三自由度并聯包裝機構靜動態特性建模與分析

董 旭 高鐵紅

(1. 北華航天工業學院機電工程學院，河北 廊坊 065000；2. 河北工業大學機械工程學院，天津 300130)

并聯機構由于具有結構剛度大、運動精度高、控制相對容易、結構較為緊湊、運動慣性小等特點，被廣泛應用于食品工業目標抓取、分揀、包裝等方面。隨著食品包裝技術的發展，對并聯包裝機構的設計和應用逐漸提出了更高的要求，因此在設計階段進行機構性能仿真分析具有重要的實際應用價值[1]。并聯機構性能的研究主要體現在靜剛度、低階模態特性、動力學[2]等方面，集中應用了解析計算、軟件仿真、工程試驗等方法[3-8]。耿明超等[9]基于虛功原理分析了4UPS/UPR并聯機構剛度；付紅栓等[10]應用Lagrange方程建立了三自由度并聯機構動力學模型，依托仿真軟件求得了機構驅動環節的驅動力。錢太利等[11]依據并聯機構桿件受力方式確定了應力最大位置，并研究了一類典型并聯機構柔性桿件動態特性。張洪等[12]在柔順變形情況下建立了3T并聯機構彈性動力學方程并進行了仿真。吳超宇等[13]利用虛功原理建立了直線驅動型并聯機器人反向動力學模型，并分析了各運動部件的廣義力及其影響因素。Geethapriyan等[14]、Cretescu等[15]、Lu等[16]對三自由度并聯機構進行了靜力學、運動學、動力學建模與仿真。上述研究主要應用了Lagrange法、牛頓—歐拉法、凱恩法、虛功原理等理論建模方法與軟件仿真方法研究機構性能，且大部分是將構件按照純剛體對待，較少考慮構件的彈性變形與剛柔耦合因素。文章擬針對3-HUU型并聯機構，在確定其靜剛度以及低階模態特性基礎上，建立機構剛柔耦合動力學模型。通過對各個模型設置具體邊界條件并進行仿真，得到具體靜動態特性數據，旨在為機構后續優化以及應用提供依據。

1 并聯包裝機構構型

三自由度并聯機構幾何模型如圖1所示。HUU構型中，H代表螺旋副，U代表萬向鉸。整個機構主要由3個滾珠絲杠、3個滑鞍、3組支鏈共6個連接桿、靜平臺、動平臺組成。每個支鏈中，萬向鉸鏈兩端分別連接滑鞍和動平臺，電機通過聯軸器與絲杠連接。滾珠絲杠轉動帶動滑鞍滑動使得動平臺沿空間笛卡爾坐標系3個方向直線運動，從而構建三自由度平動機構運動體系。該機構末端動平臺若配備包裝機械手，輔助于控制系統，即可滿足食品包裝需要[17]。并聯機構簡圖如圖2所示，空間均布3組共6支連接桿件，其中11桿與12桿為第1組支鏈，21桿與22桿為第2組支鏈，31桿與32桿為第3組支鏈。各支鏈協調運動實現動平臺沿空間3個方向運動。

1. 靜平臺 2. 動平臺 3. 滑鞍 4. 支鏈 5. 萬向鉸

圖2 并聯機構簡圖

2 并聯機構剛度有限元分析

2.1 有限元分析設置

三維模型依托軟件創建，在對模型進行適當簡化調整后導入有限元軟件中。在保證模型分析計算精度和結果的準確性前提下調整不受力或者受力很小的零部件特征。設置材料屬性參數：彈性模量2.06E11 Pa，泊松比0.29，密度7 850 kg/m3。劃分網格后共獲得217 687個節點，110 903個單元。

2.2 靜剛度計算

設置模型底面為固定約束，分別在動平臺中心(566.55，247.24，-260.00)位置施加沿基礎坐標系X、Y、Z方向作用力，大小為300 N，3種情況整機位移圖如圖3～圖5所示，靜剛度計算結果如表1所示。

圖3 X方向受力位移圖

圖4 Y方向受力位移圖

圖5 Z方向受力位移圖

表1 靜剛度計算結果

由表1可知，機構沿Z方向剛度性能最好，X、Y方向靜剛度值偏低，優化結構時應重點考慮。當機構動平臺沿X、Y方向受力時，最大應力位于31號桿件與動平臺連接的鉸鏈位置；當機構動平臺沿Z方向受力時，最大應力位于21號桿件與動平臺連接的鉸鏈位置，說明萬向鉸鏈處為結構薄弱環節。

2.3 機構動剛度分析

依托有限元軟件中模態分析模塊對機構支鏈環節進行模態分析，前期設置與靜剛度分析完全一致，限制滑鞍沿Y、Z方向的自由度，靜平臺設置為全部約束，前10階模態計算結果如表2所示，部分階次相對位移如圖6～圖8所示，機構相對振動位移較大環節在第1、3支鏈。綜合各階次的分析結果，連接桿件與動平臺和滑鞍連接處振動位移較大。

表2 模態分析結果

圖6 第1階振型

圖7 第2階振型

圖8 第6階振型

3 機構動力學建模

基于并聯機構的結構系統的復雜特點，應用Lagrange法建立并聯機構動力學模型[18]。3-HUU并聯機構系統Lagrange動力學方程為[19]：

(1)

式中：

L——Lagrange函數；

T——機構總動能，J；

V——機構總勢能，J；

qk——系統廣義坐標；

Qk——作用在系統上對應于廣義坐標的外力，N。

所以并聯機構移動副軸向驅動力：

(2)

并聯機構運動平臺速度是X、Y、Z 3個方向分速度的合成，取3個方向速度分別為VX、VY、VZ。定義動平臺質量為m，3組支鏈6個連接桿件質量分別為m11、m12、m21、m22、m31、m32，3個滑鞍質量相同為ml，選取動平臺質心點坐標為廣義坐標，則q=[X0,Y0,Z0]T，廣義力為Q=[Q1,Q2,Q3]T，取M1=m11+m12，M2=m21+m22，M3=m31+m32。

3.1 并聯機構總動能計算

動平臺受3個方向分速度影響，動平臺動能為：

(3)

式中：

連接桿受到X方向分速度影響，產生動能為：

(4)

連接桿11的動能為：

(5)

Y方向分速度對連接桿的影響：

(6)

Z方向分速度對連接桿的影響：

(7)

同理可得，其余桿件受到Y、Z方向分速度影響的動能，所以6個連接桿總動能：

(8)

滑鞍動能為:

(9)

系統總動能為：

(10)

3.2 并聯機構部件勢能計算

取靜平臺底部的平面為零勢能面，動平臺質心在固定坐標系中Z軸方向坐標為Zc，6個連接桿的坐標分別為Z1，Z2，Z3。則動平臺勢能為：

V1=mgZc。

(11)

6個連接桿的勢能為：

V2=M1gZ1+M2gZ2+M3gZ3。

(12)

并聯機構總勢能：

V=V1+V2=mgZc+M1gZ1+M2gZ2+M3gZ3。

(13)

3.3 動力學方程

根據上述推導，可得

(14)

(15)

(16)

建立機構動力學方程：

(17)

4 剛柔耦合動力學分析

4.1 動力學仿真

依托軟件建立機構三維模型(見圖9)，在保留機構構件基本運動關系前提下對模型進行簡化處理，最終保留動平臺、滑鞍、絲杠、支鏈等系統關鍵元素。將模型導入動力學軟件后設置構件材料屬性并添加構件之間的運動副：絲杠端部固定副、滑鞍位置的滑移副、萬向鉸位置的萬向副。

圖9 并聯機構仿真模型

仿真模型驅動設置：支鏈1滑移副速度隨時間變化函數為sin(60×time)，支鏈 2 驅動函數為 -sin(60×time)，支鏈 3 驅動函數為 -sin(60×time)。在動平臺直線點施加沿-Y方向大小為50 N的力。仿真時間為10 s，總步數為100步。將機構各零部件作為純剛體進行分析。綜合靜剛度分析結果與模態振型可知，支鏈結構承受著較大的載荷，其彈性變形和振動對機構性能產生一定的影響，因此將連接桿件轉換為柔性體進行分析。具體步驟為：將每組支鏈分支桿件三維模型逐個保存為Parasolid格式導入有限元軟件中；設置桿件的材料屬性，確定實體單元類型為Solid45、Mass21，其值確定為1E-5；對連接桿進行網格劃分，創建桿件外連接點，外連點坐標為(0.513 88，0.390 26，-0.467 95)、(0.570 46，0.249 14，-0.338 01)、(0.355 04，0.389 96，-0.232 57)、(0.497 05，0.249 13，-0.233 53)、(0.605 59，0.389 96，-0.074 38)、(0.627 18，0.249 14，-0.214 74)；依據連接點創建局部剛性連接區域；依次將連接桿模態中性文件導入軟件中，替換原剛性構件。剛柔耦合分析設置與剛體分析完全相同。動平臺質心運動位移、速度變化曲線如圖10、圖11所示；第3組支鏈中32桿所連滑鞍加速度變化曲線如圖12所示，22號連接桿所連滑鞍沿X方向位移、速度、加速度變化曲線如圖13～圖15所示；第2組支鏈Joint10沿X方向驅動力與驅動矩變化曲線如圖16、圖17所示。

圖10 動平臺質心位移

4.2 仿真結果分析

通過比較剛體模型與耦合模型的位移變化曲線，剛體系統與耦合系統下的運動平臺位置和姿態在10 s內基本相同，最大差值為初始時刻3 mm處，前1 s內初始運動時，動平臺由靜止狀態到運動狀態，連接桿件存在一定的彈性振動情況，振動變形影響了動平臺的運動。動平臺在短期震蕩后，后期趨于平緩且呈規律性變化。其余時間最大差值約為2 mm，分別在1.2，3.3，5.5，7.7 s時。由圖10、圖11可知，耦合模型動平臺速度整體高于剛體模型速度。由圖12可知，第5.0 s和第6.5 s剛體模型加速度出現了突變，其余時刻兩類模型分析結果基本一致。

圖11 動平臺質心速度

圖12 32號桿連接滑鞍加速度

圖13 22號桿連接滑鞍X方向位移

圖14 22號桿連接滑鞍X方向速度

圖15 22號桿連接滑鞍X方向加速度

圖16 Joint 10 X方向驅動力

圖17 Joint 10驅動力矩

由圖13～圖15可知，滑鞍在兩類系統下的位移、速度變化趨勢一致，數據基本相同。只是在加速度變化曲線中，第5.0 s和第6.5 s運動平臺處于最高位置和最低位置，滑鞍在剛體系統中的加速度存在突變，與耦合系統數據存在最大偏差。

由圖16～圖17可知，初始時刻，耦合模型驅動力大于剛體模型起始階段驅動力，后期時間段耦合模型驅動力基本大于剛體模型驅動力。比較此運動副輸出力矩情況曲線，耦合模型運動副驅動力矩明顯大于剛體模型。所以連接桿的柔體彈性變形對驅動力產生了很大影響，在結構優化時應注意提高此處動力學性能。

5 結論

以一種3-HUU型可用于食品包裝行業的并聯機構為研究對象，對機構進行了靜動態特性建模與分析。結果表明：利用有限元分析技術計算并聯機構沿空間各方向的靜剛度可知，機構沿空間垂直方向靜剛度最高，其余方向靜剛度偏低。機構支鏈的低階固有頻率偏低，萬向鉸鏈兩端位置是設計中的薄弱環節。機構動力學理論建模以及剛柔耦合動力學分析表明，連接桿件的剛柔耦合效應對滑鞍運動方向發生改變瞬間影響最大，出現了突變情況，兩類模型其余運動性能參數變化趨勢基本一致。后續在進一步優化機構時應重點考慮連接桿件的結構參數。