拓廣負相依樣本下頻率插值估計的一致強相合性

邢國東，康晴晴

(合肥師范學院 數學與統計學院，安徽 合肥 230601)

1 綜述

首先，回顧一下拓廣負相依隨機變量的概念，此概念是由Liu[1]給出的一有限隨機變量集{Xi，1≤i≤n}被稱為拓廣負相依的(簡記為END)如果對于所有的實數X1,…Xn,存在一常數M>0使得

和

都成立，一無限集{Xi，i≥1}是END如果它的任何有限子集是END。

已知的事實是獨立隨機變量和負限相依的(簡記為NOD)隨機變量是END。Joag-Dev和Proschan[2]指出負相協的(簡記為NA)是NOD，但NOD不一定是NA，故而NA隨機變量是END。接下來，簡要地介紹頻率插值估計。設X是一個密度函數為f(x)的連續隨機變量并令X1,…Xn是從總體X中抽取的一組樣本。考慮一實數軸的等距離分割…

(1)

正如Scott[3]所指出的那樣，頻率插值估計與核密度估計有著相似的收斂速度但比直方圖估計的收斂速度快。頻率插值估計的計算效果和直方圖的相等。此外，對于大量的二元數據集合，頻率插值估計計算的簡單性和決定確切等概率輪廓精度的便捷性使得頻率插值估計比具有高精度的核密度估計更有價值。因為頻率插值估計的這兩方面優點，對其做進一步的研究是有意義的。

近十幾年來，有關頻率插值估計的一些結果已經被得到。例如，Carbon等[4]在α混合過程下給出頻率插值估計的最優窗寬(此時的窗寬使得積分均方誤差達到漸近最小值)，漸近方差，強相合性及其收斂速度。Carbon等[5]得到隨機域下頻率插值估計的漸近正態性。Besaid和Dabo-Niang[6]在連續隨機域下給出頻率插值估計的積分均方誤差以及強相合的收斂速度。受到上述作者的啟發，將在END樣本下通過一Berstein型指數不等式探討頻率插值估計的強相合性。此外，相應的收斂速度也被給出。

在本文中，總假定C代表了一個正常數，此數僅僅由某些給定的數而定且從文中的一處到另一處可能會不一樣，窗寬和密度函數分別被表示為bn和f(x),g(n)=max{gL(n),gU(n)},只要沒有作特殊說明，所給出的極限都是在n→∞時得到的。本文的結構如下：第二部分包含了所得到的主要結果，對應的證明被放在本文的第三部分。

2 主要結果

為了方便表述主要結果，需要下面的一些假設：

(A1)假設Xi,{1≤i≤n}是一END樣本，其密度函數為f(x)。

(A2)bn→0。

根據上述假設，可以給出如下所示的主要結果。

定理2.1如果假設(A1)～(A3)成立，那么對于的緊子集D，

(2)

此外， 如f(x)對于x∈是可微的且對于某個M>0有|f(x)′|≤M, 那么

(3)

于是

(4)

推論2.1如果假設(A1)-(A2)成立，f(x)對于x∈是可微的且對于某個M>0有|f′(x)≤M|那么

(5)

3 證明

在這一部分，將給出主要定理的相關證明。為此，需要如下引理。

引理3.1令X1,…,Xn是END。如果函數g1,…,gn都是非降的或非增的，那么隨機變量g1(X1),…,gn(Xn)也是END[1]。

引理3.2令{Xi,1≤i≤n}是一均值為零且|Xi|≤da.s.的END隨機變量序列，其中d是一正常數[7]。設t>0使得對于n≥1有t·max1≤i≤ndi≤1,則對于任意ε>0,存在一常數M>0使得

(6)

其中M>0。

Mj=max{0,Xj+1,Xj+1+Xj+2,…Xj+1+Xj+2+…Xn}

和

那么當1

上述給出的極大矩不等式可用于統計學中加權估計漸近性質的研究，這類估計包括最小二乘估計，非參數回歸估計以及非參數密度估計等。

基于引理3.1和3.3，可以給出定理2.1的證明，具體過程如下所述：

(7)

P(|fj-Efj|>ετn/3)+P(|fj+1-Efj+1|>ετn/3)。

(8)

對于一給定的j,令

ζi=I{(j-1)bn≤Xi

I{Xi≥(j-1)bn}-EI{Xi≥(j-1)bn}-{I{Xi≥jbn}-EI{Xi≥jbn}}=:ζi1-ζi2i=1,2…,n。

(9)

將上述結果和bn→0,τn→0以及n(bnτn)2(logn)-1→∞聯合在一起，則對于任意給定的q>0和充分大的n可得

P(|fj-Efj|>ετn/3)≤Cexp{-qlogn}≤Cn-q。

(10)

類似地，也有

P(|fj+1-Efj+1|>ετn/3)≤Cexp{-qlogn}≤Cn-q。

(11)

聯立(3.3)，(3.5)和(3.6)可得

(12)

通過在(3.7)中取q=3,(3.2)以及nbn→∞,得到

(13)

上式意味著在給定的條件下(2.1)是成立的。此外，再應用泰勒展開式，可得(2.2)，證畢。