Python動畫輔助大數定律的數學實驗

孫曉玲，王 寧

(合肥師范學院 數學與統計學院，安徽 合肥 230601)

概率論與數理統計是高校理工科和經濟類專業重要的公共基礎課程，旨在訓練學生用概率思想處理隨機事件，進一步學會利用統計方法去處理數據資料。隨著金融類和大數據類專業的快速發展，概率論、數理統計和隨機過程等課程成為高校教學研究的重點內容。

大數定律在概率論與數理統計課程中的教學特點是內容抽象，理論較強，在實際統計工作中應用非常廣泛。在教學安排中，大數定律一般位于學期教學末尾，教學內容枯燥抽象，同時，隨機序列的極限難以計算，學生理解起來較為困難。大數定律由概率的統計定義引申而來，在課程中具有非常重要的地位，隨機變量的動態變化在教學過程中難以進行直觀的展示。為了增強教學效果，幫助學生把握大數定律的理論和應用，可以借助軟件模擬隨機數列中的統計規律性。軟件輔助教學可以充分體現定理中的動態變化過程，教師通過圖形和動畫講授大數定律的基本思想，可以讓學生形成對新方法的直觀理解，相關教學資源的開發成為促進概率教學的重要研究方向[1-2]。

1 Python簡介

Python是支持面向對象、動態數據類型的高級程序設計語言，功能強大且資源免費。另外，由于Python語言可移植性強，其代碼可以在手機端編寫和運行，這為學生自學數學實驗提供了便利的環境。

Python用于概率統計的程序庫主要有numpy和matplotlib，它們分別可被用于數值運算和可視化操作。Python代碼語法簡單，可讀性強，編寫簡易，具有強大的圖形和動畫編程功能，方便演示數學思想，有利于學生自主進行代碼的學習和開發。

利用Python對大數定律進行隨機模擬，并生成動畫或者視頻，結合計算機可視化方法豐富教學手段，在課程的教學中可以加深學生對教學內容的理解，增強學習興趣。利用軟件進行概率統計的數學實驗，對培育大學生學以致用的學習能力、推動概率論與數理統計的教學改革具有一定的現實意義。另外，動態視頻在學習過程中還能讓學生深刻理解理論的變化過程，有助于將理論應用于實踐中，Python代碼的學習還能提高學生運用計算機應用軟件的能力，體現學以致用的思想[3-4]。

2 大數定律極限思想

在中心極限定理和大數定律表述中，隨機變量和的極限出現次數比較多，在概率理論中，隨機變量X1，X2，…，Xn和的分布計算非常復雜，對其極限的討論也非常困難。引入極限思想后，發現在很一般的情形下，和的極限分布就是正態分布，從而可以通過極限方法得到中心極限定理的相關結論。另一方面，由伯努利實驗引出的概率的統計定義和大數定律也可以使用極限思想進行理論探討，從而得到幾個大數定律的結論。

大數定律的一般結論：設有隨機變量序列{Xn}，如果對任意ε>0，有

則稱該隨機變量序列服從大數定律。大數定律的結論是概率意義上的，根據給定的隨機變量序列滿足的條件不同得到不同的大數定律，如切比雪夫大數定律、馬爾科夫大數定律、辛欽大數定律等。

大數定律來自于對隨機事件的大量觀測，是對“平均值的穩定性”這一事實的理論表述，在教學過程中定理的證明并不復雜，但其中包含的極限過程的動態刻畫不容易講解。在學習過程中，學生能記住大數定律的基本結論，但是對其應用和含義的理解不夠透徹，隨著n無限增加時，大數定律的極限中概率值的變化趨勢難以形象化。借助數學實驗的思想方法可以有效解決大數定律教學過程中的這兩個難點[5-6]。

3 大數定律的數學實驗

數學實驗把計算機技術和數學軟件引入課程教學，以提高學生學習數學的積極性和對數學的應用意識，培養學生用所學的數學知識和計算機技術去認識問題和解決實際問題的能力，激發學生獨立思考、主動探求的創新精神。以下通過幾個實驗簡單展示其在大數定律教學中的應用。

3.1 頻率穩定性的數學實驗

伯努利大數定律從理論上證明了頻率具有穩定性，且依概率收斂于隨機變量的概率值，是蒙特卡羅法的理論基礎。辛欽大數定律為隨機變量數學期望的計算提供了實際可行的途徑——隨機變量的算術平均值趨向于其數學期望，是參數估計的理論基礎。

拋硬幣試驗是典型的n重伯努利試驗，是概率教學的經典實例，利用Python的matplotlib繪圖庫可以實現擲硬幣的動態演示過程，橫軸代表硬幣出現正反面的情況，縱軸表示出現次數，利用變量作為標題還能動態顯示正面出現的概率。圖1顯示了程序運行結果動畫的部分截圖，可以看出拋擲硬幣次數與正面出現頻率的動態變化過程，隨著試驗次數的增加逐步體現出頻率穩定性的結論。

圖1 頻率穩定性動畫截圖

3.2 伯努利大數定律的數學實驗

計算隨機樣本均值的過程中，均值依概率收斂于概率，均值穩定性體現在隨著試驗次數增加均值逐步收斂，最終依概率1收斂于概率p。圖2為動畫過程的部分截圖，可以看出隨著n的增加，均值在概率p上下兩側的波動越來越小，以動畫顯示實驗過程更加具有趣味性，能加深對理論知識的理解[7-8]。

圖2 大數定律均值穩定性動畫截圖

4 結語

數學實驗豐富了學生認識數學定理的過程和方式，把感知、理解、運算和應用融為一體，圖形更加直觀，為學生揭示數學原理的本質和內在聯系。豐富了教師的教學手段和教學內容，便于數形結合思想的運用，激發學生學習和應用的興趣。

數學實驗教學改變了教師和學生在教學活動中的關系和地位，教師不但是知識的提供者還是實驗的指導者，學生變成主要的參與者，從單純地接受知識變成自我學習、自我發現的主題，有利于教師因材施教，充分鍛煉學生獨立探索和解決問題的能力。

基于數學實驗教學活動的開展發揮了理論聯系實際的橋梁作用，利用軟件進行數學理論的學習和訓練，加大了教學信息量，使數學與計算機仿真有機結合起來，讓學生能站在“科學研究”的角度進行數學理論的驗證、再發現等創造性學習。數學實驗能提高學生的動手、動腦能力，通過Python程序實驗仿真，可實現和解決微積分問題中教學重難點的理解和應用，提高大學生學習數學理論的興趣與用數學方法的技巧。