巧用數(shù)值假設(shè) 搭建解題橋梁

董開福

[摘 要]隨著學(xué)生知識的積累和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的增加，運(yùn)用數(shù)值假設(shè)法可以有效解決部分圖形周長（面積、體積等）擴(kuò)大（縮小）類問題、圖形周長（面積、體積等）比值類問題、因果關(guān)系類的問題。因?yàn)閿?shù)值假設(shè)法自身的一些因素，使其在具體的運(yùn)用過程中存在一定的局限性，只能在特定類型的問題中使用。

[關(guān)鍵詞]數(shù)字;假設(shè);數(shù)值;解決問題

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2021）23-0078-02

作為一門抽象性和實(shí)用性較強(qiáng)的學(xué)科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對學(xué)習(xí)者來說，不僅是在知識層面的拓寬延深，更是對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法以及數(shù)學(xué)敏捷性的一種訓(xùn)練與提升。隨著學(xué)習(xí)者對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，數(shù)學(xué)知識和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)不斷豐富，解決數(shù)學(xué)問題的方法也逐漸向著更簡便、更有效的方向邁進(jìn)。小學(xué)階段，教師除了讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識和基本的數(shù)學(xué)技能，更應(yīng)該注重對學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法等方面的訓(xùn)練與拓展。因而列方程、公式法、列舉法、畫圖等多種方法在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段都應(yīng)進(jìn)行教學(xué)。在這眾多的方法中，筆者認(rèn)為數(shù)值假設(shè)是一種值得借鑒和運(yùn)用的方法。數(shù)值假設(shè)，就是把代數(shù)思維（方程思想）中的轉(zhuǎn)化方法通過簡化后，轉(zhuǎn)變成適合小學(xué)生心理發(fā)展，便于學(xué)生理解、運(yùn)用的一種方法。筆者認(rèn)為運(yùn)用數(shù)值假設(shè)法可以解決以下幾類問題。

一、圖形周長（面積、體積等）擴(kuò)大（縮小）類問題

數(shù)值假設(shè)法可以讓學(xué)生在解決部分問題的過程中擺脫煩瑣的計(jì)算與推理過程，直接以更迅速、更便捷的方式解決問題。

比如，一個(gè)長方體的長、寬、高都擴(kuò)大了2倍，那么，它的表面積擴(kuò)大了（ ）倍，它的體積擴(kuò)大了（ ）倍。一般解題過程如下。

解：設(shè)長方體的長為a，寬為b，高為h，那么擴(kuò)大2倍后，它的長就為2a，寬就為2b，高就為2h。

原來長方體的表面積=2（ab+ah+bh），原來長方體的體積=abh;

擴(kuò)大2倍后長方體的表面積=2（2a×2b+2a×2h+2b×2h）=2（4ab+4ah+4bh）=2×4（ab+ah+bh）=8（ab+ah+bh），擴(kuò)大2倍后長方體的體積=2a×2b×2h=8abh;

8（ab+ah+bh）÷[2（ab+ah+bh）]=4，即表面積擴(kuò)大了4倍;

8abh÷（abh）=8，即體積擴(kuò)大了8倍。

如果運(yùn)用數(shù)值假設(shè)法，解題過程如下。

解：假設(shè)原來長方體的長為3 cm，寬為2 cm，高為1 cm，擴(kuò)大2倍后長方體的長為6 cm，寬為4 cm，高為2 cm，則：

原來長方體的表面積=2×（3×2+3×1+2×1）=2×11=22（cm2），

原來長方體的體積=3×2×1=6（cm3）;

擴(kuò)大2倍后長方體的表面積=2×（6×4+6×2+4×2）=2×44=88（cm2），

擴(kuò)大2倍后長方體的體積=6×4×2=48（cm3）;

88÷22=4，即表面積擴(kuò)大了4倍;48÷6=8，即體積擴(kuò)大了8倍。

比較上面的兩種方法，不難發(fā)現(xiàn)第一種方法因?yàn)樽帜傅某霈F(xiàn)，無論是在計(jì)算過程，還是在理解方面都顯得比較繁雜，對于小學(xué)階段的學(xué)生來說，掌握這樣的解題方法會(huì)有一定的難度，甚至?xí)幸徊糠謱W(xué)生聽不懂、學(xué)不會(huì)。而第二種方法直接把相關(guān)的量用具體的數(shù)值替代，在簡化計(jì)算的同時(shí)，讓學(xué)生直觀了解每一個(gè)數(shù)字所代表的含義，進(jìn)而進(jìn)行計(jì)算并得出準(zhǔn)確的結(jié)論，比第一種方法更利于學(xué)生理解和掌握。

二、圖形周長（面積、體積等）比值類問題

有時(shí)，一些題目比較抽象，導(dǎo)致學(xué)生理解起來比較困難，這種情況下，如果用數(shù)值代替相關(guān)信息，就會(huì)讓題目變得較為直觀，有助于學(xué)生理解和思考。

比如，一個(gè)矩形和一個(gè)三角形的底相等，它們高的比是1∶2，它們面積的比是（ ）。

一般方法：根據(jù)題意，得知三角形的高是矩形高的2倍，它們的底相等;在等底等高的情況下，矩形的面積是三角形面積的2倍，在矩形和三角形的底相等，三角形的高是矩形高的2倍的情況下，矩形和三角形的面積比就是1∶1。

數(shù)值假設(shè)法：因?yàn)榫匦魏腿切蔚牡紫嗟龋钥梢约僭O(shè)它們的底都是1，它們高的比是1∶2，就可以假設(shè)矩形的高是1，三角形的高是2，矩形的面積=1×1=1，三角形的面積=1×2÷2=1，它們的面積比就是1∶1。

對比以上兩種方法，不難發(fā)現(xiàn)，把一些關(guān)鍵的數(shù)學(xué)信息用數(shù)值代替后，就可以把抽象、繁雜的思考過程變得直觀、簡潔，避免陷入思維的泥潭，在促進(jìn)有效思考的同時(shí)，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的簡便性與實(shí)用性。

三、解決因果關(guān)系類問題

在解決一些因果關(guān)系類問題時(shí)，比如，判斷正誤：甲比乙多25%，則乙比甲少20%。由于題目中只告訴了甲、乙兩者之間的數(shù)量關(guān)系，并沒有給出具體數(shù)值，學(xué)生在解題時(shí)，一時(shí)無從下手。其實(shí)，對于這一類問題，如果運(yùn)用數(shù)值假設(shè)法解題，那么整個(gè)解題過程將更簡捷、明了。具體過程如下。

首先，根據(jù)單位“1”的判定方法，可以判斷出前半句“甲比乙多25%”中的單位“1”為“乙”，為了方便計(jì)算，可以將乙設(shè)為100，則通過計(jì)算，就可以得出甲的數(shù)值為100×（1+25%）=100×1.25=125，至此，通過假設(shè)和計(jì)算，得出了甲和乙的具體數(shù)值。

接下來，將相應(yīng)的數(shù)值代入到后半句話中，來判斷結(jié)論正確與否。乙比甲少（ ），將前面的數(shù)值代入，計(jì)算為（125-100）÷125×100%=25÷125×100%=20%，判斷得出“甲比乙多25%，則乙比甲少20%”這句話是正確的。

數(shù)值假設(shè)法的好處在于將單位“1”的量用數(shù)值假設(shè)出來后（通常為計(jì)算簡便考慮，假設(shè)單位“1”的量時(shí)要根據(jù)后面的關(guān)系數(shù)靈活選擇），可以根據(jù)不同的量之間的關(guān)系，通過計(jì)算得出其他的量，然后根據(jù)相關(guān)的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算并驗(yàn)證結(jié)論。在有效解決問題的同時(shí)，也訓(xùn)練了學(xué)生思維的靈活性。

四、數(shù)值假設(shè)法的局限性

通過對以上幾種可用數(shù)值假設(shè)法解決的題型進(jìn)行分析，不難發(fā)現(xiàn)，如果能夠恰當(dāng)運(yùn)用數(shù)值假設(shè)法，會(huì)使得解題過程更為簡捷，解題思路更為清晰明了，學(xué)生理解和掌握起來也更容易，但也不能否認(rèn)，用數(shù)值假設(shè)法解決問題并不是在任何場合、任何模式下都能取得明顯的效果，它也有一定的局限性。

1.使用范圍的局限性

因?yàn)閿?shù)值假設(shè)法所呈現(xiàn)的是某種特定的情形，假設(shè)出的數(shù)值具有個(gè)體性的特征，不能代表大范圍和具有普遍性特征的內(nèi)容。因此，數(shù)值假設(shè)法只適用于解決如填空、選擇、判斷等問題，不適合運(yùn)用在解決問題、描述性問題等題型中。

2.數(shù)值選擇的局限性

可以假設(shè)的數(shù)值通常都需要具備以下特點(diǎn)：（1）如果在解題過程中出現(xiàn)小數(shù)或者分?jǐn)?shù)，那么所設(shè)數(shù)值盡可能是整十、整百數(shù)，便于通過計(jì)算將小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù);或是選用分母的公倍數(shù)，通過計(jì)算將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，從而簡化解題過程。

比如，由于圓錐的體積計(jì)算公式為[V=13πr2]，因此運(yùn)用數(shù)值假設(shè)法解決有關(guān)圓錐體積問題的時(shí)候，就需要盡量選擇符合條件的3的倍數(shù)作為假設(shè)的數(shù)值，這樣就可以簡化計(jì)算，提升解題效率。

（2）數(shù)值假設(shè)法中所設(shè)的數(shù)值需要堅(jiān)持“趨小化”原則，在符合條件的情況下，數(shù)字越小越好。通常我們都在1、0、-1等數(shù)字中進(jìn)行選擇，如果這些數(shù)字不合適，我們再考慮稍大一點(diǎn)的數(shù)字。因?yàn)閿?shù)字越小，計(jì)算越簡單，計(jì)算錯(cuò)誤的概率也越小。

鑒于以上兩點(diǎn)，數(shù)值假設(shè)法中所選用的都是一些特定的數(shù)字，在某些程度上不能代替全部數(shù)據(jù)，具有一定的局限性。

3.學(xué)生群體的局限性

因?yàn)閿?shù)值假設(shè)法是從轉(zhuǎn)化方法中提煉出來的一種方法，它的運(yùn)用主要是為了讓學(xué)生在面對較復(fù)雜的代數(shù)問題時(shí)，把相關(guān)的字母信息轉(zhuǎn)為具體的數(shù)值。因此，解決代數(shù)問題時(shí)，這種方法對于小學(xué)階段的學(xué)生來說比較方便，但隨著學(xué)生知識和解題經(jīng)驗(yàn)的增加，尤其是在中學(xué)階段，學(xué)生真正掌握了代數(shù)知識之后，數(shù)值假設(shè)法的作用不僅變小了，而且顯得繁雜了。

4.知識內(nèi)涵的局限性

數(shù)值假設(shè)法實(shí)際上是運(yùn)用具體的數(shù)值替換了相應(yīng)的字母，正因?yàn)槿绱耍僭O(shè)的數(shù)字只能代表某一個(gè)特定的量，并不能反映出量與量之間的聯(lián)系和區(qū)別。因此，數(shù)值假設(shè)法的運(yùn)用可以簡化計(jì)算過程中，但不能明確地表示出相應(yīng)的推導(dǎo)過程，在知識內(nèi)涵中存在一定的局限性。

5.數(shù)學(xué)邏輯的局限性

數(shù)學(xué)是邏輯性很強(qiáng)的一門學(xué)科。在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，每一個(gè)環(huán)節(jié)、每一個(gè)步驟都需要嚴(yán)密的邏輯思維。數(shù)值假設(shè)法雖說具有一定的邏輯思維，但就嚴(yán)密程度來說，還存在不足。因此，數(shù)值假設(shè)法的運(yùn)用會(huì)隨著學(xué)生學(xué)習(xí)程度的加深而逐步淡化，被更符合實(shí)際、更具有數(shù)學(xué)邏輯性的方法所取代。

總之，數(shù)值假設(shè)法給解決部分?jǐn)?shù)學(xué)問題打開了新的大門，提供了更便捷的途徑。對于小學(xué)階段的學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法的提升提供了一定的幫助，但也因?yàn)槠渥陨淼木窒扌裕沟脤W(xué)生在運(yùn)用這種方法時(shí)要不斷積累、不斷完善。

（責(zé)編 黃 露）