淺談矩陣初等變換的應用

黃文蝶

摘要：矩陣的初等變換是線性代數中一個十分重要的計算工具。本文主要利用矩陣的初等變換求解線性方程組、矩陣方程、向量組的線性相關性和化二次型為標準型。

關鍵詞：矩陣;初等變換;線性方程組;矩陣方程;標準型

矩陣的初等變換與線性方程組的求解過程密不可分，不僅給求解線性方程組帶來了極大方便，同時也發展和完善了線性代數的矩陣理論。在線性代數中，矩陣的初等變換方法更是貫穿始終。本文主要介紹矩陣初等變換在線性代數中的一些簡單應用。

1、 求解線性方程組

對于求解齊次線性方程組Ax=0，我們可以對其系數矩陣A進行初等行變換，把系數矩陣A變為行最簡型。會得到兩種情況：如果系數矩陣的秩等于未知數個數，有唯一解;如果系數矩陣的秩小于未知數個數，有無數解，可以寫出通解。對于求解非齊次線性方程組Ax=b，我們可以通過初等行變換把增廣矩陣（a…b）變為行最簡型。會得到以下三種情況：如果系數矩陣和增廣矩陣兩者的秩是不相等的，那么這個方程組無解;如果系數矩陣和增廣矩陣兩者的秩是相等且等于未知數個數，有唯一解;如果系數矩陣和增廣矩陣兩者的秩是相等且小于未知數個數，有無數個解，可以寫出通解。

2、 求解矩陣方程

設矩陣A可逆，則求解矩陣方程AX=B等價于求矩陣X=A-1B。為此，可采用類似初行變換求矩陣的逆的方法，對矩陣（A，B）其施以初等行變換將矩陣A化為單位矩陣E，則上述初等行變換同時也將矩陣B化為A-1B，即

本文主要討論了利用矩陣的初等變換解決線性代數的一些問題。可以發現用矩陣的初等變換比用定義法更直觀、更簡潔，可以在一定程度上簡化運算。矩陣的初等變換的應用不僅僅是這些， 還可以應用于很多方面，例如：矩陣的逆、向量組的最大無關組、基之間的過渡矩陣、向量在基下的坐標、方陣的特征向量等，也是非常常見且最有效果的方法。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.線性代數（第六版）[M].北京：高等教育出版社.2014.

[2]錢吉林.高等代數解題精粹（第三版）[M].西安：西北工業大學出版社.2019.