擺錘擺臂受力分析

盧鎮海，車江龍

（廣東金馬游樂股份有限公司，廣東中山 528400）

0 引言

游樂設備在國外已有100 多年的發展歷史，而中國的游樂設施起源于20 世紀80年代，起步相對較晚，各方面相對不完善［1］。游樂設備之所以吸引人，關鍵在于其能在確保安全的前提下，使乘客體驗到驚險刺激，獲得愉悅，享受快樂。正是由于游樂設備速度快、加速度大的特點，乘客體驗驚險刺激的同時，也承擔較大的風險。隨著經濟的發展，游樂設施越來越廣泛地存在于人民的日常生活中，但游樂設備事故時有發生，這不但損害了國家的經濟發展，更重要的是嚴重危害了人民的生命安全［2］。這是由于中國的游樂設施發展還不夠充分，游樂設施安全仍然需要長久的積累與進步。

擺錘游藝機為由傾斜柱組成的支承架上裝有支承軸，擺動吊臂繞支承軸來回擺動或旋轉，吊臂下端裝有座艙，座艙繞擺動吊臂旋轉，或與吊臂固定的觀覽車類游樂設施［3－4］。劉海生等［5］對擺錘的三維設計做了研究；陳朝陽等［6］對擺錘的加速度做了分析；宋偉科等［7］對擺錘驅動頭做了研究；薛真等［8］對含裂紋的擺錘減速器行星齒輪做了疲勞壽命分析；馬棟聯等［9］基于Solid Works對大擺錘機身做了有限元分析，但都沒有對擺臂進行詳細的理論計算。

本文在擺錘進行詳細運動過程的分析下，對擺臂任一截面受力做了詳細的理論計算［10－12］，可作為安全校核和新設計的參考。

1 受力分析

在驅動作用下，擺錘設備的擺臂繞支承軸旋轉，來回擺動，擺臂下端裝有座艙，一般座艙為圓盤結構，乘客沿圓周線均勻分布，有些擺錘設備的座艙可繞擺臂軸線旋轉。擺臂運動過程中的荷載包括轉盤對擺臂的荷載、擺臂重力荷載、擺臂運動產生的荷載。

擺臂整體做圓周運動，運動中產生荷載又包括離心力和加速旋轉的荷載，分別計算這些荷載。從擺臂中取任一截面，對截取出來的一段擺臂運用剛體平面運動微分方程，計算得到運動過程中擺臂任一截面的荷載。

按由簡到繁的規律，本文忽略了轉盤自轉帶來的荷載，僅計算擺臂在平面內擺動時的情況，轉盤自轉的情況將在最后做出說明。任一時刻擺錘整體運動如圖1 所示。

圖1 擺錘整體運動

在重力和驅動力矩M作用下，擺錘的擺臂與轉盤部分繞點O旋轉。擺臂總長度為L，擺臂下端的圓形轉盤半徑為r，輕質轉盤上有兩個質量均為m的乘客m1和m2，m1、m2與點O的連線與擺臂軸線的夾角固定為γ。

對于轉盤，由于粗略計算時，將轉盤簡化為質點計算轉盤對擺臂的荷載，故本文重點關注角度γ帶來的影響，簡化轉盤質量的影響，認為轉盤質量為0，且讓乘客只存在于轉盤的兩端，即轉盤上只有圖1 中位置的兩位乘客m1和m2。

在擺臂與轉盤運動過程中，由詳細的動力學分析可知，當擺臂軸線與豎直方向夾角為β 時，運動部分的角速度為ω，角加速度為α。

整體坐標系與擺臂坐標系如圖1 所示，整體坐標系z軸為豎直方向，擺臂坐標系z軸與擺臂軸線平行，隨擺臂繞點O旋轉，本文多采用擺臂坐標系。

1.1 整體動力學分析

擺臂與轉盤是擺錘的運動部分，運動過程中運動部分所受的外力只有驅動力矩M和重力G，整體動力學分析如圖2 所示。

圖2 轉盤所受外力

設擺臂線密度為ρ，則擺臂部件對旋轉中心點O的轉動慣量為：

轉盤上的兩個乘客（質量均為m的質點）對旋轉中心點O的轉動慣量為：

轉盤上的乘客對點A的轉動慣量為：

對于擺臂與轉盤整體列剛體繞定軸轉動的微分方程有：

式中：MG，臂為擺臂的重力對點O的力矩；MG，盤為轉盤的重力對點O的力矩。

當忽略γ角度，將轉盤作為質點計算時，轉盤的重力對點O的力矩為：

可以看出，忽略γ角度，轉盤的重力對點O力矩計算出現一定的誤差，計及γ角度時，計算復雜了很多。

1.2 轉盤對擺臂的荷載

運動過程中，轉盤部分在自身重力和擺臂對轉盤的荷載作用下，繞點O旋轉，建立轉盤繞點O轉動的動力學方程，求解擺臂對轉盤的荷載，再取反力，得到轉盤對擺臂的荷載。轉盤的受力分析如圖3 所示。

圖3 轉盤的受力分析

乘客的重力分為3 個分量，例如G1先沿徑向與切向分解為G1τ和G1n，G1n再沿擺臂坐標系分解為G1n，y和G1n，z。其中G1τ與G2τ作為運動部件的動力之一，影響運動部分的加速度，此部分已在整體動力學分析中計算。G1n，y、G1n，z、G2n，y和G2n，z則作為結構荷載，經由轉盤至擺臂，最終傳遞至基礎。

乘客的離心力F1n和F2n由乘客的圓周運動產生，由于乘客運動的角速度和運動半徑相同，故乘客的離心力大小相同，方向為分別沿兩個乘客運動曲線的方向。容易判斷，在擺臂坐標系下，兩個乘客離心力在y向的分量互相平衡。

1.2.1 擺臂坐標系下轉盤對擺臂的z向荷載

在擺臂坐標系下，轉盤在z向無運動，故轉盤所受的所有z向力平衡，設擺臂對轉盤z向力為F′Az，轉盤對擺臂z向力為FAz。

在擺臂坐標系下，乘客重力分量G1n，z和G2n，z的z向（擺臂軸線方向）分量為：

在擺臂坐標系下，兩個乘客離心力的z向分量分別為：

在擺臂坐標系下，建立轉盤z向的平衡方程，求解轉盤對擺臂對的z向力：

故轉盤對擺臂的z向力為：

當忽略γ角度，將轉盤作為質點計算時，乘客重力的z向（擺臂軸線方向）分量為：

乘客重力的z向（擺臂軸線方向）分量為：

轉盤對擺臂的z向力為：

可以看出，當忽略γ 角度時，轉盤對擺臂的z向力計算大為簡化，但在乘客質量或轉盤質量較大以及γ角度較大時，將引起較大的誤差。在分析轉盤對擺臂的y向力以及x向力矩時，也會因忽略γ角度而帶來一定的誤差，不再贅述。

1.2.2 擺臂坐標系下轉盤對擺臂的y向荷載

在擺臂坐標系下，乘客重力分量G1n，y和G2n，y的y向分量為：

在擺臂坐標系下，乘客離心力的y向分量為：

在擺臂坐標系下，設擺臂對轉盤的y向力為F′Ay，由質心運動定理可得：

在擺臂坐標系下，轉盤對擺臂的y向力為：

1.2.3 擺臂坐標系下轉盤對擺臂的x向力矩荷載

在擺臂坐標系下，乘客重力分量G1n，z和G1n，z對轉盤質心點A的x向力矩為：

在擺臂坐標系下，乘客離心力對轉盤質心A的x向力矩為：

在擺臂坐標系下，設擺臂對轉盤的x向力矩為M′Ax，由質點系對質心的動量矩定理可得：

在擺臂坐標系下，轉盤對擺臂的x向力矩為：

1.3 擺臂截面荷載

擺臂任一截面荷載的受力分析如圖4 所示。

圖4 擺臂任一截面荷載的受力分析

取距離點O為R的e段進行分析，其中A為轉盤與擺臂連接面，B為擺臂任一截面，A截面的荷載即為轉盤對擺臂的荷載，計算B截面的荷載即可得到擺臂截面荷載。由于擺臂不存在徑向運動，故徑向荷載互相平衡。

在擺臂坐標系下，轉盤對擺臂的荷載為：

1.3.1 擺臂坐標系下擺臂截面的z向力

擺臂坐標系下，e段重力在z向的分量為：

擺臂坐標系下，e段離心力為：

擺臂坐標系下，擺臂在重力、離心力與截面荷載下z向的平衡方程為：

擺臂坐標系下，截面B的z向力為：

1.3.2 擺臂坐標系下擺臂截面的y向力

e段對其質心的轉動慣量為：

擺臂坐標系下，e段重力在y向的分量為：

由質心運動定理可得，e段沿y向平動的運動方程為：

擺臂坐標系下，截面B的y向力為：

1.3.3 擺臂坐標系下擺臂截面的x向力矩

e段對其質心的轉動慣量為：

由質點系對于質心的動量矩定理可得，e段繞質心轉動的運動方程為：

則擺臂截面的x向力矩為：

以上計算了擺臂做平面運動時，任一截面的荷載，先匯總如下：

2 結束語

本文通過理論分析的方法推導出了擺錘設備擺臂任一截面荷載的詳細計算公式，并給出了2 質點轉盤模型對擺臂根部的荷載，此轉盤模型雖然較為簡化，但仍可說明轉盤對擺臂荷載的所有要素。例如，以往計算轉盤對擺臂荷載時，粗略地將轉盤重力直接按擺臂徑向與切向分解，而當γ較大時，將引起較大的誤差。實際中轉盤一般乘客較多，但仍可用本文的方法進行計算。當考慮主盤自轉時，轉盤對擺臂有科氏力作用，一般將滿載轉盤作為均質圓盤計算，所有的科氏力將合稱為一個y向力矩，將此力矩添加到擺臂的計算方程中，即可得到滿載情況下擺臂任一截面的荷載。當轉盤乘客為偏載情況時，還應計算偏載導致的荷載，將此荷載添加到擺臂的計算方程中，即可得到偏載情況下擺臂任一截面的荷載。本文的計算結果可以為擺錘的擺臂設計提供更詳細的計算參考，提高設計的安全性。