基于B-S模型的可轉(zhuǎn)債定價(jià)及投資策略比較

呂沐航 張羿晗

摘 要：本文采用成分定價(jià)法，將可轉(zhuǎn)債的價(jià)值分離為債券價(jià)值和期權(quán)價(jià)值分別進(jìn)行計(jì)算，其中債券部分定價(jià)基于現(xiàn)金流貼現(xiàn)定價(jià)模型，期權(quán)部分定價(jià)基于B-S模型。依據(jù)定價(jià)結(jié)果，設(shè)計(jì)投機(jī)策略與Delta對(duì)沖套利策略進(jìn)行對(duì)比，并對(duì)各組合收益進(jìn)行回測(cè)，驗(yàn)證不同策略的回報(bào)與風(fēng)險(xiǎn)。實(shí)證結(jié)果表明，Delta對(duì)沖套利組合具有更高的收益空間，同時(shí)在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與預(yù)期反向變動(dòng)時(shí)，可以有效降低損失，實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)防范。

關(guān)鍵詞：可轉(zhuǎn)債定價(jià);B-S模型;套利策略;Delta對(duì)沖

本文索引：呂沐航，張羿晗.<標(biāo)題>[J].中國(guó)商論，2021（17）：-092.

中圖分類號(hào)：F832 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2096-0298（2021）09（a）--03

近年來(lái)，隨著中國(guó)債券市場(chǎng)的不斷發(fā)展，可轉(zhuǎn)債交易漸入投資者視線。作為一種新興金融工具，可轉(zhuǎn)債本身具有債底價(jià)值，同時(shí)轉(zhuǎn)股條款的存在又添加了期權(quán)的特性，因此可轉(zhuǎn)債的價(jià)格往往難以確定。本文基于B-S模型對(duì)可轉(zhuǎn)債的內(nèi)在價(jià)值進(jìn)行估計(jì)并計(jì)算其Delta值，據(jù)此設(shè)計(jì)不同投資策略，包括投機(jī)策略、Delta靜態(tài)對(duì)沖策略、Delta動(dòng)態(tài)對(duì)沖策略。利用可轉(zhuǎn)債和標(biāo)的股票行情歷史數(shù)據(jù)，本文將對(duì)三種投資組合的收益水平和波動(dòng)情況進(jìn)行回測(cè)。

1 定價(jià)模型

可轉(zhuǎn)債作為一類金融衍生品，兼具債券和股票期權(quán)的特性，因此它的定價(jià)可以從債性和股性兩部分來(lái)考慮：債性部分采用一般債券的現(xiàn)金流貼現(xiàn)定價(jià)模型，股性部分則使用期權(quán)的B-S模型定價(jià)方法，將兩者結(jié)合起來(lái)便可以實(shí)現(xiàn)對(duì)可轉(zhuǎn)債的定價(jià)。

可轉(zhuǎn)債股性定價(jià)B-S模型公式：

其中，C為可轉(zhuǎn)債股性部分價(jià)值，即內(nèi)含期權(quán)價(jià)值;S為t時(shí)刻標(biāo)的股票價(jià)格;K為t時(shí)刻轉(zhuǎn)股價(jià)格，即行權(quán)價(jià)格;T為到期日;N為正態(tài)分布的累積分布函數(shù);r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，采用一年期國(guó)債利率;為標(biāo)的股票價(jià)格的波動(dòng)率，采用過(guò)去60個(gè)交易日的年化股票波動(dòng)率。

具體實(shí)現(xiàn)上，我們選取了兩只股票進(jìn)行定價(jià)檢驗(yàn)，分別是：

（1）2019年3月27日發(fā)行的“大豐轉(zhuǎn)債”，它的發(fā)行主體是浙江大豐實(shí)業(yè)股份有限公司，信用評(píng)級(jí)為AA，發(fā)行期限為6年。

（2）2019年11月18日發(fā)行的“順豐轉(zhuǎn)債”，它的發(fā)行主體是順豐控股股份有限公司，信用評(píng)級(jí)為AAA，發(fā)行期限為6年。

2 投資策略設(shè)計(jì)

2.1 基于發(fā)行定價(jià)的可轉(zhuǎn)債投機(jī)交易策略

對(duì)于“大豐轉(zhuǎn)債”及“順豐轉(zhuǎn)債”兩只可轉(zhuǎn)債，B-S模型定價(jià)結(jié)果高于上市首日收盤(pán)價(jià)，因此可以判斷兩只債券的價(jià)格都被低估了，這就產(chǎn)生了投機(jī)空間。在上市首日以市場(chǎng)交易價(jià)格購(gòu)買兩只債券并長(zhǎng)期持有，即可實(shí)現(xiàn)預(yù)期價(jià)格會(huì)上升的投機(jī)交易。

2.2 基于Delta的對(duì)沖套利策略

Delta在期權(quán)中被用于描述期權(quán)價(jià)格與標(biāo)的股票價(jià)格的相關(guān)性，股票價(jià)格每上升一單位，對(duì)應(yīng)的看漲期權(quán)價(jià)格上升Delta單位。在可轉(zhuǎn)債中，Delta有著類似的作用，由于可轉(zhuǎn)債的債性部分價(jià)格波動(dòng)不大，Delta所描述的股性部分價(jià)格變化是引起可轉(zhuǎn)債價(jià)格波動(dòng)的主要因素。因此，像使用股票和期權(quán)構(gòu)造對(duì)沖策略一樣，可以使用可轉(zhuǎn)債和對(duì)應(yīng)的正股構(gòu)造Delta對(duì)沖套利策略。

通過(guò)構(gòu)建Delta套利組合，可以使組合價(jià)值不受正股價(jià)格變化的影響。如果股價(jià)上漲則可轉(zhuǎn)債價(jià)格上漲，轉(zhuǎn)債多頭盈利，股票空頭虧損，兩者在一定程度上可以抵消，反之亦然。同時(shí)，看漲期權(quán)是波動(dòng)率的增函數(shù)，所以在組合Delta中性的時(shí)候，標(biāo)的股票波動(dòng)率上升將帶來(lái)組合的超額收益。

依據(jù)B-S模型，可以得到轉(zhuǎn)債的Delta：

其中，TR是可轉(zhuǎn)債的轉(zhuǎn)換比率，由債券的轉(zhuǎn)股價(jià)格確定。等式最右邊的B-S公式則是Delta的具體計(jì)算方法。使用上述兩種可轉(zhuǎn)債，本文對(duì)它們上市以來(lái)每個(gè)交易日的Delta值進(jìn)行了測(cè)算。

2.2.1 大豐轉(zhuǎn)債

圖1中綠色折線為轉(zhuǎn)債對(duì)應(yīng)正股的股票價(jià)格日度波動(dòng)曲線，藍(lán)色折線為轉(zhuǎn)債Delta值的波動(dòng)曲線。由圖可見(jiàn)，兩者的波動(dòng)趨勢(shì)基本吻合，在股票價(jià)格處于17～18元的高位時(shí)，轉(zhuǎn)債的Delta也達(dá)到了0.7～0.8，此時(shí)它的股性程度更高，內(nèi)含的看漲期權(quán)對(duì)股票價(jià)格的波動(dòng)更加敏感;而當(dāng)股票價(jià)格下挫至12元附近時(shí)，轉(zhuǎn)債的Delta僅有0.4，此時(shí)它較偏債性。

2.2.2 順豐轉(zhuǎn)債

與前者相同，圖2中綠色折線為轉(zhuǎn)債對(duì)應(yīng)正股的股票價(jià)格日度波動(dòng)曲線，藍(lán)色折線為轉(zhuǎn)債Delta值的波動(dòng)曲線。在順豐轉(zhuǎn)債中，股票收益率和Delta的波動(dòng)趨勢(shì)更加一致，同時(shí)它的Delta值基本處于0.7以上，可見(jiàn)無(wú)論股票價(jià)格處于何等水平，順豐轉(zhuǎn)債的股性都更為明顯。

在計(jì)算得到兩種債券每日的Delta值之后，以Delta作為頭寸比例，使用可轉(zhuǎn)債和標(biāo)的股票構(gòu)建套利策略。假設(shè)持有一張轉(zhuǎn)債多頭，則需要用于對(duì)沖的股票空頭數(shù)目：

投資組合為：1單位轉(zhuǎn)債多頭，n單位股票空頭。基于這種投資組合構(gòu)建方法，本文設(shè)計(jì)了兩種模式的套利投資策略：

（1）靜態(tài)對(duì)沖：在初始日計(jì)算Delta值并以此構(gòu)建投資組合，此后不改變持有的投資組合頭寸。

（2）動(dòng)態(tài)對(duì)沖：在每一個(gè)交易日都計(jì)算一個(gè)Delta值和對(duì)應(yīng)的投資組合比例，每天都據(jù)此調(diào)整股票空頭頭寸，但仍保持1單位的轉(zhuǎn)債多頭。

3 投資策略檢驗(yàn)及評(píng)價(jià)

將上述第一種投機(jī)策略及后兩種基于Delta的套利策略一同進(jìn)行比較，注意到，在三種交易策略中都持有1單位的可轉(zhuǎn)債多頭， 通過(guò)調(diào)整不同比例的股票空頭來(lái)實(shí)現(xiàn)不同水平的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖和區(qū)間套利。

策略1：持有一單位可轉(zhuǎn)債多頭;

策略2：持有一單位可轉(zhuǎn)債多頭，使用股票空頭Delta靜態(tài)對(duì)沖;

策略3：持有一單位可轉(zhuǎn)債多頭，使用股票空頭Delta動(dòng)態(tài)對(duì)沖。

3.1 大豐轉(zhuǎn)債

圖3反映了使用大豐轉(zhuǎn)債構(gòu)建不同投資策略的收益水平，縱坐標(biāo)是相對(duì)于本金的累計(jì)回報(bào)率。不難發(fā)現(xiàn)，投資策略1即僅持有一張可轉(zhuǎn)債時(shí)，由于轉(zhuǎn)債價(jià)格變化不大，因此收益率的波動(dòng)非常小，套利空間也非常少。

同時(shí)結(jié)合兩張圖中的收益曲線和股票價(jià)格的變動(dòng)曲線可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)股票價(jià)格出現(xiàn)大幅上升時(shí)，基于Delta構(gòu)造的投資策略波動(dòng)較小，這是由于轉(zhuǎn)債價(jià)格的上升抵消了股票空頭帶來(lái)的損失;當(dāng)股票價(jià)格迅速下滑時(shí)，可以從股票的空頭中攫取大量的利潤(rùn)，其中動(dòng)態(tài)對(duì)沖策略3在這種熊市的表現(xiàn)十分卓越，最高能實(shí)現(xiàn)接近250%的累計(jì)收益率，驗(yàn)證了使用Delta對(duì)沖可以創(chuàng)造出套利空間的結(jié)論。

3.2 順豐轉(zhuǎn)債

順豐集團(tuán)的股票自2019年底一路高歌猛進(jìn)，這自然使得股票空頭會(huì)蒙受巨額損失。但由圖4觀察組合損失水平可以看出，在控制了持有一個(gè)可轉(zhuǎn)債多頭的情況下，每個(gè)投資組合都可以從這個(gè)多頭中獲取60元的收益，使總損失僅有20元左右。由此可見(jiàn)轉(zhuǎn)債多頭的價(jià)格上升很大程度上對(duì)沖了在股票空頭中的損失。因此，基于Delta構(gòu)建的套利策略可以在面對(duì)標(biāo)的股票價(jià)格朝預(yù)期反方向變動(dòng)時(shí)，一定程度上減少損失。

4 結(jié)語(yǔ)

策略1是一個(gè)最為簡(jiǎn)單的投機(jī)策略，持有一張可轉(zhuǎn)債多頭主要基于我們對(duì)它價(jià)格上升的預(yù)期，如果它的標(biāo)的股票價(jià)格上升，那么該轉(zhuǎn)債本身的價(jià)格也會(huì)上升，我們就可以從中獲利;如果它的標(biāo)的股票價(jià)格下降，那么該轉(zhuǎn)債至少還有債性的一部分為它的價(jià)值兜底，不會(huì)出現(xiàn)轉(zhuǎn)債價(jià)格的劇烈下滑，價(jià)格相對(duì)比較平穩(wěn)。因此策略1是一個(gè)中庸的策略，它的收益雖然不如股票那么高，但仍存在可能的上漲空間，同時(shí)風(fēng)險(xiǎn)也較小。

策略2和策略3都是基于Delta對(duì)沖的策略，這兩種策略的套利空間都非常廣泛，其中策略3是動(dòng)態(tài)對(duì)沖，能迅速捕捉到市場(chǎng)中的價(jià)格變動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)更高的收益率。同時(shí)，這兩種方法要求我們對(duì)股票價(jià)格的變動(dòng)方向有著一定的預(yù)期，從而選擇是進(jìn)行多頭亦或是空頭。即使判斷錯(cuò)誤，也有轉(zhuǎn)債的頭寸來(lái)進(jìn)行一定的對(duì)沖。因此，這兩種策略更適合在市場(chǎng)情況較為復(fù)雜，股票價(jià)格波動(dòng)較大的時(shí)候進(jìn)行套利。

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Comparison of Convertible Bond Pricing and Investment Strategies Based on B-S Model

Central University of Finance and Economics? Lv Muhang

Zhongnan University of Economics and Law? ZHANG Yihan

Abstract： This article adopts the component pricing method to separate the value of convertible bonds into bond value and option value to calculate respectively. The pricing of the bond part is based on the cash flow discount model， and the pricing of the option part is based on the B-S model. Based on the pricing results， this paper compares the speculative strategy with Deltas hedging arbitrage strategy， and tests the returns of each portfolio to verify the returns and risks of different strategies again. The empirical results show that the Deltas hedging arbitrage portfolio has a higher profit margin， and at the same time， when the underlying asset price and the expected one reversely change， it can effectively reduce losses and realize risk prevention.

Keywords： convertible bond pricing; B-S model; arbitrage strategy; Delta hedging