單元關(guān)鍵課例確定與多維學(xué)習(xí)路徑設(shè)計

方巧娟 汪芳

在“除數(shù)是一位數(shù)的除法”單元整體教學(xué)中，“一位數(shù)除兩位數(shù)的除法筆算”是單元關(guān)鍵課例之一。我們針對不同學(xué)習(xí)起點，選擇合適的學(xué)習(xí)材料，展開兩條路徑的學(xué)習(xí)，取得了較好的效果。我們發(fā)現(xiàn)，只要突破單元關(guān)鍵課例的教學(xué)，就能突破整個單元的教學(xué)。

一、單元關(guān)鍵課例確定

人教版數(shù)學(xué)教材三年級下冊“除數(shù)是一位數(shù)的除法”單元，筆算教學(xué)序列主要從“一位數(shù)除兩位數(shù)的除法”到“一位數(shù)除三位數(shù)的除法”，均包含首位能除盡和不能除盡的情況，后續(xù)補充有關(guān)0的除法。其中，“一位數(shù)除兩位數(shù)的除法”的教學(xué)尤其困難，因為學(xué)生經(jīng)驗負遷移明顯，認知擴展跨越大，主要體現(xiàn)在以下兩點。

（一）豎式書寫格式的負遷移多

從二年級的“有余數(shù)除法”筆算到“一位數(shù)除兩位數(shù)的除法”筆算，時隔近一年之久，學(xué)生對筆算除法格式印象已模糊。另外，大部分學(xué)生受兩位數(shù)除以一位數(shù)的口算及加法、減法、乘法豎式格式的干擾，容易將除法豎式寫成加、減、乘的格式或者是“一層式”筆算格式，無法體驗“兩層式”筆算格式的優(yōu)勢。

（二）余數(shù)含義理解的認知擴展難

“除數(shù)是一位數(shù)的除法”筆算，主要解決兩次及以上平均分物的過程與結(jié)果。豎式由“一層式”跨越到“多層式”，主要指向余數(shù)含義的擴展，體現(xiàn)在兩個方面：首先，從原先的余幾個一擴展到可以余幾個一、幾個十、幾個百，余數(shù)對應(yīng)的位置分別在個位、十位和百位;其次，隨著余數(shù)產(chǎn)生的次數(shù)增多，會不斷產(chǎn)生余數(shù)并繼續(xù)分、該怎么分的問題。這個計算過程，可以看成有余數(shù)除法豎式不斷循環(huán)的過程;不僅涉及除、乘、減多種運算，而且要解決余數(shù)的合并再繼續(xù)除的問題，由此造成學(xué)生對余數(shù)繼續(xù)分的認知具有一定的困難。

二、學(xué)情分析

（一）前測設(shè)計說明

前測安排在學(xué)生學(xué)完“除數(shù)是一位數(shù)的口算除法”之后，抽樣測查對象205名學(xué)生，其中城區(qū)學(xué)生84名，鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)生121名。前測題包括筆試、訪談兩項內(nèi)容。其中筆試內(nèi)容為：筆算“96÷3”“12÷3”“42÷3”“236÷2”，畫一畫、寫一寫怎么計算“42÷2”和“34÷2”。訪談內(nèi)容為：“42÷2”和“52÷2”是怎么算的？讓學(xué)生用小棒來表示分的過程。

（二）測查數(shù)據(jù)分析

1.書寫格式。

（1）原有經(jīng)驗對接不足。表內(nèi)除法豎式遺忘較多，學(xué)生原有經(jīng)驗無法自主對接新知，主要錯例集中如下：①加減乘筆算格式負遷移（如圖1）;②了解除法豎式格式，但只寫了被除數(shù)、除數(shù)和商（如圖2）;③寫了一層豎式（如圖3）。

（2）城鄉(xiāng)分化嚴重。受家庭教育和培訓(xùn)機構(gòu)的影響，城區(qū)學(xué)生已經(jīng)提前學(xué)會“除數(shù)是一位數(shù)的除法”的比例大大超過鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)生，學(xué)習(xí)起點差異大。

2.圖示表征能力。

學(xué)生表征算式34÷2的圖示表征困難更大，在課堂上教師要補充動手操作的實踐活動，豐富學(xué)生的表象。

3.動作表征能力。

訪談中我們發(fā)現(xiàn)，給出小棒之后學(xué)生基本能完成平均分，但小棒拆分情況多樣，其中42÷2分小棒過程主要指向先分整捆或者先分單根;52÷2分法則呈現(xiàn)“50+2”“40+10+2”“40+12”等多種分法。可見，學(xué)生分實物沒有困難，但是兩個算式均出現(xiàn)了多種分法，不利于創(chuàng)造與溝通筆算除法豎式。

三、路徑優(yōu)化與選擇

由于學(xué)生的起點差異較大，我們選擇合適的學(xué)習(xí)材料，確定了兩條學(xué)習(xí)路徑，供起點較低的學(xué)生和起點較高的學(xué)生選擇。

（一）從有余數(shù)除法筆算到除數(shù)是一位數(shù)的除法筆算

課例設(shè)計特點：

分散難點，逐個突破，適合筆算格式遺忘較多、小棒拆分有困難的學(xué)生。學(xué)習(xí)路徑從有余數(shù)除法筆算復(fù)習(xí)，擴展到除數(shù)是一位數(shù)的除法筆算。

目標導(dǎo)引：

1.通過喚醒學(xué)生原有知識技能，順利遷移到一位數(shù)除兩位數(shù)的筆算方法。

2.通過動手操作體驗分后有余，需要通過拆分后繼續(xù)分，凸顯兩次分的過程，并抽象成符號表征（包括橫式表達與豎式表達）。

主要環(huán)節(jié)：

1.創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)回顧。

引出算式7÷2，借助小棒圖理解有余數(shù)除法豎式7÷2的含義。

2.新課展開，探究豎式意義。

（1）引出70÷2，分小棒操作并討論交流：第一次整捆分，第二次拆開后繼續(xù)分。

（2）創(chuàng)造兩次分的豎式，反饋學(xué)生作品進行優(yōu)化與解讀。

對比聯(lián)系溝通：重點突破商的定位問題，兩次分的豎式、橫式、圖示的對接以及經(jīng)歷十位有余拆分后繼續(xù)分的過程。

3.跟進筆算72÷2和96÷3。

（1）跟進筆算72÷2，重點突破十位有余拆分和個位合并繼續(xù)分。

（2）跟進筆算96÷3，遷移掌握十位除后無余的除法筆算格式。

（二）從十位除后有余到十位除后無余

課例設(shè)計特點：

聚焦難點、一次突破，適合學(xué)習(xí)起點較高的學(xué)生。學(xué)習(xí)路徑從十位除后有余開始，把52÷2調(diào)整為42÷3，聚焦30+12小棒拆分與豎式的聯(lián)系溝通。

目標導(dǎo)引：

（1）通過動手操作體驗十位分后有余，和個位合并后繼續(xù)分的過程，凸顯兩次分的過程，并完成符號表征（包括橫式表達與豎式表達）。

（2）通過溝通豎式、橫式和圖示三者之間的聯(lián)系，從而理解算理，掌握算法。

主要環(huán)節(jié)：

1.出示主例題引出42÷3。

2.小棒操作，架構(gòu)算理，感悟算法。

（1）學(xué)生用小棒分一分。

（2）反饋交流。

根據(jù)學(xué)生反饋說清楚兩次分小棒的過程，并理解為什么整捆開始分。

（3）結(jié)合分的過程創(chuàng)造兩次分的豎式格式。

（4）溝通聯(lián)系，結(jié)合圖4理解兩次分的豎式格式。

①先分了什么？（3捆）豎式中怎么體現(xiàn)？

②每份分到多少？（每份1捆）怎么寫商？

③分掉了多少？（分了3捆）又是怎么算的？

④還剩下多少？（剩下1捆）

⑤那接下去算什么？12怎么來的？

把個位上的2落下來與十位上的1合起來，變成12繼續(xù)分。

3.補充42÷2的學(xué)習(xí)。

（1）補充情境引出算式42÷2。

（2）通過遷移確定小棒的分法，明確豎式從高位算起的方法和圖示聯(lián)系。

（3）對比交流：比較42÷2和42÷3計算上的異同。

四、后測分析

后測選取了城區(qū)同等水平的兩個班級學(xué)生，共80人，分兩條路徑學(xué)習(xí)，針對運算正確與算理理解跟進后測分析，情況如下。

1.運算正確：筆算格式書寫規(guī)范較好，路徑一掌握情況略優(yōu)于路徑二。

從數(shù)據(jù)看，兩條路徑學(xué)生的運算能力均有了大幅度提升，但路徑一重難點分散，知識點循序漸進，所以學(xué)生筆算格式掌握情況要略優(yōu)于路徑二。其次，256÷2考查學(xué)生的遷移能力，兩個班均有半數(shù)以上學(xué)生會遷移。

2.算理表征：畫圖表征能力提升明顯，路徑二拆分正確略高于路徑一。

從理解算理維度的“34÷2”畫圖表征數(shù)據(jù)看，路徑一會正確拆分的人數(shù)略低于路徑二。主要原因是路徑二集中了教學(xué)難點，在主例題講解時一次性突破了十位余后拆分與個位合并的過程;而路徑一主例題只講解了分后有余拆分后繼續(xù)分的過程，對拆分合并過程只是在后續(xù)嘗試練習(xí)中進行了補充。

總體來看，兩條學(xué)習(xí)路徑都實現(xiàn)了優(yōu)化，但路徑不同，能力提升的維度也有所不同。路徑一注重豎式格式規(guī)范的循序漸進，在運算正確上略勝一籌;路徑二聚焦重難點讓學(xué)生創(chuàng)造豎式，突破了豎式為什么要從高位算起，理解了十位余后拆分與個位合并繼續(xù)分的過程，在算理理解上更加深刻?？梢姡绻麑W(xué)生起點較低，可以選擇路徑一，在運算正確上做好保底;如果學(xué)生起點較高，可以選擇路徑二，讓學(xué)生自主創(chuàng)造，加深算理和算法的融通。

（作者單位：浙江省寧波市奉化區(qū)江口街道中心小學(xué) 浙江省寧波市奉化區(qū)龍津?qū)嶒瀸W(xué)校）