函數圖像表示法在多元函數學習中的應用

唐雪梅

【摘要】函數圖像表示法比公式表示法具有更直觀的表達函數性質的優點.本文從二元函數、帶兩個參數的三元曲面函數、微分方程（組）三種情形舉例說明了當用圖像表示時，函數的性質一目了然.二元函數的圖像表達了函數的單調性、連續性、光滑性等性質.含兩個參數的三元函數的圖像表達了曲面的正則性、奇點、臍點、法向量的變化情況.微分方程（組）的圖像表達了當方程（組）取不同的初值時，隨著時間的演變其解收斂或發散的情況.

【關鍵詞】圖像表示法;二元函數;曲面函數;微分方程（組）

一、引言

變量與變量的關系可用函數表達.函數的表示方法有公式法、列表法和圖像法.當函數只有一個自變量時，我們很容易分析其性質，一般用公式法表示，少數情況下如多重復合函數時才考慮借助圖形.當函數具有多個自變量時，函數的性質變得復雜，單從函數公式很難理解其特性;函數轉化為圖形，可以使得分析更直觀更容易.本文以二元函數、含有兩個參數的三元函數、微分方程（組）為例來說明圖形表示在函數特性分析中的作用.

二、在分析二元函數性質時的應用

給定某多元函數，我們要分析其單調性、連續性、光滑性和在某些點的極限.下面給出了幾種二元函數的圖像.

三、在分析含有兩個參數的三元曲面函數性質時的應用

含有兩個參數的三元函數在空間中表現為曲面，分析曲面的性質時，我們從其光滑性、某點的切平面、某法截面的曲率、可展性、正則性等方面進行.我們分析某些特性時，如果由數學表達式推導結果，往往比較難懂.如對于正則性的分析，曲面函數是可微的，為同胚映射，微分映射是一對一的;如果從圖形上看，那么正則表現為沒有尖點，沒有邊，也不自身相交，圖形上每一點的切平面都是有意義的.下面列出了螺旋面、懸鏈面、Enneper曲面、Mbius曲面四種曲面的圖形.

四、在求解微分方程（組）中的應用

在求解線性微分方程（組）時，我們可以根據方程（組）系數矩陣的特性來判定解的性質.當系數矩陣的特征值為正數時，給定初值，一般解呈發散的狀態;當系數矩陣的特征值為負數時，給定初值，解呈收斂的狀態;當系數矩陣的特征值為復數時，實部的正負決定解的發散與收斂，虛部決定解呈螺旋狀或環狀.在求解非線性微分方程（組）時，一般無法求出解析解，只能求出數值解.對于高階常微分方程，可以經過變換將其變為一階微分方程組.

下面給出了四個微分方程（組）的解的圖形，從圖可看出對于（1）和（2），從不同的初值出發，解收斂于環形軌道或似環形軌道;（3）的解對于不同的初值，其收斂于不同的點;（4）對于不同的初值，其解最終將在兩個似環形軌道上振蕩.

五、小結與展望

函數圖像可以使函數性質更加直觀地體現出來.本文從二元函數、含兩個參數的三元函數和微分方程（組）三個方面說明圖像在分析函數性質中的作用.對于二元函數，從圖像可看出其在某點是否間斷，是否有唯一值，是否有突變，是否在多個值之間來回振蕩，即可以分析其連續性、光滑性及某點的極限.對于含兩個參數的三元函數，通過其曲面圖像可看出其是否自相交，是否可展開，是否有突然轉折線，是否有尖點，即可分析其正則性、光滑性、曲面的法向量、可展性等特性.對于微分方程（組），可借助圖像分析取不同的初值時，其解的收斂、發散等情況.

受空間維數的限制，圖像表示法僅限于一維、二維和三維的函數.對于高于三元的函數，一般情況下，我們通過想象來分析函數特性.今后，隨著科學技術的進步，我們可能會有更好的手段學習多元函數的特性.

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