基于學生視角的解題策略探究案例

李小蛟

(四川省成都市樹德中學 610091)

在核心素養視角下，不斷優化數學教學活動，提高學生數學的解題能力，既是學生全面發展的需要,更是為學生養成終身學習的重要途徑.在高中數學教學中，教師以培養學生核心素養為出發點和落腳點，運用各種有效的教學手段，讓學生掌握解決數學問題的方法，能夠令學生從解題開始對數學知識文化體系進行學習和剖析，并且更進一步進行系統化與細量化的研究，激發學生的思維，實現動手、動腦、動口三位一體,從而靈活運用所學習的知識去解決數學學習上的問題，使得學生們能夠直接提升自己的解題能力，從而增強課堂上教學的有效性和規范性.

一、試題呈現

(1)試討論f(x)的單調性；

(2)當a=1時，f(x)-xg(x)≥lnx恒成立，求實數b的取值范圍.

二、試題解析

1.第(1)問解析

題目的第(1)問中，函數f(x)以對數和分式函數為背景考查導數運算及含參數的單調性問題，涉及復合函數求導和參數分類討論.以學生的視角出發，復合函數導數運算法則是問題解決的易錯點，分類討論思想充分體現數學運算、數據分析、邏輯推理等核心素養，如何分類，分類的標準在哪里，需要學生非常準確地判斷并給出正確的解答.

(1)當a>0時，f(x)的定義域為(0,+∞)，由f′(x)<0，解得00，解得x>a.此時，f(x)在(0,a)單調遞減，在(a,+∞)單調遞增.

(2)當a<0時，f(x)的定義域為(-∞，0)，由f′(x)<0，解得x0，解得a

2.第(2)問解析

題目中(2)問“當a=1時，f(x)-xg(x)≥lnx恒成立，求實數b的取值范圍”是給定包含參數且較復雜函數的恒成立，求參數的取值范圍，對學生的思維量，運算量要求高，難度較大，下面我們從學生的視角出發來探討這一問題的解決策略.

策略探究1 基于學生視角，求參數的恒(能)成立問題的思路是參變分離，這種思路可以避免參數的討論，將參數轉移.

故b≤h(x)min=e.

令x=1，則be-1≤1+ln1，則b≤e.

當b≤e時，bxe-x≤xe1-x(x>0)，令m(x)=xe1-x(x>0)，則m′(x)=(1-x)e1-x.所以m(x)=xe1-x在(0,1)單調遞增，在(1,+∞)單調遞減.于是m(x)≤m(1)=1，即bxe-x≤1.

綜上所述,實數b的取值范圍為(-∞,e].

策略探究3 在求解函數與導數的恒成立問題時，優先考慮的還是直接求導對參數討論，直接求導后討論難點在于如何對參數進行分類.

說明構造函數n(x)，求導之后的處理還應該前后對照統一解決(否則當b≤0時的處理就比較困難).

策略探究4 在處理函數問題時，可將整體函數分割成一些常見的函數，先進行局部處理，再統一整合.

小結面對著一個比較綜合、有一定難度的數學問題，怎樣才能引導學生迅速地找到其突破口，打開學生的解題思路，是一線教師在教學中的重難點.妙計可以打勝仗，良策則有利于解題，當學生對數學知識，數學思想方法的學習和運用達到一定水平時，應該把一般的思維升華到計策謀略的境界.只有掌握了一定的解題策略，才會在遇到問題時，找到問題的思考點和突破口，迅速、正確地解題，因此在教學中我們要基于學生的視角加強數學解題策略的指導，優化學生的思維品質，提高解題能力.