黏彈性耗能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)非均勻和完全非平穩(wěn)響應(yīng)的精細(xì)積分格式

李創(chuàng)第，王博文，昌明靜

(廣西科技大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，廣西 柳州 545006)

在結(jié)構(gòu)抗風(fēng)抗震中，黏彈性阻尼器已得到廣泛應(yīng)用[1]。其中，Maxwell阻尼器模型具有本構(gòu)方程簡(jiǎn)便、物理意義明確、易于擴(kuò)階分析、模型計(jì)算參數(shù)易于從試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合[2-3]等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用。一般黏彈性阻尼器、一般線性流體阻尼器、黏滯阻尼器都可用Maxwell阻尼器模型建模[4-5]，故研究Maxwell阻尼器耗能結(jié)構(gòu)具有重要的理論和工程意義。

在減震結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中，阻尼器一般與支撐串聯(lián)安裝[6]，我國(guó)GB 50011—2010《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》[7]通過控制支撐的最小剛度，使得串聯(lián)安裝系統(tǒng)達(dá)到或接近純阻尼器的效果，所以結(jié)構(gòu)系統(tǒng)響應(yīng)分析要考慮支撐的影響[8]。由于地震發(fā)生會(huì)首先引起支撐、阻尼器等結(jié)構(gòu)保護(hù)系統(tǒng)的破壞，進(jìn)而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)體系的損傷甚至倒塌，目前相關(guān)規(guī)范明確要求耗能減震系統(tǒng)構(gòu)件在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期內(nèi)應(yīng)具備足夠的變形、耗能能力和良好的抗震動(dòng)力可靠度，故結(jié)構(gòu)及結(jié)構(gòu)保護(hù)系統(tǒng)響應(yīng)方法的建立，對(duì)于結(jié)構(gòu)及阻尼器構(gòu)件抗震動(dòng)力可靠度乃至抗震設(shè)計(jì)方法的研究具有非常重要的意義。

地震動(dòng)的非平穩(wěn)隨機(jī)特性具有頻率非平穩(wěn)和強(qiáng)度非平穩(wěn)的特點(diǎn)[9]，非平穩(wěn)隨機(jī)地震響應(yīng)的分析比平穩(wěn)隨機(jī)地震響應(yīng)的分析更加符合地震的隨機(jī)特性，在實(shí)際工程中的應(yīng)用更有價(jià)值，目前均勻調(diào)制隨機(jī)激勵(lì)的研究使大多數(shù)地震的非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)分析局限于此，因此，非均勻非平穩(wěn)和完全非平穩(wěn)[10]隨機(jī)地震激勵(lì)的研究正日益受到廣大科研人員的高度重視[11-13]。Conte等提出了可以由實(shí)際地震加速度演變功率譜經(jīng)自適應(yīng)最小二乘法擬合確定參數(shù)的完全非平穩(wěn)模型，該模型同時(shí)反映了地震的強(qiáng)度非平穩(wěn)和頻率非平穩(wěn)特性，其計(jì)算參數(shù)可通過實(shí)際地震加速度演變功率譜擬合得到，具有較強(qiáng)通用性。

針對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的功率譜密度計(jì)算方法，林家浩等提[14-15]出了高效的虛擬激勵(lì)法，將平穩(wěn)和非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)分別轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)諧振動(dòng)分析和確定性時(shí)間歷程分析，在計(jì)算步驟簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)上仍保持理論上的高度精確性。該方法被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)、風(fēng)工程、海洋工程、偏微分方程的求解等眾多領(lǐng)域，但是目前關(guān)于設(shè)置支撐的黏彈性阻尼器耗能減震結(jié)構(gòu)基于虛擬激勵(lì)法的非平穩(wěn)響應(yīng)分析尚未建立。

鐘萬勰等[16-17]提出的精細(xì)積分法，對(duì)于計(jì)算機(jī)求解指數(shù)矩陣的精度有顯著的提高，能有效的降低因精細(xì)劃分所引起的誤差，這種積分方法雖然不是提供解析解公式，但其數(shù)值計(jì)算結(jié)果卻是高度準(zhǔn)確的。目前林家浩等[18]提出了簡(jiǎn)諧、多項(xiàng)式簡(jiǎn)諧、指數(shù)簡(jiǎn)諧型精細(xì)積分格式，已應(yīng)用于無阻尼器結(jié)構(gòu)的均勻非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)高效分析，但僅對(duì)于特定形式的激勵(lì)效率較高，對(duì)于均勻與非均勻非平穩(wěn)、完全非平穩(wěn)響應(yīng)的簡(jiǎn)諧-指數(shù)-多項(xiàng)式精細(xì)積分一般通用精確格式尚未建立。

本文為建立黏彈性耗能結(jié)構(gòu)及其保護(hù)系統(tǒng)的抗震分析與設(shè)計(jì)方法，對(duì)設(shè)置支撐的Maxwell阻尼耗能系統(tǒng)隨機(jī)地震響應(yīng)的數(shù)值分析方法進(jìn)行了系統(tǒng)研究。首先，采用設(shè)置支撐的Maxwell阻尼耗能系統(tǒng)進(jìn)行建模；然后，基于高效的虛擬激勵(lì)法，獲得了均勻與非均勻非平穩(wěn)、完全非平穩(wěn)響應(yīng)的簡(jiǎn)諧-指數(shù)-多項(xiàng)式精細(xì)積分一般通用精確格式，建立了8種經(jīng)典調(diào)制非平穩(wěn)和完全非平穩(wěn)地震響應(yīng)的精細(xì)積分精確格式；最后，可得Maxwell阻尼耗能系統(tǒng)的均勻與非均勻非平穩(wěn)、完全非平穩(wěn)地震響應(yīng)方差，通過算例驗(yàn)證本文方法的正確性，為黏彈性阻尼耗能系統(tǒng)在均勻與非均勻非平穩(wěn)、完全非平穩(wěn)地震激勵(lì)下的響應(yīng)分析提供了方法。

1 結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程

1.1 一般黏彈性阻尼器模型

一般積分型模型是黏彈性阻尼器中最一般的模型，能精確、簡(jiǎn)潔地描述其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，且計(jì)算結(jié)果較為準(zhǔn)確。對(duì)于一般積分型阻尼器計(jì)算模型，如圖1所示。

圖1 一般積分型阻尼器模型Fig.1 General integral damper model

一般積分型阻尼器模型的本構(gòu)方程[19-23]可表示為

(1)

(2)

hQ(t)=Q(t)-Q(+∞)

(3)

式中：PQ(t)為一般積分型阻尼器的受力；xQ(t)為阻尼器的相對(duì)位移；Q(t)，k0和hQ(t)分別為阻尼器的松弛模量函數(shù)、平衡剛度和松弛函數(shù)。

1.2 設(shè)置支撐的一般黏彈性阻尼器等效模型

工程上，阻尼器往往與支撐串聯(lián)安裝在結(jié)構(gòu)中，以發(fā)揮減震效果。現(xiàn)將水平支撐與阻尼器的整體串聯(lián)系統(tǒng)作為等效阻尼器PG(t)以考慮水平支撐剛度kb對(duì)阻尼器響應(yīng)特性的影響，其計(jì)算模型如圖2所示。設(shè)kG，hG(t)和G(t)分別為等效阻尼器PG(t)的平衡剛度、松弛函數(shù)和松弛模量函數(shù)，等效阻尼器PG(t)的計(jì)算模型如圖3所示。

圖2 設(shè)置支撐一般線性黏彈性阻尼器計(jì)算模型Fig.2 The calculation model of general linear viscoelastic damper with support

圖3 等效阻尼器計(jì)算模型Fig.3 The calculation model of equivalent damper

設(shè)置支撐一般黏彈性阻尼器等效模型[24]的本構(gòu)方程可表示為

(4)

(5)

設(shè)xb為水平支撐kb的相對(duì)位移，xQ為阻尼器PQ(t)的相對(duì)位移，x為等效阻尼器PG(t)的相對(duì)位移，則阻尼器PQ(t)的力和變形滿足

x=xQ+xb

(6)

PQ(t)=kbxb=PG(t)

(7)

式中

(8)

(9)

1.3 Maxwell阻尼器模型

Maxwell阻尼器模型具有本構(gòu)方程[25]簡(jiǎn)便，試驗(yàn)擬合精度高，計(jì)算方便，易于擴(kuò)階分析等優(yōu)點(diǎn)被廣泛關(guān)注。該模型可表示為耗能單元與彈簧單元串聯(lián)，其計(jì)算模型如圖4所示。

圖4 Maxwell阻尼器模型Fig.4 Maxwell damper model

Maxwell阻尼器模型的本構(gòu)方程可表示為

(10)

式中：x(t)為阻尼器相對(duì)位移；c0為阻尼系數(shù)；k0為剛度系數(shù)。

x(t)=x1(t)+x2(t)

(11)

(12)

1.4 結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程的建立

圖5 結(jié)構(gòu)計(jì)算模型Fig.5 Structural calculation model

(13)

(14)

由前期研究可得

(15)

(16)

(17)

(18)

式中,

KG=Ldiag[kGi]LT，(i=1,2,…,n)

(19)

μii=kii/cii，(i=1,2,…,n)

(20)

(21)

1=[1 1 … 1]T

(22)

(23)

將式(14)代入式(13)，結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程可化為

(24)

對(duì)式(16)取拉氏逆變換可得

hGi(t)=kaie-μait

(25)

(26)

1.5 擴(kuò)階方程的建立

令

(27)

式(13)、式(27)和式(14)以擴(kuò)階的形式表示為

(28)

式中,

(29)

(30)

(31)

(32)

2 非均勻和完全非平穩(wěn)響應(yīng)分析的虛擬激勵(lì)法

2.1 非平穩(wěn)地震激勵(lì)模型

(33)

(34)

2.2 非均勻和完全非平穩(wěn)響應(yīng)的虛擬激勵(lì)法

(35)

式(28)可改寫為

(36)

對(duì)于一般黏彈性阻尼耗能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程可以按照文獻(xiàn)[26-28]提出的擴(kuò)階方法化為式(36)的形式，所以本文方法不僅適用于Maxwell阻尼耗能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，也適用于一般黏彈性阻尼耗能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

其中，

(37)

式(36)的通解為齊次解與特解之和，即

Z(ω,t)=T(τ)(Z(ω,tk)-Zp(ω,tk))+Zp(ω,t)

(38)

式中：t為積分步長(zhǎng)，t∈[tk,tk+1]；τ=t-tk；關(guān)于指數(shù)矩陣T(τ)的精細(xì)計(jì)算，詳見林家浩等的研究。問題歸結(jié)為求特解Zp(ω,t)及精細(xì)地計(jì)算T(τ)。

3 虛擬激勵(lì)下響應(yīng)的一般精細(xì)積分格式

由式(34)和式(37)，激勵(lì)荷載在每一積分步長(zhǎng)t∈[tk,tk+1]內(nèi)可表示為

(39)

式中：

rk=-B-1f1(ω)εk(ω),(k=0～n);a=i;b=1

(40)

將式(39)代入式(36)，可得方程特解Zp(ω,t)為

(41)

式中,

an=((α(ω)I-H)2+ω2I)-1((α(ω)I-H)arn+ωbrn),bn=((α(ω)I-H)2+ω2I)-1((α(ω)I-H)brn-ωarn),aj=((α(ω)I-H)2+ω2I)-1×((α(ω)I-H)×(arj-(j+1)aj+1)+ω(brj-(j+1)bj+1)),bj=((α(ω)I-H)2+ω2I)-1×((α(ω)I-H)×(brj-(j+1)bj+1)-ω(arj-(j+1)aj+1)),(j=n-1,n-2,…,0)

(42)

由式(38)和式(41)均勻與非均勻非平穩(wěn)、完全非平穩(wěn)響應(yīng)的簡(jiǎn)諧-指數(shù)-多項(xiàng)式精細(xì)積分一般通用精確格式可表示為

Z(ω,tk+1)=T(τ)(Z(ω,tk)-Zp(ω,tk))+Zp(ω,tk+1)

(43)

式(39)可以退化為林家浩等提出的簡(jiǎn)諧、多項(xiàng)式簡(jiǎn)諧、指數(shù)衰減型簡(jiǎn)諧三種精細(xì)積分格式，由于篇幅有限僅簡(jiǎn)單介紹：當(dāng)激勵(lì)荷載中rk=0，(k=1～n)，α=0時(shí)，可退化為簡(jiǎn)諧荷載精細(xì)積分格式；當(dāng)激勵(lì)荷載中rk=0，(k=3～n)，α=0時(shí)，可退化為多項(xiàng)式簡(jiǎn)諧荷載精細(xì)積分格式；當(dāng)激勵(lì)荷載中rk=0，(k=1～n)時(shí)，可退化為指數(shù)衰減型簡(jiǎn)諧荷載精細(xì)積分格式。

由式(31)和式(43),可以得到的響應(yīng)為z(ω,t)，那么該響應(yīng)的自譜密度及方差可表示為

Szz(ω,t)=z*(ω,t)z(ω,t)

(44)

(45)

式中，“*”為復(fù)共軛。

綜上步驟，設(shè)置支撐的Maxwell阻尼耗能系統(tǒng)的均勻與非均勻非平穩(wěn)、完全非平穩(wěn)響應(yīng)方差均可得到。

4 8種經(jīng)典調(diào)制非平穩(wěn)響應(yīng)的解析解

由式(43)可得，精細(xì)積分精確格式可由特解求出，為節(jié)省篇幅以下計(jì)算只給出特解。

4.1 Shinozuka-Sato型調(diào)制函數(shù)

g(t)=e-λ1t-e-λ2t

(46)

式中，λ1，λ2為已知常數(shù)。

f0(ω,t)=(r0,0eα0,0(ω)t+r0,1eα0,1(ω)t)×
(asinωt+bcosωt)

(47)

式中：

r0,0=-B-1f1ε0,0;ε0,0=1;α0,0=-λ1;r0,1=-B-1f1ε0,1;ε0,1=-1;α0,1=-λ2;a=i;b=1

(48)

特解可求得

Zp(ω,t)=(a0,0eα0,0t+a0,1eα0,1t)sinωt+
(b0,0eα0,0t+b0,1eα0,1t)cosωt

(49)

式中,

a0,1=((α0,1I-H)2+ω2I)-1×
((α0,1I-H)ar0,1+ωbr0,1),b0,1=((α0,1I-H)2+ω2I)-1×
((α0,1I-H)br0,1-ωar0,1),a0,0=((α0,0I-H)2+ω2I)-1×
((α0,0I-H)ar0,0+ωbr0,0),b0,0=((α0,0I-H)2+ω2I)-1×
((α0,0I-H)br0,0-ωar0,0)

(50)

4.2 Hsu-Bernard型調(diào)制函數(shù)

g(t)=εte-λt

(51)

式中：ε=λe；λ為已知常數(shù)。

f0(ω,t)=r1teα1t(asinωt+bcosωt)

(52)

式中：

r1=-B-1f1ε1;ε1=λe;α1=-λ;a=i;b=1

(53)

特解可求得

Zp(ω,t)=(a0+a1t)eα1tsinωt+
(b0+b1t)eα1tcosωt

(54)

式中,

a1=((α1I-H)2+ω2I)-1((α1I-H)ar1+ωbr1),b1=((α1I-H)2+ω2I)-1((α1I-H)br1-ωar1),a0=((α1I-H)2+ω2I)-1×
((α1I-H)(-a1)+ω(-b1)),b0=((α1I-H)2+ω2I)-1×
((α1I-H)(-b1)-ω(-a1))

(55)

4.3 Goto-Toki型調(diào)制函數(shù)

(56)

式中，A0，tp為已知常數(shù)。

f0(ω,t)=r1teα1t(asinωt+bcosωt)

(57)

式中：

(58)

特解可求得

Zp(ω,t)=(a0+a1t)eα1tsinωt+
(b0+b1t)eα1tcosωt

(59)

式中,

a1=((α1I-H)2+ω2I)-1((α1I-H)ar1+ωbr1),b1=((α1I-H)2+ω2I)-1((α1I-H)br1-ωar1),a0=((α1I-H)2+ω2I)-1×
((α1I-H)(-a1)+ω(-b1)),b0=((α1I-H)2+ω2I)-1×
((α1I-H)(-b1)-ω(-a1))

(60)

4.4 Iyengar型調(diào)制函數(shù)

g(t)=(c+dt)e-λt

(61)

式中，c，d，λ為已知常數(shù)。

f0(ω,t)=(r0eα0t+r1teα1t)(asinωt+bcosωt)

(62)

式中：

r0=-B-1f1ε0;ε0=c;α0=-λ;r1=-B-1f1ε1;ε1=d;α1=-λ;a=i;b=1

(63)

特解可求得

Zp(ω,t)=(a0eα0t+a1teα1t)sinωt+
(b0eα0t+b1teα1t)cosωt

(64)

式中，

a1=((α1I-H)2+ω2I)-1((α1I-H)ar1+ωbr1),b1=((α1I-H)2+ω2I)-1((α1I-H)br1-ωar1),a0=((α0I-H)2+ω2I)-1×
((α0I-H)(ar0-a1)+ω(br0-b1)),b0=((α0I-H)2+ω2I)-1×
((α0I-H)(br0-b1)-ω(ar0-a1))

(65)

4.5 分段型調(diào)制函數(shù)

(66)

式中，A0，c，t1，t2為已知常數(shù)。

當(dāng)0≤t≤t1時(shí)

f0(ω,t)=r2t2eα2t(asinωt+bcosωt)

(67)

式中：

(68)

特解可求得

Zp(ω,t)=(a0+a1t+a2t2)sinωt+
(b0+b1t+b2t2)cosωt

(69)

式中,

a2=((α2I-H)2+ω2I)-1((α2I-H)ar2+ωbr2),b2=((α2I-H)2+ω2I)-1((α2I-H)br2-ωar2),a1=((α2I-H)2+ω2I)-1×
((α2I-H)(-2a2)+ω(-2b2)),b1=((α2I-H)2+ω2I)-1×
((α2I-H)(-2b2)-ω(-2a2)),a0=((α2I-H)2+ω2I)-1×
((α2I-H)(-a1)+ω(-b1)),b0=((α2I-H)2+ω2I)-1×
((α2I-H)(-b1)-ω(-a1))

(70)

當(dāng)t1≤t≤t2時(shí)，

f0(ω,t)=r0eα0t(asinωt+bcosωt)

(71)

式中：

r0=-B-1f1ε0;ε0=A0;α0=0;a=i;b=1

(72)

特解可求得

Zp(ω,t)=a0sinωt+b0cosωt

(73)

式中，

a0=(H2+ω2I)-1(-Har0+ωbr0),b0=(H2+ω2I)-1(-Hbr0-ωar0)

(74)

當(dāng)t≥t2時(shí)，

f0(ω,t)=(r0eα0t+r1teα1t)(asinωt+bcosωt)

(75)

式中：

r0=-B-1f1ε0;ε0=-A0e-ct2;α0=0;r1=-B-1f1ε1;ε1=A0e-c;α0=0;a=i;b=1

(76)

特解可求得

Zp(ω,t)=(a0+a1t)sinωt+(b0+b1t)cosωt

(77)

式中，

a1=(H2+ω2I)-1(-Har1+ωbr1),b1=(H2+ω2I)-1((-Hbr1)-ωar1),a0=(H2+ω2I)-1((-H(ar0-a1))+ω(br0-b1)),b0=(H2+ω2I)-1×
((-H(br0-b1))-ω(ar0-a1))

(78)

4.6 余弦型調(diào)制函數(shù)

g(t)=c+dcosθt

(79)

式中，c，d，θ為已知常數(shù)，c≥d。

f0(ω,t)=(r0,0eα0,0t+r0,1eα0,1t+r0,2eα0,2t)×
(asinωt+bcosωt)

(80)

式中：

(81)

特解可求得

Zp(ω,t)=(a0,0+a0,1eα0,1t+a0,2eα0,2t)sinωt+
(b0,0+b0,1eα0,1t+b0,2eα0,2t)cosωt

(82)

式中,

a0,2=((α0,2I-H)2+ω2I)-1×
((α0,2I-H)ar0,2+ωbr0,2),b0,2=((α0,2I-H)2+ω2I)-1×
((α0,2I-H)br0,2-ωar0,2),a0,1=((α0,1I-H)2+ω2I)-1×
((α0,1I-H)ar0,1+ωbr0,1),b0,1=((α0,1I-H)2+ω2I)-1×
((α0,1I-H)br0,1-ωar0,1),a0,0=(H2+ω2I)-1((-Har0,0)+ωbr0,0),

b0,0=(H2+ω2I)-1((-Hbr0,0)-ωar0,0)

(83)

4.7 正弦型調(diào)制函數(shù)

g(t)=c+dsinθt

(84)

式中，c，d，θ為已知常數(shù)，c≥d。

f0(ω,t)=(r0,0eα0,0t+r0,1eα0,1t+r0,2eα0,2t)×
(asinωt+bcosωt)

(85)

式中：

(86)

特解可求得

Zp(ω,t)=(a0,0+a0,1eα0,1t+a0,2eα0,2t)sinωt+
(b0,0+b0,1eα0,1t+b0,2eα0,2t)cosωt

(87)

式中,

a0,2=((α0,2I-H)2+ω2I)-1×
((α0,2I-H)ar0,2+ωbr0,2),b0,2=((α0,2I-H)2+ω2I)-1×
(α0,2I-H)br0,2-ωar0,2),a0,1=((α0,1I-H)2+ω2I)-1×
((α0,1I-H)ar0,1+ωbr0,1),b0,1=((α0,1I-H)2+ω2I)-1×
((α0,1I-H)br0,1-ωar0,1),a0,0=(H2+ω2I)-1((-Har0,0)+ωbr0,0),b0,0=(H2+ω2I)-1((-Hbr0,0)-ωar0,0)

(88)

4.8 Spanos-Solomos型非均勻調(diào)制函數(shù)

g(ω,t)=ε(ω)te-λ(ω)t

(89)

式中，ε(ω)，λ(ω)為以ω為自變量的函數(shù)。

f0(ω,t)=r1teα1t(asinωt+bcosωt)

(90)

式中：

r1=-B-1f1ε1;ε1=ε(ω);α1=-λ(ω);a=i;b=1

(91)

特解可求得

Zp(ω,t)=(a0+a1t)eα1tsinωt+
(b0+b1t)eα1tcosωt

(92)

式中,

a1=((α1I-H)2+ω2I)-1((α1I-H)ar1+ωbr1),b1=((α1I-H)2+ω2I)-1((α1I-H)br1-ωar1),a0=((α1I-H)2+ω2I)-1×
((α1I-H)(-a1)+ω(-b1)),b0=((α1I-H)2+ω2I)-1×
((α1I-H)(-b1)-ω(-a1))

(93)

5 Conte-Peng非平穩(wěn)功率譜模型

Conte和Peng提出的由實(shí)際的地震加速度演變功率譜經(jīng)自適應(yīng)最小二乘法擬合得到的完全非平穩(wěn)功率譜模型

(94)

gf(t)=εf(t-tf)rfe-αf(t-tf)U(t-tf)

(95)

式中：f=1，…，Nf；U(t-tf)為單位階躍函數(shù)。

(96)

(97)

f0(ω,t)=rrf(t-tf)rfeαf(t-tf)(asinωt+bcosωt)

(98)

式中：

rrf=-B-1f1(ω)εf;a=i;b=1

(99)

特解可求得

(100)

式中,

arf=((αfI-H)2+ω2I)-1((αfI-H)arrf+ωbrrf),brf=((αfI-H)2+ω2I)-1((αfI-H)brrf-ωarrf),aj=((αfI-H)2+ω2I)-1×((αfI-H)×
(-(j+1)aj+1)+ω(-(j+1)bj+1)),bj=((αfI-H)2+ω2I)-1×((αfI-H)×
(-(j+1)bj+1)-ω(-(j+1)aj+1)),(j=rf-1,rf-2,…,0)

(101)

6 算 例

6.1 單自由度算例

單自由度設(shè)置支撐的Maxwell阻尼器減震系統(tǒng)，如圖6所示。其結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)為：質(zhì)量m=42 500 kg；剛度k=145.43×105N/m；阻尼比s0分別取0.02，0.04，0.08，0.20。Maxwell阻尼器的基本參數(shù)為：平衡剛度為k0=0.36×105N/m；支撐剛度為kb=1.5k；Maxwell阻尼器剛度和阻尼分別為k1=42.08×105N/m，c1=0.83×105N·s/m。

圖6 結(jié)構(gòu)計(jì)算模型Fig.6 Structural calculation model

式中：ωf取19 rad/s；ξf取0.65；S0取0.015 54 m2/s3。

調(diào)幅函數(shù)分別取為Shinozuka-Sato型[29]均勻調(diào)幅和Spanos-Solomos型[30]非均勻調(diào)幅，計(jì)算參數(shù)分別取為

首先運(yùn)用本文方法得到Shinozuka-Sato型非平穩(wěn)地震作用下的響應(yīng)方差，如圖7～圖12所示。最后進(jìn)一步應(yīng)用到Spanos-Solomos型非均勻調(diào)制非平穩(wěn)地震激勵(lì)作用下結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差，如圖13～圖18所示。可以看出：在均勻與非均勻非平穩(wěn)激勵(lì)下，耗能系統(tǒng)的響應(yīng)具有相似波動(dòng)趨勢(shì)的特點(diǎn)，表現(xiàn)出明顯的非平穩(wěn)隨機(jī)特性，符合工程實(shí)際。

為了研究阻尼比對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，s0分別取0.02，0.04，0.08，0.20。阻尼比取值的不同對(duì)耗能系統(tǒng)的響應(yīng)有較大的影響，在兩類非平穩(wěn)地震作用下，耗能系統(tǒng)的響應(yīng)，如圖7～圖9和圖13～圖15所示。隨著阻尼比的增大，結(jié)構(gòu)的整體響應(yīng)強(qiáng)度越小，阻尼比越大，結(jié)構(gòu)達(dá)到靜止的時(shí)間越早，相應(yīng)的峰值也會(huì)提前，即隨著阻尼比的增大，響應(yīng)也隨之越早達(dá)到峰值，但響應(yīng)方差反而減小。

圖7 Shinozuka-Sato調(diào)幅函數(shù)下結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)方差Fig.7 Structural displacement response variance under Shinozuka-Sato amplitude modulation function

圖8 Shinozuka-Sato調(diào)幅函數(shù)下結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)方差Fig.8 Structural velocity response variance under Shinozuka-Sato amplitude modulation function

圖9 Shinozuka-Sato調(diào)幅函數(shù)下阻尼器受力響應(yīng)方差Fig.9 Variance of damper response under Shinozuka-Sato amplitude modulation function

為了研究支撐剛度對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響，結(jié)構(gòu)基本參數(shù)不變，而rb分別為0.5，0.8，1.2，10.0，∞，支撐剛度kb=rbk，rb為支撐剛度除結(jié)構(gòu)剛度，阻尼比取s0=0.1，在兩類非平穩(wěn)地震作用下，耗能系統(tǒng)的響應(yīng)，如圖10～圖12和圖16～圖18所示。支撐剛度取值的不同對(duì)耗能系統(tǒng)的響應(yīng)有較大的影響，然而對(duì)產(chǎn)生響應(yīng)最大值的時(shí)刻影響較小，隨著支撐剛度取值的增大，阻尼器受力響應(yīng)方差也隨之增大，但是結(jié)構(gòu)的位移、速度響應(yīng)方差反而減小。

圖10 Shinozuka-Sato調(diào)幅函數(shù)下結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)方差Fig.10 Structural displacement response variance under Shinozuka-Sato amplitude modulation function

圖11 Shinozuka-Sato調(diào)幅函數(shù)下結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)方差Fig.11 Structural velocity response variance under Shinozuka-Sato amplitude modulation function

圖12 Shinozuka-Sato調(diào)幅函數(shù)下阻尼器受力響應(yīng)方差Fig.12 Variance of damper response under Shinozuka-Sato amplitude modulation function

圖13 Spanos-Solomos調(diào)幅函數(shù)下結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)方差Fig.13 Structural displacement response variance under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖14 Spanos-Solomos調(diào)幅函數(shù)下結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)方差Fig.14 Structural velocity response variance under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖15 Spanos-Solomos調(diào)幅函數(shù)下阻尼器受力響應(yīng)方差Fig.15 Variance of damper response under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖16 Spanos-Solomos調(diào)幅函數(shù)下結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)方差Fig.16 Structural displacement response variance under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖17 Spanos-Solomos調(diào)幅函數(shù)下結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)方差Fig.17 Structural velocity response variance under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖18 Spanos-Solomos調(diào)幅函數(shù)下阻尼器受力響應(yīng)方差Fig.18 Variance of damper response under Spanos-Solomos amplitude modulation function

為保證結(jié)構(gòu)獲得很好的耗能作用，在支撐剛度kb≥10k情況下，可以按kb=∞近似計(jì)算；在kb較小情況下，可以按kb的實(shí)際剛度進(jìn)行計(jì)算。

6.2 多自由度算例

某3層設(shè)置支撐的Maxwell阻尼器減震系統(tǒng)，如圖19所示。其結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)為：質(zhì)量m1=3.86×104kg，m2=3.68×104kg，m3=3.59×104kg；剛度k1=146.01×105N/m，k2=133.25×105N/m，k3=101.91×105N/m；阻尼比ξ0=0.05。每一層采用相同的Maxwell阻尼器：平衡剛度度k0=0.36×105N/m，k1=42.08×105N/m，c1=0.83×105N·s/m;支撐剛度為kb=3k1。

圖19 結(jié)構(gòu)計(jì)算模型Fig.19 Structural calculation model

式中：ωf取19 rad/s；ξf取0.65；S0取0.015 54 m2/s3。

調(diào)幅函數(shù)分別取為Shinozuka-Sato型均勻調(diào)幅和Spanos-Solomos型非均勻調(diào)幅，計(jì)算參數(shù)分別取為

在Shinozuka-Sato型均勻調(diào)幅非平穩(wěn)地震激勵(lì)作用下，多層減震結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的位移、速度、阻尼器受力響應(yīng)方差，如圖20～圖22所示。

圖20 Shinozuka-Sato調(diào)幅函數(shù)下結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)方差Fig.20 Structural displacement response variance under Shinozuka-Sato amplitude modulation function

圖21 Shinozuka-Sato調(diào)幅函數(shù)下結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)方差Fig.21 Structural velocity response variance under Shinozuka-Sato amplitude modulation function

圖22 Shinozuka-Sato調(diào)幅函數(shù)下阻尼器受力響應(yīng)方差Fig.22 Variance of damper response under Shinozuka-Sato amplitude modulation function

在Spanos-Solomos型非均勻調(diào)幅非平穩(wěn)地震激勵(lì)作用下，多層減震結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的位移、速度、阻尼器受力響應(yīng)方差，如圖23～圖25所示。

圖23 Spanos-Solomos調(diào)幅函數(shù)下結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)方差Fig.23 Structural displacement response variance under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖24 Spanos-Solomos調(diào)幅函數(shù)下結(jié)構(gòu)速度響應(yīng)方差Fig.24 Structural velocity response variance under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖25 Spanos-Solomos調(diào)幅函數(shù)下阻尼器受力響應(yīng)方差Fig.25 Variance of damper response under Spanos-Solomos amplitude modulation function

由計(jì)算結(jié)果可以看出：在多自由度系統(tǒng)下，各層響應(yīng)方差均隨其調(diào)制函數(shù)的變化而變化，圖形與調(diào)制函數(shù)圖形基本一致。

7 結(jié) 論

為建立黏彈性耗能結(jié)構(gòu)及其保護(hù)系統(tǒng)的抗震分析與設(shè)計(jì)方法，本文將虛擬激勵(lì)法引入黏彈性耗能阻尼系統(tǒng)，獲得了均勻與非均勻非平穩(wěn)、完全非平穩(wěn)響應(yīng)的簡(jiǎn)諧-指數(shù)-多項(xiàng)式精細(xì)積分一般通用精確格式，得到了8種經(jīng)典均勻與非均勻調(diào)制非平穩(wěn)、完全非平穩(wěn)地震響應(yīng)的具體解析解，使計(jì)算結(jié)果不受步長(zhǎng)影響；最后，可得出耗能結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的均勻與非均勻非平穩(wěn)、完全非平穩(wěn)地震響應(yīng)方差。

(1)通過算例，驗(yàn)證了本文方法的正確性與可行性，該方法適應(yīng)于設(shè)置支撐的Maxwell阻尼系統(tǒng)的均勻與非均勻非平穩(wěn)、完全非平穩(wěn)響應(yīng)分析，并且可直接應(yīng)用于黏彈性阻尼耗能系統(tǒng)響應(yīng)分析。支撐剛度對(duì)黏彈性耗能系統(tǒng)有重要影響，在支撐剛度較耗能系統(tǒng)剛度很大情況下，支撐剛度對(duì)耗能系統(tǒng)響應(yīng)的影響效果不再增加，一般情況下，應(yīng)考慮有限支撐剛度對(duì)耗能系統(tǒng)響應(yīng)的影響。

(2)本文均勻與非均勻非平穩(wěn)、完全非平穩(wěn)響應(yīng)的精細(xì)積分一般精確格式，不受計(jì)算步長(zhǎng)的影響，任意步長(zhǎng)計(jì)算效果都是精確的。簡(jiǎn)諧、多項(xiàng)式簡(jiǎn)諧、指數(shù)簡(jiǎn)諧型精細(xì)積分格式都可以用本文精細(xì)積分一般精確格式表示，應(yīng)用范圍更加廣泛。本文得到8種經(jīng)典均勻與非均勻調(diào)制非平穩(wěn)以及完全非平穩(wěn)隨機(jī)地震響應(yīng)分析的精細(xì)積分精確格式，使用方便、效率高、工程應(yīng)用強(qiáng)。