考研數學中特征值與特征向量常見題型及解題方法分析

摘要：線性代數是考研數學的部分組成學科，在150分的數學試卷中占有不到三分之一的比重，但它對于得分的貢獻率卻是不可忽視的，相對于高數等其它學科來說，現代更注重考察基礎，它的大答題技巧有一定的規律可循，所以在影視中更容易得分。特征值與特征向量是線性代數中極為重要的知識點，是歷年真題考察的重點內容及熱點考察對象，在復習時更應仔細對待。對于這一內容的常見題型與解題思路，以下內容做了一個簡單的探討。

關鍵詞：考研數學;特征值;特征向量

特征值與特征向量的相關知識點是線性代數中乘上啟后的一章，前面是線性方程組的學習，后面是與它聯系密切的二次型的考察，因此特征值與特征向量的綜合性較強，其重要性不言而喻，我們一定要多加重視。此部分內容的考察常以大題的形式出現，一般為兩到三小問，注重基礎且有一定的規律可循，我們在考研中一定要爭取將這一部分的分數拿到手中。

一、特征值與特征向量的重點內容

（1）概念、相關定理及計算

特征值與特征向量的概念我們可以用一個簡單的公式進行簡要的概括：Aa=Ma，我們假定這個A是一個不確定階數的方陣，a是一個與方陣相同階數的列向量，它不為0，M是一個任意整數，當前面所提及到的等式成立時，我們就說，M時方陣的某一個特征值，它所對應的特征向量就是a。這一部分的內容有相當多的定理，例如，對于同一特征值的多個特征向量線性相加，其結果仍可作為該特征值的特征向量。一個方陣的主對角線上的元素相加或者相乘與該矩陣的特征值、該矩陣的行列式相關，這兩個小定理常作為選擇題的形式進行考察。不同特征值所反分別對應的特征值是線性無關的，這是一個熱門定理，一定要牢牢記住。

（2）相似

如果兩個方陣是同階的矩陣，且有一個可逆的矩陣d，使得d逆Xd=Y，那么就說矩陣X于與Y是相似的，如果這里的X或者Y比較特殊，是對角矩陣，那么就說明另外一個矩陣與對角矩陣相似，進而說明它可對角化。那么如何判斷一個矩陣是否可以對角化呢，它的充分必要條件就是n階矩陣有n個線性無關的特征向量，把特征項量換成特征值也是同樣適用的，或者也可以根據特征向量的個數與其重數是否相等來進行判斷。這些知識點都是該部分知識的重要組成部分，考生應該熟練掌握其性質并會進行相應的計算，計算能力對于數學來說是頭等重要的，切不可眼高手低。

（3）實對稱矩陣及隱含信息

對于實對稱矩陣的考察可以說是這部分內容的重中之重，實對稱矩陣所包含的隱含定理可以說是相對較多，這也成為出題老師的一塊“風水寶地”，很多同學因為對此部分的隱含定理掌握不牢固而丟失了分數。首先對于實對稱矩陣來說，它必與對角矩陣相似。其次，此舉陣的的特征向量之間存在著特殊的關系，那就是對于它的不同的特征值所對應的特征向量之間是正交的關系，用數學公式表達就是矩陣相乘為0，通過這個關系，我們在知曉其中一個特征向量時就可以利用這種關系計算出其它的相關向量。是對稱矩陣的特征值也是有說法的，那就是都為實數。這些都是由實對稱矩陣這一特殊矩陣引申出來的相關定理，在學習時我們應當特別注意。

二、常見題型總結

（1）特征值與特征向量的求法

對于矩陣大體可以是考察情況分為數字型與抽象型，數字型矩陣較為直觀簡單，再求特征值與特征向量是有固定的求解步驟，例如：求矩陣A= {1 1 -1，1 -2 2，-3 1 3}的特征值與特征向量。

解：首先我們要寫出該矩陣的特征多項式，即|xE-A|，計算出該行列式的結果公式（x-1）（x-4）（x+3），并令其為零，從而得出該矩陣的特征值為1、4、-3，接下來我們把特征值一一帶入（xE-A）=0這個公式中，就可以得出不同特征值所對應的特征向量，x=1對應a1=（1，1，1）的轉置，x=4對應a2=（-4，5，17）的轉置，x=-3對應a3=（1，-3，1）的轉置。

接下來我們列舉一個抽象型矩陣的例子：假設A為3階矩陣，其各行元素均為5，那么A一定存在特征向量？

解：根據矩陣的各行元素之和均為5，我們可以列出[a11 a12 a13，a21 a22 a23，a31 a32 a33][1 1 1]=[5 5 5]，即A[1 1 1]=[5 5 5]=5[1 1 1]，所以我們可以得出它必有特征值5和特征向量[1 1 1]。

（2）相似及相似對角化

假設3階矩陣A相似于B，且已知A的特征值為1，2，3那么行列式|2B-E|=？解：因為A相似于B，所以A與B有相同的特征值，所以我們可以計算出2B的特征值為2，4，6，那么2B-E的特征值就是1，3，5，從而可以得出結果為1*3*5=15。

A=[1 2，0 0] B=[2 4，0 0]，A與B是否相似？這個問題中我們可以看到，A的特征值是1，0，而B的特征值是2，0，而矩陣相似的必要條件是特征值相同，所以A與B不相似。

以上只是些簡單易懂的例子，遠遠達不到考研時的難度，大家要在這種提醒上深入刨析，多學多練，達到熟練掌握的程度。

（3）實對稱矩陣

假設A為3階實對稱矩陣，r（A）=2，A2=A，則A的特征值是？

解：A2a=A（xa）=xAa=X2a（假設x是A 的任意一個特征值，a是其對應的特征向量），所以由A2=A得出x2a=xa，（x2-x）a=0，所以A的特征值為1或者0，又因為A為實對稱矩陣，所以A相似于對角矩陣，又因為它的秩為2，所以A的特征值為1，1，0。

結語：

特征值與特征向量是線性代數的重要知識點，在學習時一定要注重基礎知識的掌握程度，不斷進行各種題型的訓練，以鞏固各方面的知識點，并對各種題型以及各自的解題方法進行自我總結，做到熟稔于心，這樣在考試時才能快速找到正確的解題方法，得出正確的答案。

參考文獻：

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作者簡介：郭良寶（1995.09-），漢族，海南東方人，海南師范大學數學與統計學院數學與應用數學專業學生