探尋知識本質，滲透小數概念

吳勝男

[摘 要]要深入理解分數與小數的互化法則以及無限循環小數，就要探明其背后的換算規律，只有從進制上聯通，才能做到融會貫通。

[關鍵詞]小數;分數;無限循環小數;本質

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）23-0048-02

隨著課改的持續推進，教師對教學有了更深入、更獨到的體會。“把握數學本質是一切教法始終不變的宗旨”“數學內容本身蘊含著無窮變化的教法”。因此，教師應關注教學內容本身，注重探查數學本質。

對于小數本質的探尋，一直是小學數學教學的熱門話題。以下是筆者整理的教學心得，以期能夠拋磚引玉。

一、學習基礎方面

通用進制分數（十進制分數）是指“分母是整一十整一百……的分數，也就是分母為10[n]（n為正整數）的所有分數”，事實上，但凡分母能夠通分成10[n]（n為正整數）的特殊分數，也可轉化成通用進制分數（如[25=410]，[18=1251000]）。因此，在判別通用進制分數的時候，需要多留心。

那么，為什么要定義通用進制分數呢？因為小學數學一開始提到的數就是十進制數，這是引入通用進制分數的主因。顯然，自然數與通用進制分數都嚴格遵守十進制的進位法則，自然數的學習打開了十進制的“大門”，也為學習通用進制分數打下理論基礎，前后一脈相承，并為小數換算成分數提供了理論支持，即有限小數化成分數就是直接化成分母是10、100、1000……的分數。而且，可以利用日常生活中的十進制長度單位“米、分米、厘米”，人民幣幣值單位“元、角、分”來揭示小數的意義。

在數學發展史中，“結構變異”是數學技術得以創新的不竭動力，橫式與豎式的演變轉換為這種“技術”積累了大量的經驗。因此，先在分數中分離出“通用進制分數”，并借助“結構變異”技術，打通不同數域之間的壁壘，再將分數形式的“通用進制分數”轉換成非分數形式的“小數”，也就水到渠成了。

不言而喻，對于小學生而言，要徹底理解“通用進制分數”與小數之間的關系，但是不理解有限小數（無限小數）的概念，缺乏分析能力是辦不到的。因此，教材不要求學生溝通“通用進制分數”與小數之間的對等關系，情有可原。

二、變換進制方面

小學生一般會在同一個進制下研究數論。但是，在分數與小數單元，編者似乎忽略了分數與小數互化是進制在起紐帶和橋梁的作用，分數的內容只是聚焦于將一個整體平分，很少將總分數與進制聯系起來。

顯然，在十進制下，把“單位1”平分成10份、100份、1000份……取其中任意份數，都可以用分母是10、100、1000的通用進制分數表示，如平均分成1000份，取其中的235份，寫成通用分數就是[2351000]，分子恰好是取的份數，此時，小數的小數部分也剛好是分子（選取的份數），如上述分數，分子是235，那么化成小數（0.235）后的小數部分就是235。反之，對任意一個純小數（如0.37），也可以直接將小數部分的數字原封不動地挪作分子（分子為37），而將分母定為比分子（選取的份數）高一位的首位為1尾數全部為0的數作為分母（[37100]）。這樣一來，小數化成分數就十分便利。

在現行的課本中，十進制一統天下，可以通過除法將三進制下的分數[13]轉化成十進制下的小數0.333333……，即[13]=1÷3=0.3333（[? 333333……1000000……]）。顯然，這樣換算是在兩種進制之間切換。

然而，在分數教學中，把整體“1”平分成3份，其中的一份就構成一個新的計數單位“[13]”，這樣的三份加起來，就湊成更高一級的計數單位“1”。這顯然與三進制運算機制吻合。這樣就容易理解如何把三進制分數改寫成小數。

因此，在同一進制下，小數就是“去分母化”后的特殊分數，而且所有的分數在相應進制下都可以寫成小數部分唯一確定的數（有限小數），循環小數則是不同進制分數互化的產物。

三、除法運算方面

教材在小數除法運算之后推出了“循環小數”這個概念，并給“循環小數”下了確切的定義：“一個數的小數部分，從某一位起，一個數字或者幾個數字依次不斷重復出現，這樣的小數叫作循環小數。”顯然，例題中的除法算式的商是沒有分母的小數（400÷75=5.33……），原因有二：一是定義中出現了“這樣的小數叫作循環小數”的語句，明確指出是小數;二是這個數形式上與之前由通用進制分數改寫而來的去分母化的特異分數如出一轍，都包含有“小數點”。從直觀上，學生很容易區分分數和小數，但也容易割裂分數和小數之間的聯系，使人容易忽略同一進制這一本質屬性，從而造成學生只從表面形式上來認定與理解何為小數，而沒有從內在構成的機理上來認識小數。因此，有必要將小數與分數從進制上辯證統一起來，將小數視為去分母化的特異分數。

小學數學教材第十冊出現了“分數與除法”相關內容，這樣一來，學生又會掌握一項將分數（任意進制下的分數）改寫成去分母化的特異分數（十進制下的小數）的技能，即借助除法運算，用“分數的分子”除以“分數的分母”來將一個任意進制下的分數（如[18]，八進制下的“0.1”）改寫成十進制下去分母化后的特異分數（1÷8=0.125，剛好整除），如果恢復成十進制下的帶分母的分數，就是[1251000]，這也是一個通用進制分數;如果是[17]（七進制下的“0.1”），那么同樣利用除法運算可以將其轉化成十進制下去分母化后的特異分數（1÷7=0.142857142857……，無法整除），如果要將它恢復成通用進制分數，就是[142857……1000000……]。這樣一來學生就在除法運算中不斷感知除法運算結果的有限（小數）與無限（循環小數）。

然而，教材并沒有要求學生不斷辨析有限小數和無限循環小數的異同。因此，無論是教師還是學生，就會自動放棄去研究“小數”是否都源自“通用進制分數”。那么，用除法運算將一個數變換成十進制下去分母化的特異分數（通俗意義上的小數），究竟蘊含著怎樣的算術機制？事實上，我們所說的除法運算，都是十進制下的除法運算。顯然，0.1（1÷10）和0.333……（1÷3）都是十進制下除法運算的結果，因此，0.1或0.333……都是十進制下的小數。然而，“[110]”的分數單位正好滿足十進制，和整數計數單位的進制高度一致，而“[13]”的分數單位卻脫離十進制，進入三進制。因此，除法運算的作用相當于將三進制下的“分數”（如[13]）轉化成十進制下的“去分母化后的特異分數”（如0.3333……）。

（責編 羅 艷）