數量關系的復位讓難題不再難

陳扣紅

[摘 要]不知什么時候，數量關系式已經悄悄淡出課本，學生解應用題已不再分析數量關系，而是憑借直觀經驗或者運算性質來解題，因為小學階段的數量關系很簡單，一旦憑借運算意義和性質不管用時，馬上有萬能的方程來接盤，因此，數量關系式的消亡似乎不可阻擋。正是數量關系的缺位，導致一些本來很簡單的題目變成了難題，而數量關系的復位將讓難題不再難。

[關鍵詞]數量關系;復位;石油提煉石蠟

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）23-0034-02

筆者偶然讀到一篇教研論文《從“石油提煉石蠟”說起》，文中詳細地介紹了作者是怎么靈活運用“以退為進”的策略和計謀，借助“列表”的具體手段，來幫助學生厘清“石油提煉石蠟”問題的解題思路的。但區區一個“石油提煉石蠟”問題為何難如登天，破解這類難題的“王牌武器”是什么，似乎語焉不詳，非常有必要做進一步的探討。本文沿循作者的思路繼續深入研究這個問題。

一、問題難解原因

“用4噸的石油可以提煉1.6噸石蠟。照這樣計算，1噸的石油可以提煉多少噸石蠟？要提煉1噸石蠟需要多少噸石油？”（注：本題數據未經科學考證，石油提制石蠟的出產率約為16%，而題中的出產率高達40%，可能為了便于計算故意為之）這是作者原文中的例子，也是一個讓學生抓狂的問題，有的學生直到小學畢業也沒有真正掌握。在小學低年級學生的運算程序里，默認了整數，習慣接受整數的輸入、輸出和運算，而且受平均分除法意義的影響，覺得只有大的數才能作為被除數和被減數，小的數只能作為除數和減數，也就是只能將大的數不斷分割出相等的小數（包含除），從大的數里拿出小的數。這種思維方式深植于學生的腦海中，其作為低年級學生直觀形象思維產物的代表，有其合理性，因為畢竟生活經驗中很多物品在分配分裝時的確是每份數不能超過總數，在扣減物品時，也只能拿走比總數少的物品量，這種長期積累的生活經驗會作用于直觀操作，投射到形象思維中，難以磨滅。但是隨著年級的升高，數域不斷豐富和擴充，數字家族中不斷增加新成員，除了原有的整數序列，又喜迎小數、分數的到來，到了中高年級的分數與除法之間的關系，已明確一個分數可以用來表示除法算式的商，被除數寫作分子，除數寫成分母，此時，由于真分數的分子小于分母的分數基本意義的推波助瀾，小的數除以大的數就變得天經地義、合情合理了，這就突破甚至是顛覆了學生狹隘的生活經驗。一下子失去生活經驗的對照，學生解決問題時難免就會“瞎蒙”。

二、教材編排疏漏

對于剛剛進入數學殿堂的小學生來說，從整數到小數再到分數，每一次數域的擴充和豐富不單單是一次數域的“充血”，更是眼界的開闊和認知方式的更新升級，是對原有生活經驗的一次次解體和重構。

一般來說，教材在例題安排上更偏向于對新數意義的詮釋，而忽視對學生已有經驗的順承和改造升級。如“石油提煉石蠟”問題充其量就是一個習題，許多教師不會多加關注，也不會詳解，而學生的相關經驗仍停留于“整數運算”階段，沒有得到及時解構和重建，這使得“瞎蒙”的現象得不到改變。這種不良現象，在近10年大幅度弱化數量關系提法的背景下，愈演愈烈。與“石油提煉石蠟”問題相似的，還有這樣的“行程問題：劉翔[16]小時走了[34]千米。照此算法，他1小時可以走多少千米？他走1千米需要幾小時？

三、解決之道

因為是“難題”，又有些刁鉆，沒有現成的章法可依，亦沒有成熟的公式可以套用，所以教學中教師自由發揮的余地很大，紛紛放出“大招”。比如原文中提到的兩種解題方法是“妙招”，能速成，但缺點也很明顯：對于沒有數量關系來輔助理解的學生而言，短時記住不成問題，但時間一久就極易遺忘，或者是在句型語法有變時，同樣會張冠李戴。于是，原文作者對這類問題的教學進行改進：將“石油提煉石蠟”問題與蘇教版教材的“列表策略”（如表1）有機結合起來。

根據第一行的對應關系，求1噸石油能提煉多少噸石蠟，則將1.6噸石蠟縮小4倍;求提煉1噸石蠟需要多少噸石油，則將4噸石油縮小1.6倍，即用同時縮小的方法分別求得結果。如果將此法嫁接到“行程問題”中，則列表如下：

顯然，再用同時縮小的方法求解已經喪失合理性。可見，列表策略有很大的局限性。其實，無論是原文中呈獻的兩個“妙招”，還是“列表策略”，都是撇開數量關系后另起爐灶，基本模式是按照比例性質將兩個量轉化成比例，通過同步擴大或縮小比例前后項來達到將其中某一項“歸一”的目的。而解決這類問題最能標本兼治、一勞永逸的做法恰恰是分析基本的數量關系。具體到“石油提煉石蠟”問題，可以借助平均數的思想來理解：求1噸石油能提煉多少噸石蠟，就是求“平均每噸石油含有多少石蠟……用總數（石蠟質量）除以石油質量（份數）;求提煉1噸石蠟需要多少噸石油，就是求“每噸石蠟“含有”多少噸石油……，用石油的質量（總數）除以石蠟的質量（份數）。因為之前學生對平均數的算術原理了如指掌，因此可以在已有經驗和新經驗之間平穩過渡。

這個方法對于時間和路程都是分數的“行程問題”也同樣管用。求1小時可以走多少千米，就是求“每小時平均分配到多長的路程”，用路程總數除以小時數;求走1千米需要幾個小時，就是求“每千米的路程平均分配到所少時間”，用總時間數除以千米數。涉及小數、分數的提煉石蠟問題和行程問題，與小學生的直接生活經驗差距甚大，小學生僅憑有限的、粗淺的生活經驗的確難以窺其奧妙。但教師可以另辟蹊徑，借助學生已有的求平均數的算術經驗，來分析問題，揭示一條定律：無論問題的數據如何設計，小數也好，分數也罷，數量關系是永恒的。正所謂“萬變不離其宗”，數學教育就是要抓住恒久不變的支配規律，以不變應萬變。

四、教學啟示

一是要豐富學生學習經驗。學生的經驗包括生活經驗和數學經驗，前者源自他們對生活事件的感受和對事物的觀察，后者源自長期訓練形成的數學思維能力。小學低年級的許多實際問題的解決主要憑靠直觀操作和直接經驗，但隨著年級的升高，生活經驗的效能慢慢消減，而數學經驗的效能則慢慢凸顯。尤其是每逢數域擴充時，學生認識了新數，不代表其生活經驗和數學經驗也及時配套跟進。而相對于“石油提煉石蠟”，教師還可以聯系“面粉炸油條”“玉米制作淀粉”等，以豐富學生的學習經驗。

二是重視分析數量關系。數量關系是解題的行動綱領，各種解題竅門和技法都是遵照這一綱領制訂的“作戰計劃”。只有重視數量關系的分析，學生才能完全掌握解題的訣竅和命門，才能真正做到游刃有余。同時，這也是提升生活經驗，使生活經驗轉型升華為數學經驗的必經之路。只有這樣，“石油提煉石蠟”的頑疾才會得到根除。

（責編 黃春香）