結構化教學，讓數學學習走向縱深處

高麗君

[摘 要]深入分析多個版本教材的正方形數相關內容，發現正方形數的教學具有復合性、系統性、連貫性的特點。在此基礎上，重新定位教學目標，調整教學策略，從整體視角上引導學生發現乘法表的對稱性，認識正方形數，豐富學生對乘法的認識，培養學生的結構化思維。

[關鍵詞]正方形數;結構化;數形結合;探究意識

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）23-0010-04

【課前慎思】

北京版教材數學百花園“有趣的數”位于表內乘除法之后，教學內容是正方形數，標題里有兩個關鍵詞——有趣、數。“有趣”體現在數形結合，并以形命名數;“數”則特指正方形數。為什么要講正方形數呢？因為學生已掌握表內乘除法，具備了初步的計算能力，很顯然，這里的計算并不是簡簡單單的口訣計算，還需要兼顧知識要素和推理、驗證等能力要素。

為什么北京版教材有這個內容呢？它是獨立的設計嗎？查閱了各個版本教材（如圖1-1、1-2、1-3）后發現，雖然其他版本教材沒有把正方形數的內容作為獨立課時，但在期末復習或單元復習時都或多或少地體現了正方形數，說明這一內容并不是孤立存在的，而是學習完表內乘法之后需要掌握的知識。顯然，這節課具有復習鞏固作用的復合功能，它是以正方形數作為媒介，培養學生的結構化思維，促使學生主動遷移運用已學知識，打造知識網絡。

（2）5乘幾，積個位上的數字有哪些？

在這節課上學生需要形成哪些能力？數學課程標準指出：教師應幫助學生在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。如課題所言，首先，這節課是有趣的，有趣是學習真正發生的土壤;其次，這節課要在輕松愉快的環境里培養學生提問的意識，提升學生的團隊合作能力、自主探索能力和獨立創造能力，使學生學會正方形數后能把這種學習的方法遷移到三角形數、五角形數等的學習中，并在這個過程中學會猜測、驗證、推理，畢竟知識易得，能力難培。

【教學目標】

1.從整體視角上引導學生了解乘法表的填數規則，溝通乘法口訣與乘法表的聯系，豐富學生對乘法的認識，進一步鞏固表內乘法的運用。

2.在研究乘法表的過程中讓學生用語言表述探究過程，發現乘法表的對稱性，認識正方形數，及其在乘法表中的分布特點，滲透數形結合思想。

3.以學生為中心，在分享、交流、互動、質疑中，提升學生的數學表達能力和思維水平，增加學生的學習興趣。

【教學過程】

1.在更“大”的范圍里，認識乘法表的填數規則

師（板書“數”）：這節課我們將認識一個偉大的數，大家在小學中學的第一個數就是它，其他數都是在它的基礎上一點一點加出來的，知道它是誰嗎？

生（齊）：1。

師：1可以表示什么呢？（學生答，略）

師：1可以表示任何數量是1的東西，也能表示一個正方形，從乘法含義的角度來看，一個正方形就是1個一，對應乘法算式1×1=1，口訣“一一得一”。

師：按照數數的規則，每次增加1，即可得到2、3、4、5、6、7、8、9。（數形結合，依次復習1的乘法口訣和含義）最后，在9的基礎上加1，就是10個一（鏈接一年級知識“10個一就是1個十，即10”）。因此，不管是1個十，還是10個一，都可以通過相同的乘法算式計算出來：1×10=10×1=10。

師：如果現在有100個方塊，是一直往后擺容易看出來，還是用其他方法更好呢？

生1：《蟻國遷徙記》有一句經典臺詞——哇，好長的隊！另起一行擺放會更容易看出來是多少個方塊。

師（一行一行出示方格圖，讓學生數，如圖3）：2個十是2×10=20，3個十是3×10=30，4個十是4×10=40……9個十是9×10=90，10個十即10×10=100，說明這個大正方形里有100個格子。

師：如果要把它們編成口訣，該怎么編？

生2：一十得十，二十二十……十十一百。（學生編著編著便笑了）

師：笑什么？知道為什么沒有10的乘法口訣嗎？

生3：它比乘法口訣更簡單，所以不用專門學啦！

師：剛才是橫著一行一行地看，由橫豎相乘算出的，豎著看呢？

（學生再次一列一列地數，并熟悉計算法則，結合整十數的含義，得到最上一行乘法表的結果，鞏固乘法表的計算規則。）

【設計意圖：國內任何版本教材均不直接教1的乘法口訣，默認學生會在2～9的口訣學習過程中自然習得，但對于低年級學生來說，至少需要有鏈接的過程，才能鞏固其對知識的理解能力;同樣，除了滬教版教材有專門的除數是10的除法這一課，國內大部分版本教材也不專門教10的乘法口訣，默認學生學習100以內數的認識時已掌握，但低年級學生的認知情況顯示，知識的遷移運用需要教師專門引導，不應認為學生理所應當掌握。此外，這里通過數形結合的方式正好可以解釋九九乘法口訣表為什么沒有10的乘法口訣?！霸诟蟮姆秶铩本褪侵冈?0×10的乘法表里進行探究?！?/p>

師：這里的大表格是10×10的正方形，請用前面的規則填寫剩下的空格。（給學生2分鐘時間自主完成，能填多少是多少）

師：運用1的乘法口訣觀察圖5最左一列和最下一行的空格的填法，再用2的乘法口訣驗證發現。

生4：不管是豎著填，還是橫著填，算出來的結果都一樣。

生5：這讓我想起了乘法口訣，乘法口訣都是小的數在前，一句口訣可以替代兩個乘法算式，所以不需要全部都寫上。

師（對稱軸用紅線，表示乘法表的對稱性）：這個對稱軸很了不起啊，沿著它對折，你發現什么？

生6：兩邊的數剛好能重合。

【設計意圖：在鞏固乘法表的填寫規則的過程中，從特殊到一般，引領學生發現乘法表中的對稱現象，進而將這一發現與乘法口訣的編制法則結合起來。學生通過深度思考，理解了九九乘法口訣表為什么是“三角形”，而不是“長方形”，從而深入理解知識。此外，通過橫、豎兩個方向鞏固乘法表填寫規則的過程，表面上看是計算小正方形的數量，實際上是加強乘法口訣與面積的關系，為學生學習三年級的面積打好基礎。】

2.數形結合，探索正方形數

師：先看對稱軸上的數，看看有沒有特殊的地方。左下角是1，表示1個1，1×1=1，是一個小“正方形”;2個2，2×2=4，也是圍成“正方形”;這里是10個10，即為100，對應的是這100個小正方形格子，它們現在圍成了一個大“正方形”。對稱軸上的其他數呢？用同樣的方式圍一圈，可能是什么形狀？大膽地猜一猜，它們可能是哪些數。

生1：我猜可能還是“正方形”，但我有點不確定是哪些數。

師：數學上的猜測非常重要，它是通往真理的必要途徑。有了方向，現在就在練習單上試一試吧。

生2：橫豎各折疊起一行方格，剩下邊長為9的正方形，它有9×9=81個方格，圍成一個大“正方形”。

生3：剩下的“正方形”應該是8×8、7×7、6×6、5×5、4×4、3×3。

師：通過前面的探索，大家發現對稱軸上的1、4、9、16……這些數圍起來的都是“正方形”，能給它們取個名字嗎？

生4：要不叫“正方形數”？

師：你們都是小數學家，它們的名字就是運用圖形和數字結合起來的方式取的，在數學上它們就是叫正方形數！這跟之前學習乘法口訣方法不太一樣。

師：黑板上的正方形數有1、4、9、16……100，還有別的嗎？

生5：還有很多很多，只要在那條對稱軸上的數就是正方形數，寫不完的。

【設計意圖：這里的教學原本是把探究過程交給學生，但在總結驗證時運用折紙的方法，引導學生從邊長為9到3依次進行，并思考“為什么用‘減的方法，而非‘增的方法？”在方格圖里每次橫豎各增加一行、一列，由1逐步增加到9，學生要先判斷是不是正方形，再想對應的數是什么，但這樣操作會破壞正方形的結構。筆者的調整是在正方形里，依托對稱軸的性質，每次橫豎各去掉一行后還是正方形，學生關注的就僅僅是數的變化，相當于把研究目標首先放在一個大環境里，像去掉俄羅斯套娃一樣，一層一層研究清楚。這樣的模型還具有延伸性，學生可以反著在表內乘法里找正方形數，反著來一遍，正著再來一遍，學生就清楚了，得到了關于正方形數的整體的認識。】

師：前面我們講的正方形數都是用小正方形圍起來的，除了正方形，還能不能用別的形狀？

生6：教材上是用紅點代替，但我覺得用什么形狀都行，例如花、三角形、愛心都可以，主要是要按照這樣的規則擺。

（學生做教材上的題目，填寫積是1、4、9、16的算式時根據點子圖溫習正方形數的特點，填寫積是25的算式時需要按順序想象，思考剩下的正方形數是什么以及對應的點子圖的形態。這與前面的學習過程剛好相反，達到及時鞏固的作用。）

出示正方形數的其他研究方案：

師：學完正方形數，你能給這節課取個名字嗎？

生7：有趣的正方形數、好玩的正方形數、有規律的正方形數、神奇的正方形數、神秘的正方形數……

3.拓展延伸，認識更多有趣的數

師：這節課很特殊，是到現在為止唯一一節與形狀聯系起來命名數的課，也就是正方形數，它是一個非常好的數形結合的例子。用數形結合的方法除了可以探索正方形數，還可以研究什么數？猜一猜，通往真理的道路都是猜出來。

生1：三角形數、五邊形數、六邊形數等。

出示課件：

師：無論你研究以上的任何一種數，都應該從幾開始研究？

生2：從1開始研究，它最特殊。

師：是的，就像這節課的課題——有趣，以前我們學過有趣的數，今天學了有趣的數，未來還會有很多有趣的數。所以這節課只是給你一塊敲門磚，教給你研究數的方法，希望你能保有好奇心，堅持研究下去，未來數學史上可能會留下你的名字喲！這節課給你最大的感受是什么？

生3：以前我覺得數字跟形狀無關，現在發現不但關系密切，還可以用形狀給數命名。

生4：現在知道居然有這么多用形狀命名的數，很驚訝！

生5：數學無處不在，規律也是無處不在的，要善于發現。

【設計意圖：一節課只有40分鐘，時間非常有限，所以每一節課都應像一粒種子，只有這樣，它才能具有蓬勃的生命力，有無限可能。本節課對于正方形數的研究，著重構建由點成線、由線成面的學習模型，為學生學習面積單位打下基礎，并基于學情適當拓展至普遍性的學習，學生能夠形成探索數學問題的興趣與欲望，開闊視野。教師在探索過程中非常注重學生解決問題能力的培養，讓學生感悟到學習數學、應用數學的樂趣，感受數學的價值，增強學生學好數學的信心?！?/p>

【本文系北京市大興區教育科學“十三五”規劃課題“小學數學長線融合項目的實踐研究”階段性成果（課題批準文號：19GHX002）?！?/p>

（責編 金 鈴）