巧用數值假設 搭建解題橋梁

董開福

[摘 要]隨著學生知識的積累和數學經驗的增加，運用數值假設法可以有效解決部分圖形周長（面積、體積等）擴大（縮小）類問題、圖形周長（面積、體積等）比值類問題、因果關系類的問題。因為數值假設法自身的一些因素，使其在具體的運用過程中存在一定的局限性，只能在特定類型的問題中使用。

[關鍵詞]數字;假設;數值;解決問題

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2021）23-0078-02

作為一門抽象性和實用性較強的學科，學習數學對學習者來說，不僅是在知識層面的拓寬延深，更是對數學思想、數學思維、數學方法以及數學敏捷性的一種訓練與提升。隨著學習者對數學學習的深入，數學知識和學習經驗不斷豐富，解決數學問題的方法也逐漸向著更簡便、更有效的方向邁進。小學階段，教師除了讓學生掌握基礎的數學知識和基本的數學技能，更應該注重對學生的數學思想、數學思維、數學方法等方面的訓練與拓展。因而列方程、公式法、列舉法、畫圖等多種方法在小學數學學習階段都應進行教學。在這眾多的方法中，筆者認為數值假設是一種值得借鑒和運用的方法。數值假設，就是把代數思維（方程思想）中的轉化方法通過簡化后，轉變成適合小學生心理發展，便于學生理解、運用的一種方法。筆者認為運用數值假設法可以解決以下幾類問題。

一、圖形周長（面積、體積等）擴大（縮小）類問題

數值假設法可以讓學生在解決部分問題的過程中擺脫煩瑣的計算與推理過程，直接以更迅速、更便捷的方式解決問題。

比如，一個長方體的長、寬、高都擴大了2倍，那么，它的表面積擴大了（ ）倍，它的體積擴大了（ ）倍。一般解題過程如下。

解：設長方體的長為a，寬為b，高為h，那么擴大2倍后，它的長就為2a，寬就為2b，高就為2h。

原來長方體的表面積=2（ab+ah+bh），原來長方體的體積=abh;

擴大2倍后長方體的表面積=2（2a×2b+2a×2h+2b×2h）=2（4ab+4ah+4bh）=2×4（ab+ah+bh）=8（ab+ah+bh），擴大2倍后長方體的體積=2a×2b×2h=8abh;

8（ab+ah+bh）÷[2（ab+ah+bh）]=4，即表面積擴大了4倍;

8abh÷（abh）=8，即體積擴大了8倍。

如果運用數值假設法，解題過程如下。

解：假設原來長方體的長為3 cm，寬為2 cm，高為1 cm，擴大2倍后長方體的長為6 cm，寬為4 cm，高為2 cm，則：

原來長方體的表面積=2×（3×2+3×1+2×1）=2×11=22（cm2），

原來長方體的體積=3×2×1=6（cm3）;

擴大2倍后長方體的表面積=2×（6×4+6×2+4×2）=2×44=88（cm2），

擴大2倍后長方體的體積=6×4×2=48（cm3）;

88÷22=4，即表面積擴大了4倍;48÷6=8，即體積擴大了8倍。

比較上面的兩種方法，不難發現第一種方法因為字母的出現，無論是在計算過程，還是在理解方面都顯得比較繁雜，對于小學階段的學生來說，掌握這樣的解題方法會有一定的難度，甚至會有一部分學生聽不懂、學不會。而第二種方法直接把相關的量用具體的數值替代，在簡化計算的同時，讓學生直觀了解每一個數字所代表的含義，進而進行計算并得出準確的結論，比第一種方法更利于學生理解和掌握。

二、圖形周長（面積、體積等）比值類問題

有時，一些題目比較抽象，導致學生理解起來比較困難，這種情況下，如果用數值代替相關信息，就會讓題目變得較為直觀，有助于學生理解和思考。

比如，一個矩形和一個三角形的底相等，它們高的比是1∶2，它們面積的比是（ ）。

一般方法：根據題意，得知三角形的高是矩形高的2倍，它們的底相等;在等底等高的情況下，矩形的面積是三角形面積的2倍，在矩形和三角形的底相等，三角形的高是矩形高的2倍的情況下，矩形和三角形的面積比就是1∶1。

數值假設法：因為矩形和三角形的底相等，所以可以假設它們的底都是1，它們高的比是1∶2，就可以假設矩形的高是1，三角形的高是2，矩形的面積=1×1=1，三角形的面積=1×2÷2=1，它們的面積比就是1∶1。

對比以上兩種方法，不難發現，把一些關鍵的數學信息用數值代替后，就可以把抽象、繁雜的思考過程變得直觀、簡潔，避免陷入思維的泥潭，在促進有效思考的同時，也體現了數學思維的簡便性與實用性。

三、解決因果關系類問題

在解決一些因果關系類問題時，比如，判斷正誤：甲比乙多25%，則乙比甲少20%。由于題目中只告訴了甲、乙兩者之間的數量關系，并沒有給出具體數值，學生在解題時，一時無從下手。其實，對于這一類問題，如果運用數值假設法解題，那么整個解題過程將更簡捷、明了。具體過程如下。

首先，根據單位“1”的判定方法，可以判斷出前半句“甲比乙多25%”中的單位“1”為“乙”，為了方便計算，可以將乙設為100，則通過計算，就可以得出甲的數值為100×（1+25%）=100×1.25=125，至此，通過假設和計算，得出了甲和乙的具體數值。

接下來，將相應的數值代入到后半句話中，來判斷結論正確與否。乙比甲少（ ），將前面的數值代入，計算為（125-100）÷125×100%=25÷125×100%=20%，判斷得出“甲比乙多25%，則乙比甲少20%”這句話是正確的。

數值假設法的好處在于將單位“1”的量用數值假設出來后（通常為計算簡便考慮，假設單位“1”的量時要根據后面的關系數靈活選擇），可以根據不同的量之間的關系，通過計算得出其他的量，然后根據相關的數值進行計算并驗證結論。在有效解決問題的同時，也訓練了學生思維的靈活性。

四、數值假設法的局限性

通過對以上幾種可用數值假設法解決的題型進行分析，不難發現，如果能夠恰當運用數值假設法，會使得解題過程更為簡捷，解題思路更為清晰明了，學生理解和掌握起來也更容易，但也不能否認，用數值假設法解決問題并不是在任何場合、任何模式下都能取得明顯的效果，它也有一定的局限性。

1.使用范圍的局限性

因為數值假設法所呈現的是某種特定的情形，假設出的數值具有個體性的特征，不能代表大范圍和具有普遍性特征的內容。因此，數值假設法只適用于解決如填空、選擇、判斷等問題，不適合運用在解決問題、描述性問題等題型中。

2.數值選擇的局限性

可以假設的數值通常都需要具備以下特點：（1）如果在解題過程中出現小數或者分數，那么所設數值盡可能是整十、整百數，便于通過計算將小數轉化為整數;或是選用分母的公倍數，通過計算將分數轉化為整數，從而簡化解題過程。

比如，由于圓錐的體積計算公式為[V=13πr2]，因此運用數值假設法解決有關圓錐體積問題的時候，就需要盡量選擇符合條件的3的倍數作為假設的數值，這樣就可以簡化計算，提升解題效率。

（2）數值假設法中所設的數值需要堅持“趨小化”原則，在符合條件的情況下，數字越小越好。通常我們都在1、0、-1等數字中進行選擇，如果這些數字不合適，我們再考慮稍大一點的數字。因為數字越小，計算越簡單，計算錯誤的概率也越小。

鑒于以上兩點，數值假設法中所選用的都是一些特定的數字，在某些程度上不能代替全部數據，具有一定的局限性。

3.學生群體的局限性

因為數值假設法是從轉化方法中提煉出來的一種方法，它的運用主要是為了讓學生在面對較復雜的代數問題時，把相關的字母信息轉為具體的數值。因此，解決代數問題時，這種方法對于小學階段的學生來說比較方便，但隨著學生知識和解題經驗的增加，尤其是在中學階段，學生真正掌握了代數知識之后，數值假設法的作用不僅變小了，而且顯得繁雜了。

4.知識內涵的局限性

數值假設法實際上是運用具體的數值替換了相應的字母，正因為如此，所假設的數字只能代表某一個特定的量，并不能反映出量與量之間的聯系和區別。因此，數值假設法的運用可以簡化計算過程中，但不能明確地表示出相應的推導過程，在知識內涵中存在一定的局限性。

5.數學邏輯的局限性

數學是邏輯性很強的一門學科。在解決數學問題的過程中，每一個環節、每一個步驟都需要嚴密的邏輯思維。數值假設法雖說具有一定的邏輯思維，但就嚴密程度來說，還存在不足。因此，數值假設法的運用會隨著學生學習程度的加深而逐步淡化，被更符合實際、更具有數學邏輯性的方法所取代。

總之，數值假設法給解決部分數學問題打開了新的大門，提供了更便捷的途徑。對于小學階段的學生的數學思維、數學方法的提升提供了一定的幫助，但也因為其自身的局限性，使得學生在運用這種方法時要不斷積累、不斷完善。

（責編 黃 露）