B-S-M期權定價模型和二叉樹模型運用對比分析

段一超

（河北經(jīng)貿大學,河北 石家莊 050061）

金融衍生工具的定價問題一直是金融衍生品領域中重點研究的熱點問題之一，因為投資者在金融市場上進行衍生品交易時，一個合理的定價是非常重要的。而在所有金融衍生工具定價中，期權定價最為復雜。目前基本上為人熟知的B-S-M期權定價模型和二叉樹模型作為兩大主流期權定價模型，可謂在期權定價領域具有里程碑意義。

1 兩種期權定價模型

1.1 B-S-M期權定價模型

B-S-M期權定價模型可以為支付已知金額的歐式股息收入以及歐式看漲和看跌期權定價，假設條件有：（1）股價服從對數(shù)正態(tài)分布；（2）股票可以賣空；（3）市場不存在無風險的套利機會；（4）無交易費用和稅費；（5）股票可以無限細分；（6）無風險利率是常數(shù)，保持不變；（7）期權為歐式期權。

B-S-M期權定價模型的主要思路：在無風險套利機會下，通過構造一個由期權與股票組成的資產組合，該資產組合的收益率為無風險收益率，由此得到滿足隨機微分方程的期權價格，該期權價格即為B-S-M模型的理論期權價格。該模型認為標的資產價格與期權價格受到同種因素的影響，因此遵循相同的布朗運動，而通過構建期權與股票的資產組合可以達到相互抵消布朗運動的效果，從而得到無風險回報率[1]。因此歐式看漲期權的定價模型相關計算公式表示如下：

1.2 二叉樹期權定價模型

二叉樹模型是針對離散形式的標的資產價格，對特定時點的期權進行定價的模型。但是該模型不適用特征不明確的標的資產的期權。假設條件為：（1）交易成本和稅費為0；（2）無風險利率保持不變；（3）股票不支付股息和紅利；（4）標的資產波動率保持不變；（5）以無風險利率進行借貸。

二叉樹模型主要采取倒推追蹤法來對初始時刻的期權進行定價。假設從初始時刻到交易日一直呈現(xiàn)不斷延伸的樹狀形，每一次都會出現(xiàn)兩種可能的情形，即價格上升或價格下降，分別用u和d表示，因此下一步長的價格就分別為S0×u和S0×d，計算步驟不斷被重復，直到初始時刻的期權價格被計算出為止。同時該模型認為在風險中立的情形下，某一步長的期權價格等于下一步長兩節(jié)點標的物價格的加權價值的折現(xiàn)值[2]。相關計算公式如下：

其中，該模型主要包含以下參數(shù)：到期時間T、標的資產價格S、執(zhí)行價格K、無風險利率r、波動率σ、看漲期權價格C、看跌期權價格P。N為正態(tài)分布函數(shù)。

模型主要涉及的參數(shù)：標的資產初始價格S0、執(zhí)行價格K、無風險利率r、期權到期時間T、波動率σ、價格上漲的比率u、價格下降的比率d、價格上漲的概率P、步長（節(jié)點）n、看漲期權價格C。

2 兩種期權定價模型的實際應用——虛值認購權證

2.1 樣本選取與數(shù)據(jù)處理

選取在美國紐約證券交易所上市的阿里巴巴（BABA）股票認購虛值期權作為研究對象，代碼為BABA|20211217|270.00C，是以阿里巴巴（BABA）股票為標的的虛值認購期權，行權價格K=$270，到期日為2021年12月17日，距離當前時刻2021年6月16日間隔185天，即T=0.506 9年。以下是其他重要參數(shù)的確定。

（1）無風險利率r。根據(jù)研究日期為2021年6月16日距離期權到期日還有0.506 9年，選取美國國庫券一年期利率5%作為無風險收益率r（數(shù)據(jù)來源于美聯(lián)儲官網(wǎng)）。

（2）對數(shù)日收益率。將股價收盤價作為計算依據(jù)，同時對收盤價取對數(shù)，以減少異方差的影響。

（3）波動率σ。采用歷史波動率預測股票波動率，采用標準差計算阿里巴巴（BABA）自2020年6月15日至2021年6月15日共計252個交易日的歷史波動率。計算公式：波動率σ=樣本標準差×每年交易天數(shù)^(1/2)。

（4）標的資產價格S。選取2021年6月15日阿里巴巴（BABA）股票當天收盤價作為標的資產價格，即S=210.06美元。

2.2 B-S-M期權定價模型實際應用

對于B-S-M期權定價模型，在運用其對股票期權進行定價前，要初步驗證該股票是否滿足期權定價的假設條件，尤其是股票價格是否服從對數(shù)正態(tài)分布這一假設。根據(jù)阿里巴巴（BABA）在過去252個交易日所形成的收盤價的對數(shù)日收益率，運用MATLAB R2014b軟件繪制分布圖，結果如圖1所示。

圖1 阿里巴巴（BABA）對數(shù)日收益率分布圖

由圖1可知，股票對數(shù)日收益率在過去252個交易日內近似服從正態(tài)分布，初步滿足B-S-M期權定價模型的假設，因此可以運用B-S-M對其進行定價。同時運用EXCEL軟件的STDEV函數(shù)根據(jù)252天的日對數(shù)收益率計算得到樣本標準差=0.025 5，代入公式可得波動率σ=40.46%。

根據(jù)英為財情公布的阿里巴巴股票認購期權（BABA|20211217|270.00C）相關數(shù)據(jù)，已知：S=$210.06，K=$270，r=5%，σ=40.46%，T=0.506 9。接著利用MATLAB R2014b軟件中的內置函數(shù)blsprice可以直接實現(xiàn)B-S-M期權定價模型。由此得出Call=$8.332 1，即看漲虛值期權合約的理論價格為8.332 1美元。將該期權定價的理論價格8.332 1美元與研究當日（2021年6月16日）期權的最新價格4.3美元相比，發(fā)現(xiàn)B-S-M期權定價模型所計算的阿里巴巴股票期權價格高于市場價格，可能原因是波動率的假設不滿足、股票價格連續(xù)變動的假設不滿足、股票發(fā)放紅利的忽略等導致由模型計算出來的期權理論價格與市場價格出現(xiàn)偏差[3]。

2.3 二叉樹期權定價模型實際應用

對于二叉樹期權定價模型，同樣利用MATLAB R2014b軟件為阿里巴巴股票認購虛值期權（BABA|20211217|270.00C）進行定價，相關參數(shù)已知：S=$210.06，K=$270，r=5%，σ=40.46%，T=0.506 9。將二叉樹模型步數(shù)設定為5 000步。利用MATLAB軟件可計算得出期權價格OptionPrice=$8.3320。

為驗證二叉樹期權定價模型與B-S-M期權定價模型之間的關聯(lián)性，通過改變二叉樹模型步數(shù)的設定來實現(xiàn)，相關計算結果如表1所示。

表1 二叉樹模型步數(shù)設定變化對應的看漲虛值期權的理論價格

從上述結果可以看出，隨著二叉樹模型步數(shù)的不斷增加，其期權定價結果更加收斂和精確。因為二叉樹模型是B-S-M模型在離散時間上的近似，因此在相同時間內所分隔的期數(shù)越大，即步數(shù)越大，其近似效果越好。將步數(shù)定為5 000步時，其期權定價基本維持在8.332 0美元左右，這與B-S-M期權定價模型計算出的結果8.332 1美元極為相似。

以B-S-M期權定價模型計算出的期權價格8.332 1美元為基準，計算目前的市場價格4.3美元與期權定價模型計算的期權價格之間的偏離度，根據(jù)公式：偏離度=（|實際價格－理論價格|）/理論價格。經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)，阿里巴巴股票認購虛值期權的偏離度為0.483 9。就該股票而言，當二叉樹模型的步數(shù)設定為5 000步時，兩者的偏離度相差不大，但是如果二叉樹模型的步數(shù)較少，如為100步時，理論價格為8.356 3美元，其偏離度為0.485 4，相比5 000步的步數(shù)設定，偏離度有所增加。因此認為，二叉樹模型計算出的期權價格的偏離度一般會高于B-S-M模型的偏離度[4]。

3 兩種期權定價模型的實際應用——虛值認沽權證

為比較期權定價模型在虛值認購權證和虛值認沽權證中的適用性，以及兩種期權定價模型在看漲和看跌期權上的定價效果差異，同時排除其他因素對定價效果的干擾，通過選取同一只股票（BABA）相同到期日的股票權證對其虛值認沽權證進行實際應用。

3.1 樣本選取與數(shù)據(jù)處理

選取以阿里巴巴股票為標的的認沽虛值期權為研究對象，代碼：BABA|20211217|150.00P，行權價格K=$150，到期日2021年12月17日，距離當前時刻2021年6月16日間隔185天，T=0.506 9年。重要參數(shù)確定如阿里巴巴股票虛值認購權證所述。

3.2 B-S-M期權定價模型實際應用

由于標的和選取時間區(qū)間不變，其日對數(shù)收益率計算得到樣本標準=0.025 5，波動率σ=40.46%，保持不變。根據(jù)英為財情公布的阿里巴巴股票認購期權（BABA|20211217|150.00P）相關數(shù)據(jù)，已知：S=$210.06，K=$150，r=5%，σ=40.46%，T=0.506 9。同樣利用函數(shù)blsprice實現(xiàn)B-S-M期權定價模型，得出結論：Put=$2.499 1，即看跌虛值期權合約的理論價格為2.499 1美元。

將該期權定價的理論價格2.499 1美元與研究當日（2021年6月16日）期權最新價格2.54美元相比，發(fā)現(xiàn)：相對于看漲虛值期權價格偏離度為0.483 9，使用B-S-M期權定價模型計算看跌虛值期權的價格偏離度為0.016 4。因此得出結論：對于阿里巴巴股票而言，B-S-M期權定價模型對于看跌虛值期權比看漲虛值期權定價的適用性更強，定價效果更好[5]。

3.3 二叉樹期權定價模型實際應用

對于二叉樹期權定價模型，利用MATLAB R2014b軟件為阿里巴巴股票認沽虛值期權（BABA|20211217|150.00P）進行定價，相關參數(shù)已知：S=$210.06，K=$150，r=5%，σ=40.46%，T=0.506 9。二叉樹模型步數(shù)設定為5 000步。計算得出，相同執(zhí)行價格的看漲虛值期權的價格OptionPrice=$66.313 2美元，運用看漲看跌期權平價定理P=C+Xλ-rT-S已知：C=$66.313 2，X=$150，S=$210.0 6，r=5%，T=0.506 9；計算得到相同執(zhí)行價格的看跌虛值期權的價格Put=$2.499 2。

為了驗證二叉樹期權定價模型與B-S-M期權定價模型之間的關聯(lián)性，再次改變二叉樹模型步數(shù)的設定來進行驗證，看漲虛值期權和看跌虛值期權的理論結果具體如下表所示：

表2 二叉樹模型步數(shù)設定變化對應的看跌虛值期權的理論價格

由上表可知，當看跌虛值期權的步數(shù)設定為5 000步時，二叉樹模型定價結果為2.499 2美元，B-S-M模型的定價結果為2.499 1美元。

4 B-S-M期權定價模型與二叉樹模型對比總結

通過將兩種期權定價模型在阿里巴巴（BABA）股票認購與認沽虛值期權上的實際應用，結合兩種期權定價模型在理論上存在的差異，得出以下結論：

不管是看漲還是看跌期權定價，一般來說，B-S-M期權定價模型的精確度更高，因為B-S-M考察的是連續(xù)時間上的價格變動，而二叉樹期權定價考察的是離散時間上的價格變動。所以當二叉樹模型設定的步數(shù)越多時，所計算的期權價格就越逼近于B-S-M期權定價模型所計算的價格。

相對于二叉樹模型，B-S-M期權定價模型的假設條件更為嚴苛，但由此計算出的期權理論價格與市場期權價格的偏離度也一般要小于二叉樹模型定價結果的偏離度，因此認為B-S-M期權模型定價效率更高。

對于阿里巴巴股票而言，運用兩種期權定價模型對虛值認購和虛值認沽期權進行定價，將其定價結果與其對應的市場期權價格比較，發(fā)現(xiàn)看跌虛值期權計算出的期權理論價格與市場期權價格的偏離度（0.016 4）要小于看漲虛值期權計算出的偏離度（0.483 9）。因此認為，兩種期權定價模型對于看跌虛值期權的定價效率更高[6]。