撥開云霧見天日

鐘烙華

2021年廣東省進行高考改革，數學試題是全國新高考試題Ⅰ卷，與往年高考試題相比，最大的變化是新高考試題增加多選題這種新題型.?今年高考的多選題是每題設置4個選項，有多個選項符合題目要求.?評分方式是全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.?下面從多選題的選拔功能、答題策略、試題分析、考點歸納、鞏固訓練等五方面進行分析研究，揭開多選題的“神秘面紗”，為更好地應對高考新題型提供幫助和指導.

一、精確發揮選拔功能，增強考試的信度和效度

高考數學的單選題和多選題都是設置4個選項，單選題有且只有一個選項符合題意，但多選題則有多個選項符合題意.?做單選題只有正確、錯誤兩種情形，評分也只有5分、0分兩種結果，但做多選題還有部分正確這種情形，所以多選題的得分多了一種可能性，即0分、2分、5分.?雖然考生得5分的難度加大，但顯然得0分的可能性也大大降低.?那么引入多選題后，對考生的得分到底有哪些影響？多選題為數學基礎和數學能力在不同層次的考生都提供了發揮空間，同時能夠更加精確地發揮數學科考試的區分選拔功能.?多選題的設置給廣大考生增加了得分機會，增進了數學學習的獲得感，也更精準地測試和區分了不同層次考生的數學能力水平，增強了考試的信度和效度，對新高考是有益的嘗試.

二、正確評估自己實力，理智控制“穩”或“狠”

由于多選題有多個選項符合題意，選擇1個符合題目的選項比單選題更容易，但要把符合題意的選項全部選出來，難度加大，所以多選題比單選題更有挑戰性.?對基礎薄弱且平時做題馬虎、判斷不果斷、計算拖沓的學生來說，一旦出現拿捏不準的選項，建議采用保守策略，選擇一個最有把握的選項，確保2分到手，不能太過激進，以免得0分.?但對于一些數學基礎比較扎實的學生來說，選擇一個最有把握的選項還是選擇多個選項會有點糾結，需要自己隨機應變，理智把握“穩”或“狠”的關系.?從總體上來看，做多選題得2分容易，得5分難，多選題的多級得分模式有利于提高低水平學生的得分，也有利于區分出高水平的學生.?因此，在復習的過程中，我們要關注每個問題的分析思路，不斷強化自己的“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗）和“四能”（提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力），加強積累，應對新高考的多選題的挑戰.

三、多角度分析試題，選取最佳的解題方法

做多選題有兩種途徑：途徑一是通過逐一檢驗4個選項，選出符合題意的所有選項，我們把這種解法稱為直接法;途徑二是通過排除不符合題意的選項，選擇剩下的選項，我們把這種解法稱為間接法.?下面結合2021年新高考全國數學I卷4道多選題進行分析.

9.?有一組樣本數據x1，x2，…，xn，由這組數據得到的新樣本數據y1，y2，…，yn，其中yi=xi+c（i=1，2，…，n），c為非零常數，則（ ）

A.?兩組樣本數據的樣本平均數相同

B.?兩組樣本數據的樣本中位數相同

C.?兩組樣本數據的樣本標準差相同

D.?兩組樣本數據的樣本極差相同

直接法：

設樣本數據x1，x2，…，xn的平均數為?，中位數為x0，標準差為s1，極差為c1，

樣本數據y1，y2，…，yn的平均數為?，中位數為y0，標準差為s2，極差為c2，則

=?，?=?=?=?+c，

y0=x0+c，

s1=?，

s2=

=?=s1，

c1=xmax-xmin，c2=ymax-ymin=（xmax+c）-（xmin+c）=c1，

故選擇CD.

間接法：

根據平均數、中位數的概念，y1，y2，…，yn的平均數是x1，x2，…，xn的平均數加上c，y1，y2，…，yn的中位數是x1，x2，…，xn的中位數加上c，

因為c為非零常數，

所以AB選項錯誤，

故選擇CD.

總結歸納：本題根據平均數、中位數、標準差、極差的定義，進行簡單的計算，不管用直接法還是間接法，都可以比較快地得到答案，主要考查對樣本數據的數字特征的理解和簡單計算，考查高中數學科的必備知識，屬于基礎性題目.

10.?已知O為坐標原點，點P1（cos?，sin?），P2（cos?，-sin?），P3（cos（?+?），sin（?+?）），A（1，0），則（???）

A.??=??B.??=

C.??·?=?·???D.??·?=?·

直接法一：

=?=1，?=?=1，A正確.

=?=?，?=

=?，B錯誤.

·?=1×cos（?+?）+0×sin（?+?）=cos（?+?），

·?=cos?cos?+sin?（-sin?）=cos（?+?），C正確.

·?=1×cos?+0×sin?=cos?，

·?=cos?cos（?+?）+（-sin?）sin（?+?）=cos（?+2?），D錯誤.

所以選擇AC.

直接法二：

把點A，P1，P2，P3以及相關向量在直角坐標系中標出來，如圖1所示，

由向量的模以及數量積容易得到A，C項正確，B，D錯誤，

所以選擇AC.

間接法：

取?=30°，??=60°，?則?=?，??=1，?B錯誤.

·?=?，?·?=-?，D錯誤.

所以排除BD，

故選擇AC.

總結歸納：本題根據向量的模、數量積的坐標運算公式，結合三角恒等變換公式進行簡單的運算，或者數形結合，都可以直接判斷A，C選項正確，B，D選項不一定成立.?當然如果能對?，?取特殊值，可以很快排除B，D選項，本題用間接法處理更好.?主要考查對向量的模、向量數量積、三角函數定義的理解和三角恒等變換公式的運用，考查高中數學科的必備知識，屬于基礎性題目.

11.?已知點P在圓（x-5）2+（y-5）2=16上，點A（4，0），B（0，2），則（???）

A.?點P到直線AB的距離小于10

B.?點P到直線AB的距離大于2

C.?當∠PBA最小時，PB=3

D.?當∠PBA最大時，PB=3

直接法：

如圖2，（x-5）2+（y-5）2?=?16的圓心為C（5，5），

半徑r=4，直線AB?∶??+?+1，即x+2y-4=0，

C到直線AB的距離d=?=?，

所以當點P在P1處時，點P到直線AB的距離取最小值，最小值為d-r=?-4<1，

當點P在P2處時，點P到直線AB的距離取最大值，最大值為d+r=?+4<10，

所以選項A正確，選項B錯誤.

當點P在P3處時，∠PBA最小，

當點P在P4處時，∠PBA最大，

P3?B=P4?B=?=?=3?，

所以C，D項正確，

故選擇ACD.

總結歸納：本題根據直線與圓的位置關系，數形結合，由圓心C到直線AB的距離，容易求出圓上的點到直線AB的距離的最大值和最小值，從而判斷選項A正確，選項B錯誤.?同樣是數形結合，可以判斷當BP與圓相切時，∠PBA最小或最大.?由于選項B錯誤，根據切線長定理得P3B=P4B，不用計算線段P3B，P4B的長度，結合選項，就可以判斷C，D選項一定正確.?本題應該用直接法處理，主要考查圓的幾何性質、點到直線的距離、直線與圓的位置關系、以及距離和角度的最值等問題，考查高中數學科的關鍵能力，屬于綜合性題目.

12.?在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，點P滿足??=??+??，其中?∈[0，1]，?∈[0，1]，則（???）

A.?當?=1時，△AB1P的周長為定值

B.?當?=1時，三棱錐P-A1BC的體積為定值

C.?當?=?時，有且僅有一個點P，使得A1P⊥BP

D.?當?=?時，有且僅有一個點P，使得A1B⊥平面AB1P

直接法：

當?=1時，由于?=??+??，其中?∈[0，1]，?∈[0，1]，

所以點P在線段CC1上運動，

沿側棱BB1把正三棱柱ABC-A1B1C1展開，

△AB1P的周長l=AB1+AP+PB1，

當點P在線段CC1上運動時，

由于AB1的長度不變，AP+PB1的長度改變，

所以△AB1P的周長不是定值，選項A錯誤.

當?=1時，由于?=??+??，其中?∈[0，1]，?∈[0，1]，

所以點P在線段B1C1上運動，

由于BCC1B1是正方形，

所以△PBC的面積是定值，

因為A1到平面BCC1B1的距離是定值，

所以三棱錐P-A1BC的體積為定值，選項B正確.

當?=?時，由于?=??+??，其中?∈[0，1]，?∈[0，1]，

所以點P在線段DD1上運動，其中D，D1分別是BC，B1C1的中點，

當點P運動到D，D1時，均有A1P⊥BP，

所以選項C錯誤.

當?=?時，由于?=??+??=??+??，其中?∈[0，1]，

設O是AC的中點，以O為原點，OB，OC所在直線為x，y軸，建立如圖8的空間直角坐標系，則A（0，-?，0），A1（0，-?，1），B（?，0，0），B1（?，0，1），C（0，?，0），?=（?，?，-1），??=（?，?，1），??=??+??=??（-?，?，0）+?（0，0，1）=（-?，?，?）.

所以P（?，?，?），?=（?，?，-?），

設平面AB1P的法向量為?=（x，y，z），

則由?·?=0，?·?=0，得?x+?y+z=0，-?x+?y-?z=0.

令z=?得x=-?，y=?，所以?=（-?，?，?），

若A1B⊥平面AB1P，則?與?共線，即?=?=?，解得?=1∈[0，1]，

所以有且僅有一個點P，使得A1B⊥平面AB1P，選項D正確.

故選擇BD.

間接法：

由于選項D比較難判斷，可以利用直接法判斷選項A錯誤、選項B正確、選項C錯誤之后，根據多選題至少有兩個或以上的選項正確的特點，不用再驗證選項D是否正確，可以直接選擇選項BD.

總結歸納：本題根據空間向量的數乘、加法等運算法則，確定動點的軌跡，通過棱柱的側面展開圖判斷選項A不正確，通過兩條平行線間的距離處處相等判斷選項B正確，通過直觀想象，找出線段邊界的兩個端點符合題意，判斷選項C不正確，通過建立空間直角坐標系，利用待定系數法，根據直線與平面垂直的空間向量關系，確定點P的位置，判斷選項D正確.?本題主要以空間向量進行包裝，考查三角形周長定值、三棱錐體積定值、線線垂直、線面垂直等問題，考查高中數學科的關鍵能力和學科素養，屬于綜合性和應用性題目.?本題判斷選項A、B、C是否符合題意，計算量不大，但判斷選項D是否符合題意，計算量大，可以根據多選題至少有兩個或以上的選項正確的特點，不用再驗證選項D是否正確，可以直接選擇選項BD.

四、總結考查知識點，提高學習和訓練的針對性

多選題是新高考的新題型，只有在2020年、2021年新高考的Ⅰ、Ⅱ卷中出現，下面對四份試題的多選題的知識點進行回顧.

從表1可以得出，多選題主要來自三角函數、概率與統計、立體幾何、解析幾何、函數與不等式等數學主干知識，考查目標以必備知識、關鍵能力、學科素養為主，考查要求以基礎性、綜合性、應用性為主.

五、加強訓練，提高做多選題得分能力

針對多選題主要來自三角函數、概率與統計、立體幾何、解析幾何、函數與不等式等數學知識版塊，下面圍繞這5個知識版塊，提供每個知識版塊2道多選題進行訓練.

（一）三角函數版塊

1.?已知函數f（x）=sin（？棕x+？漬）（？棕>0，|？漬|

A.?f（x）=cos（2x-?）

B.?f（x）=sin（2x-?）

C.?f（?+x）=f（?-x）

D.?f（?+x）=-f（?-x）

解析：由圖像可得?T=?-?=?，故T=π，所以？棕=?=2，

又?f（?）為最大值，故2×?+？漬=?+2kπ，k∈Z，故？漬=?+2kπ，k∈Z.

因為|？漬|

所以f（x）=sin（2x+?-?）=cos（2x-?），故A正確，B錯誤.

令2x+?=kπ，則x=?-?，k∈Z，當k=1時，x=?，

故函數圖像的對稱中心為（?，0），故C錯誤，D正確.

故選擇AD.

2.?已知函數f（x）=（sinx+cosx）|sinx-cosx|，下列說法正確的是

A.?f（x）是周期函數

B.?f（x）在區間[-?，?]上是增函數

C.?若f（x1）+f（x2）=2，則x1+x2=?（k∈Z）

D.?函數g（x）=f（x）+1在區間[0，2π]上有且僅有1個零點

解析：因為f（?）=1，f（0）=1，

所以f（x）在區間[-?，?]上不可能是增函數，排除選項B.

因為f（?）=-1，f（π）=-1，排除選項D.

故選擇AC.

（二）概率與統計

1.?空氣質量指數AQI是反映空氣質量狀況的指數，對應關系如下表：

為監測某化工廠排放廢氣對周邊空氣質量指數的影響，某科學興趣小組在校內測得10月1日-20日AQI指數數據并繪制成折線圖如下：

下列敘述正確的是

A.?這20天中AQI指數值的中位數略大于150

B.?這20天中空氣質量為優的天數占

C.?10月4日到10月11日，空氣質量越來越好

D.?總體來說，10月中旬的空氣質量比上旬的空氣質量差

解析：只有5天AQI指數值大于150，中位數不可能大于150，選項A不符合題意.?由于有5天AQI指數值不大于50，選項B符合題意.

由于4日到11日AQI指數值越來越大，空氣質量越來越差，選項C不符合題意.

由于中旬的AQI指數值比上旬的AQI指數值大，

所以中旬的空氣質量比上旬的空氣質量差，選項D符合題意.

故選擇BD.

2.?廣東江門有開平碉樓，赤坎古鎮，下川島，小鳥天堂四個著名景點，一位游客來該市游覽，已知該游客游覽開平碉樓的概率為?，游覽赤坎古鎮、下川島和小鳥天堂的概率都是?，且該游客是否游覽這四個景點相互獨立.?用隨機變量X表示該游客游覽的景點的個數，下列正確的是

A.?游客至少游覽一個景點的概率

B.?游客至多游覽一個景點的概率

C.?P（X=3）=

D.?P（X=4）=

解析：隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，4;

則P（X=0）=（1-?）（1-?）（1-?）（1-?）=?，

所以P（X≥1）=1-P（X=0）=?，故A正確.

P（X=1）=（?）（1-?）3+（1-?）?·?·（1-?）2=?，

所以P（X≤1）=P（X=0）+P（X=1）=?，故B不正確.

P（X=3）=?×?×（?）2×（1-?）+（1-?）×（?）3=?，故C正確.

P（X=4）=?×（?）3=?，故D錯誤.

故選擇AC.

（三）立體幾何

1.?如圖11，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形，高為4，E為線段A1D1上的中點，F為CC1上的動點，則下列結論正確的是

A.?三棱錐B1-ABF的體積為定值

B.?當F為CC1的中點時，經過B，E，F的平面截長方體得截面為五邊形

C.?EF在平面ADD1A1內的射影長的取值范圍是[1，?]

D.?三棱錐A1-AEF的外接球的體積為8?π

解析：連接B1F，BF，AB1，在長方體中，AB⊥平面BCC1B1，

易知△B1FB的面積是定值，由等體積法V?=V?，

所以三棱錐B1-ABF的體積為定值.

故A正確.

顯然，B正確.

過F點作DD1的垂線交于點H，由長方體得EH⊥FH.?易得EF在平面ADD1A1內的射影長的取值范圍是[1，?].

故C不正確.

因為A1D1，A1B1，A1A兩兩垂直，

所以三棱錐A1-AEF的外接球即為長方體ABCD-A1B1C1D1的外接球，

其外接球的半徑為??=?，體積為?π×（?）3=8?π.

故D正確.

故選擇ABD.

2.?如圖12，正方體ABCD-A1B1C1D1中，對角線A1C⊥平面?，則?與正方體ABCD-A1B1C1D1的截面可能是（???）

A.??????????????????????B.

C.??????????????????????D.

解析：設A1C與三角形AB1D1、BC1D的交點分別是E、F.

當平面?與A1C的交點在A1E之間時，僅與上底面、左側面、正面相交，易證截面為等邊三角形，且經過A、B1、D1三點時截面為最大的等邊三角形.

當平面?與與A1C的交點在EF之間時，易證截面為對邊平行的的六邊形.

當平面?與與A1C的交點在FC之間時，由對稱性可知截面是等邊三角形.

故選擇AD.

（四）解析幾何

1.?定義：以雙曲線的實軸為虛軸，虛軸為實軸的雙曲線與原雙曲線互為共軛雙曲線.?以下關于共軛雙曲線的結論正確的是

A.?與?-?=1（a>0，b>0）共軛的雙曲線是?-?=1（a>0，b>0）

B.?互為共軛的雙曲線漸近線不相同

C.?互為共軛的雙曲線的離心率為e1，e2，則e1e2≥2

D.?互為共軛的雙曲線的4個焦點在同一圓上

解析：由新定義可以得到與?-?=1（a>0，b>0）共軛的雙曲線方程是?-?=1（a>0，b>0），它們漸近線都是y=±?x，排除選項A、B，

故選擇CD.

2.?已知曲線C∶（m-1）x2+（3-m）y2=（m-1）（3-m）（m≠1且m≠3），則下列結論正確的是

A.?若曲線C是橢圓，則1

B.?若m<1或m>3，則曲線C是雙曲線

C.?？堝m∈（1，3），使得曲線C不是橢圓

D.?若m=5，則曲線C與直線y=kx+1恒有兩個交點

解析：對于方程C∶（m-1）x2+（3-m）y2=（m-1）（3-m）（m≠1且m≠3），

可化為?+?=1，

若3-m=m-1，即m=2時，曲線C是圓，

選項A不符合題意.

若（3-m）（m-1）<0，即m>3或m<1時，曲線C是雙曲線，

選項B符合題意.

若（3-m）（m-1）<0，即1

選項C符合題意.

若m=5，則曲線C是雙曲線?-?=1，

聯立?-?=1y=kx+1得（2-2k2）x2-2kx+3=0

由△=28k2-8>02-2k2≠0，顯然當k>?或k<-?時，曲線C與直線有兩個交點，

選項D不符合題意.

故選擇BC.

（五）函數與不等式

1.?設a>0，b>0，a+b=1，則

A.?a2+b2的最小值為

B.??的是小值為2

C.??+?的范圍為[9，+∞]

D.?若c>1，則（?-2）·c+?的最小值為8

解析：對于A，由a2+b2≥?=?，當且僅當a=b=?時取等，可得a2+b2的最小值為?，所以A正確.

對于B，由?=?=?+?，又由0

對于C，由?+?=（?+?）（a+b）=5+?+?≥5+2?=9，當且僅當a=2b時，即a=?，b=?時，等號成立，取得最小值9，所以C正確.

對于D，由?-2=?-2=?+?≥4，當且僅當b=2a時，即a=?，b=?時，等號成立，可得（?-2）·c+?≥4（c-1）+?+4≥8，當且僅當c=?時取等，所以D正確.

故選擇ACD.

2.?已知函數?f（x）=e|x|sinx，則下列結論正確的是（ ）

A.?f（x）是周期為2π的奇函數

B.?f（x）在（-10π，10π）內有21個極值點

C.?f（x）在（-?，?）上為增函數

D.?f（x）≥ax在[0，?]上恒成立的充要條件是a≤1

解析：因為f（x）的定義域為R，f（-x）=e|-x|sin（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函數，

但是f（x+2π）=e|x+2π|sin（x+2π）=e|x+2π|sinx≠f（x），所以f（x）不是周期為2π的函數，

故A錯誤.

當x∈[0，10π）時，f（x）=exsinx，f?′（x）=ex（sinx+cosx）=?exsin（x+?），

令?f?′（x）=0得，?x=-?+kπ（k=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10），

當x∈[-10π，0）時，f（x）=e-xsinx，f?′（x）=e-x（cosx-sinx）=?e-xcos（x+?），

令?f?′（x）=0得，x=?+kπ（k=-1，-2，-3，-4，-5，-6，-7，-8，?-9，-10），

因此，f（x）在（-10π，10π）內有20個極值點，故B錯誤.

當x∈（-?，0）時，f（x）=e-xsinx，f?′（x）=e-x（cosx-sinx）>0，f（x）單調遞增，

當x∈（0，?）時，f（x）=exsinx，f?′（x）=ex（sinx+cosx）>0，f（x）單調遞增，

且f（x）在（-?，?）連續，故f（x）在（-?，?）單調遞增，故C正確.

當x∈[0，?]時，f（x）≥ax？圳a≤?，

設g（x）=?，所以g′（x）=?，

令h（x）=xsinx+xcosx-sinx，x∈（0，?]，

h′（x）=sinx+x（cosx-sinx）>0，h（x）單調遞增，

h（x）>h（0）=0，所以g′（x）>0，g（x）在（0，?]單調遞增.

當x趨近于0時，g（x）=?趨近于1，?所以a≤1，故D正確.

故選擇CD.

責任編輯 徐國堅