深度為5.375 m，與裝藥中心高度一致。選擇波形較好的2號監測孔的波形與計算結果進行對比。2號監測孔距離炮孔5.8 m，且由于傳感器置于水中時監測到的幅值與巖石中的幅值存在差異，因此通過下式進行換算

(19)

由(1)式計算得的孔壁峰值壓力為4.5 GPa，這與文獻[14]給出的炸藥爆轟壓力計算值基本一致。取r=0.11 m，R=5.8 m，ξ=2.7，ω=0時，得到的測點處爆破壓力時程曲線與實驗結果具有較好的吻合度(圖3)。

圖 2 實驗方案Fig. 2 Experimental plan

圖 3 實驗結果與計算壓力時程曲線對比Fig. 3 Comparison of experimental and calculated pressure time history curves

6 結語

鉆孔爆破炮孔孔壁壓力計算通常采用半理論公式或爆轟產物狀態方程進行估算，但這些傳統的計算方法往往忽略了爆破介質的響應以及爆炸氣體的逸出過程。通過對炸藥爆轟過程以及爆破介質的響應過程的分析，提出了一種炮孔孔壁壓力的簡化計算方法。

(1)計算孔壁壓力時，宜將介質爆破過程簡化為炸藥爆轟炮孔升壓、炮孔初步彈性膨脹、孔壁裂紋張開且氣體流入、介質剝離拋擲且氣體逸出四個階段。

(2)炸藥爆轟炮孔升壓持續時間為炸藥爆轟所需時間、炮孔初步彈性膨脹持續時間為裂紋擴展至孔壁外2倍直徑處所需時間、孔壁裂紋張開且氣體流入持續時間為裂紋擴展至自由邊界所需時間、介質剝離拋擲且氣體逸出持續時間為壓力降至臨界狀態所需時間。

(3)通過簡化分析炮孔及裂紋中爆炸氣體體積的變化過程，基于理想氣體狀態方程，分別確定了各階段孔壁壓力隨時間變化的數學函數。

(4)利用多米尼加Pueblo Viejo礦爆破實驗數據對計算模型進行了初步驗證，計算結果與實驗結果吻合情況良好。