黏彈性耗能結構系統非均勻和完全非平穩響應的精細積分格式

李創第，王博文，昌明靜

(廣西科技大學 土木建筑工程學院，廣西 柳州 545006)

在結構抗風抗震中，黏彈性阻尼器已得到廣泛應用[1]。其中，Maxwell阻尼器模型具有本構方程簡便、物理意義明確、易于擴階分析、模型計算參數易于從試驗數據擬合[2-3]等優點被廣泛應用。一般黏彈性阻尼器、一般線性流體阻尼器、黏滯阻尼器都可用Maxwell阻尼器模型建模[4-5]，故研究Maxwell阻尼器耗能結構具有重要的理論和工程意義。

在減震結構系統中，阻尼器一般與支撐串聯安裝[6]，我國GB 50011—2010《建筑抗震設計規范》[7]通過控制支撐的最小剛度，使得串聯安裝系統達到或接近純阻尼器的效果，所以結構系統響應分析要考慮支撐的影響[8]。由于地震發生會首先引起支撐、阻尼器等結構保護系統的破壞，進而導致結構體系的損傷甚至倒塌，目前相關規范明確要求耗能減震系統構件在結構設計基準期內應具備足夠的變形、耗能能力和良好的抗震動力可靠度，故結構及結構保護系統響應方法的建立，對于結構及阻尼器構件抗震動力可靠度乃至抗震設計方法的研究具有非常重要的意義。

地震動的非平穩隨機特性具有頻率非平穩和強度非平穩的特點[9]，非平穩隨機地震響應的分析比平穩隨機地震響應的分析更加符合地震的隨機特性，在實際工程中的應用更有價值，目前均勻調制隨機激勵的研究使大多數地震的非平穩隨機響應分析局限于此，因此，非均勻非平穩和完全非平穩[10]隨機地震激勵的研究正日益受到廣大科研人員的高度重視[11-13]。Conte等提出了可以由實際地震加速度演變功率譜經自適應最小二乘法擬合確定參數的完全非平穩模型，該模型同時反映了地震的強度非平穩和頻率非平穩特性，其計算參數可通過實際地震加速度演變功率譜擬合得到，具有較強通用性。

針對結構響應的功率譜密度計算方法，林家浩等提[14-15]出了高效的虛擬激勵法，將平穩和非平穩隨機振動分別轉化為簡諧振動分析和確定性時間歷程分析，在計算步驟簡化的基礎上仍保持理論上的高度精確性。該方法被廣泛應用于結構動力響應、風工程、海洋工程、偏微分方程的求解等眾多領域，但是目前關于設置支撐的黏彈性阻尼器耗能減震結構基于虛擬激勵法的非平穩響應分析尚未建立。

鐘萬勰等[16-17]提出的精細積分法，對于計算機求解指數矩陣的精度有顯著的提高，能有效的降低因精細劃分所引起的誤差，這種積分方法雖然不是提供解析解公式，但其數值計算結果卻是高度準確的。目前林家浩等[18]提出了簡諧、多項式簡諧、指數簡諧型精細積分格式，已應用于無阻尼器結構的均勻非平穩隨機響應高效分析，但僅對于特定形式的激勵效率較高，對于均勻與非均勻非平穩、完全非平穩響應的簡諧-指數-多項式精細積分一般通用精確格式尚未建立。

本文為建立黏彈性耗能結構及其保護系統的抗震分析與設計方法，對設置支撐的Maxwell阻尼耗能系統隨機地震響應的數值分析方法進行了系統研究。首先，采用設置支撐的Maxwell阻尼耗能系統進行建模；然后，基于高效的虛擬激勵法，獲得了均勻與非均勻非平穩、完全非平穩響應的簡諧-指數-多項式精細積分一般通用精確格式，建立了8種經典調制非平穩和完全非平穩地震響應的精細積分精確格式；最后，可得Maxwell阻尼耗能系統的均勻與非均勻非平穩、完全非平穩地震響應方差，通過算例驗證本文方法的正確性，為黏彈性阻尼耗能系統在均勻與非均勻非平穩、完全非平穩地震激勵下的響應分析提供了方法。

1 結構運動方程

1.1 一般黏彈性阻尼器模型

一般積分型模型是黏彈性阻尼器中最一般的模型，能精確、簡潔地描述其應力-應變關系，且計算結果較為準確。對于一般積分型阻尼器計算模型，如圖1所示。

圖1 一般積分型阻尼器模型Fig.1 General integral damper model

一般積分型阻尼器模型的本構方程[19-23]可表示為

(1)

(2)

hQ(t)=Q(t)-Q(+∞)

(3)

式中：PQ(t)為一般積分型阻尼器的受力；xQ(t)為阻尼器的相對位移；Q(t)，k0和hQ(t)分別為阻尼器的松弛模量函數、平衡剛度和松弛函數。

1.2 設置支撐的一般黏彈性阻尼器等效模型

工程上，阻尼器往往與支撐串聯安裝在結構中，以發揮減震效果。現將水平支撐與阻尼器的整體串聯系統作為等效阻尼器PG(t)以考慮水平支撐剛度kb對阻尼器響應特性的影響，其計算模型如圖2所示。設kG，hG(t)和G(t)分別為等效阻尼器PG(t)的平衡剛度、松弛函數和松弛模量函數，等效阻尼器PG(t)的計算模型如圖3所示。

圖2 設置支撐一般線性黏彈性阻尼器計算模型Fig.2 The calculation model of general linear viscoelastic damper with support

圖3 等效阻尼器計算模型Fig.3 The calculation model of equivalent damper

設置支撐一般黏彈性阻尼器等效模型[24]的本構方程可表示為

(4)

(5)

設xb為水平支撐kb的相對位移，xQ為阻尼器PQ(t)的相對位移，x為等效阻尼器PG(t)的相對位移，則阻尼器PQ(t)的力和變形滿足

x=xQ+xb

(6)

PQ(t)=kbxb=PG(t)

(7)

式中

(8)

(9)

1.3 Maxwell阻尼器模型

Maxwell阻尼器模型具有本構方程[25]簡便，試驗擬合精度高，計算方便，易于擴階分析等優點被廣泛關注。該模型可表示為耗能單元與彈簧單元串聯，其計算模型如圖4所示。

圖4 Maxwell阻尼器模型Fig.4 Maxwell damper model

Maxwell阻尼器模型的本構方程可表示為

(10)

式中：x(t)為阻尼器相對位移；c0為阻尼系數；k0為剛度系數。

x(t)=x1(t)+x2(t)

(11)

(12)

1.4 結構運動方程的建立

圖5 結構計算模型Fig.5 Structural calculation model

(13)

(14)

由前期研究可得

(15)

(16)

(17)

(18)

式中,

KG=Ldiag[kGi]LT，(i=1,2,…,n)

(19)

μii=kii/cii，(i=1,2,…,n)

(20)

(21)

1=[1 1 … 1]T

(22)

(23)

將式(14)代入式(13)，結構運動方程可化為

(24)

對式(16)取拉氏逆變換可得

hGi(t)=kaie-μait

(25)

(26)

1.5 擴階方程的建立

令

(27)

式(13)、式(27)和式(14)以擴階的形式表示為

(28)

式中,

(29)

(30)

(31)

(32)

2 非均勻和完全非平穩響應分析的虛擬激勵法

2.1 非平穩地震激勵模型

(33)

(34)

2.2 非均勻和完全非平穩響應的虛擬激勵法

(35)

式(28)可改寫為

(36)

對于一般黏彈性阻尼耗能結構系統，其運動方程可以按照文獻[26-28]提出的擴階方法化為式(36)的形式，所以本文方法不僅適用于Maxwell阻尼耗能結構系統，也適用于一般黏彈性阻尼耗能結構系統。

其中，

(37)

式(36)的通解為齊次解與特解之和，即

Z(ω,t)=T(τ)(Z(ω,tk)-Zp(ω,tk))+Zp(ω,t)

(38)

式中：t為積分步長，t∈[tk,tk+1]；τ=t-tk；關于指數矩陣T(τ)的精細計算，詳見林家浩等的研究。問題歸結為求特解Zp(ω,t)及精細地計算T(τ)。

3 虛擬激勵下響應的一般精細積分格式

由式(34)和式(37)，激勵荷載在每一積分步長t∈[tk,tk+1]內可表示為

(39)

式中：

rk=-B-1f1(ω)εk(ω),(k=0～n);a=i;b=1

(40)

將式(39)代入式(36)，可得方程特解Zp(ω,t)為

(41)

式中,

an=((α(ω)I-H)2+ω2I)-1((α(ω)I-H)arn+ωbrn),bn=((α(ω)I-H)2+ω2I)-1((α(ω)I-H)brn-ωarn),aj=((α(ω)I-H)2+ω2I)-1×((α(ω)I-H)×(arj-(j+1)aj+1)+ω(brj-(j+1)bj+1)),bj=((α(ω)I-H)2+ω2I)-1×((α(ω)I-H)×(brj-(j+1)bj+1)-ω(arj-(j+1)aj+1)),(j=n-1,n-2,…,0)

(42)

由式(38)和式(41)均勻與非均勻非平穩、完全非平穩響應的簡諧-指數-多項式精細積分一般通用精確格式可表示為

Z(ω,tk+1)=T(τ)(Z(ω,tk)-Zp(ω,tk))+Zp(ω,tk+1)

(43)

式(39)可以退化為林家浩等提出的簡諧、多項式簡諧、指數衰減型簡諧三種精細積分格式，由于篇幅有限僅簡單介紹：當激勵荷載中rk=0，(k=1～n)，α=0時，可退化為簡諧荷載精細積分格式；當激勵荷載中rk=0，(k=3～n)，α=0時，可退化為多項式簡諧荷載精細積分格式；當激勵荷載中rk=0，(k=1～n)時，可退化為指數衰減型簡諧荷載精細積分格式。

由式(31)和式(43),可以得到的響應為z(ω,t)，那么該響應的自譜密度及方差可表示為

Szz(ω,t)=z*(ω,t)z(ω,t)

(44)

(45)

式中，“*”為復共軛。

綜上步驟，設置支撐的Maxwell阻尼耗能系統的均勻與非均勻非平穩、完全非平穩響應方差均可得到。

4 8種經典調制非平穩響應的解析解

由式(43)可得，精細積分精確格式可由特解求出，為節省篇幅以下計算只給出特解。

4.1 Shinozuka-Sato型調制函數

g(t)=e-λ1t-e-λ2t

(46)

式中，λ1，λ2為已知常數。

f0(ω,t)=(r0,0eα0,0(ω)t+r0,1eα0,1(ω)t)×
(asinωt+bcosωt)

(47)

式中：

r0,0=-B-1f1ε0,0;ε0,0=1;α0,0=-λ1;r0,1=-B-1f1ε0,1;ε0,1=-1;α0,1=-λ2;a=i;b=1

(48)

特解可求得

Zp(ω,t)=(a0,0eα0,0t+a0,1eα0,1t)sinωt+
(b0,0eα0,0t+b0,1eα0,1t)cosωt

(49)

式中,

a0,1=((α0,1I-H)2+ω2I)-1×
((α0,1I-H)ar0,1+ωbr0,1),b0,1=((α0,1I-H)2+ω2I)-1×
((α0,1I-H)br0,1-ωar0,1),a0,0=((α0,0I-H)2+ω2I)-1×
((α0,0I-H)ar0,0+ωbr0,0),b0,0=((α0,0I-H)2+ω2I)-1×
((α0,0I-H)br0,0-ωar0,0)

(50)

4.2 Hsu-Bernard型調制函數

g(t)=εte-λt

(51)

式中：ε=λe；λ為已知常數。

f0(ω,t)=r1teα1t(asinωt+bcosωt)

(52)

式中：

r1=-B-1f1ε1;ε1=λe;α1=-λ;a=i;b=1

(53)

特解可求得

Zp(ω,t)=(a0+a1t)eα1tsinωt+
(b0+b1t)eα1tcosωt

(54)

式中,

a1=((α1I-H)2+ω2I)-1((α1I-H)ar1+ωbr1),b1=((α1I-H)2+ω2I)-1((α1I-H)br1-ωar1),a0=((α1I-H)2+ω2I)-1×
((α1I-H)(-a1)+ω(-b1)),b0=((α1I-H)2+ω2I)-1×
((α1I-H)(-b1)-ω(-a1))

(55)

4.3 Goto-Toki型調制函數

(56)

式中，A0，tp為已知常數。

f0(ω,t)=r1teα1t(asinωt+bcosωt)

(57)

式中：

(58)

特解可求得

Zp(ω,t)=(a0+a1t)eα1tsinωt+
(b0+b1t)eα1tcosωt

(59)

式中,

a1=((α1I-H)2+ω2I)-1((α1I-H)ar1+ωbr1),b1=((α1I-H)2+ω2I)-1((α1I-H)br1-ωar1),a0=((α1I-H)2+ω2I)-1×
((α1I-H)(-a1)+ω(-b1)),b0=((α1I-H)2+ω2I)-1×
((α1I-H)(-b1)-ω(-a1))

(60)

4.4 Iyengar型調制函數

g(t)=(c+dt)e-λt

(61)

式中，c，d，λ為已知常數。

f0(ω,t)=(r0eα0t+r1teα1t)(asinωt+bcosωt)

(62)

式中：

r0=-B-1f1ε0;ε0=c;α0=-λ;r1=-B-1f1ε1;ε1=d;α1=-λ;a=i;b=1

(63)

特解可求得

Zp(ω,t)=(a0eα0t+a1teα1t)sinωt+
(b0eα0t+b1teα1t)cosωt

(64)

式中，

a1=((α1I-H)2+ω2I)-1((α1I-H)ar1+ωbr1),b1=((α1I-H)2+ω2I)-1((α1I-H)br1-ωar1),a0=((α0I-H)2+ω2I)-1×
((α0I-H)(ar0-a1)+ω(br0-b1)),b0=((α0I-H)2+ω2I)-1×
((α0I-H)(br0-b1)-ω(ar0-a1))

(65)

4.5 分段型調制函數

(66)

式中，A0，c，t1，t2為已知常數。

當0≤t≤t1時

f0(ω,t)=r2t2eα2t(asinωt+bcosωt)

(67)

式中：

(68)

特解可求得

Zp(ω,t)=(a0+a1t+a2t2)sinωt+
(b0+b1t+b2t2)cosωt

(69)

式中,

a2=((α2I-H)2+ω2I)-1((α2I-H)ar2+ωbr2),b2=((α2I-H)2+ω2I)-1((α2I-H)br2-ωar2),a1=((α2I-H)2+ω2I)-1×
((α2I-H)(-2a2)+ω(-2b2)),b1=((α2I-H)2+ω2I)-1×
((α2I-H)(-2b2)-ω(-2a2)),a0=((α2I-H)2+ω2I)-1×
((α2I-H)(-a1)+ω(-b1)),b0=((α2I-H)2+ω2I)-1×
((α2I-H)(-b1)-ω(-a1))

(70)

當t1≤t≤t2時，

f0(ω,t)=r0eα0t(asinωt+bcosωt)

(71)

式中：

r0=-B-1f1ε0;ε0=A0;α0=0;a=i;b=1

(72)

特解可求得

Zp(ω,t)=a0sinωt+b0cosωt

(73)

式中，

a0=(H2+ω2I)-1(-Har0+ωbr0),b0=(H2+ω2I)-1(-Hbr0-ωar0)

(74)

當t≥t2時，

f0(ω,t)=(r0eα0t+r1teα1t)(asinωt+bcosωt)

(75)

式中：

r0=-B-1f1ε0;ε0=-A0e-ct2;α0=0;r1=-B-1f1ε1;ε1=A0e-c;α0=0;a=i;b=1

(76)

特解可求得

Zp(ω,t)=(a0+a1t)sinωt+(b0+b1t)cosωt

(77)

式中，

a1=(H2+ω2I)-1(-Har1+ωbr1),b1=(H2+ω2I)-1((-Hbr1)-ωar1),a0=(H2+ω2I)-1((-H(ar0-a1))+ω(br0-b1)),b0=(H2+ω2I)-1×
((-H(br0-b1))-ω(ar0-a1))

(78)

4.6 余弦型調制函數

g(t)=c+dcosθt

(79)

式中，c，d，θ為已知常數，c≥d。

f0(ω,t)=(r0,0eα0,0t+r0,1eα0,1t+r0,2eα0,2t)×
(asinωt+bcosωt)

(80)

式中：

(81)

特解可求得

Zp(ω,t)=(a0,0+a0,1eα0,1t+a0,2eα0,2t)sinωt+
(b0,0+b0,1eα0,1t+b0,2eα0,2t)cosωt

(82)

式中,

a0,2=((α0,2I-H)2+ω2I)-1×
((α0,2I-H)ar0,2+ωbr0,2),b0,2=((α0,2I-H)2+ω2I)-1×
((α0,2I-H)br0,2-ωar0,2),a0,1=((α0,1I-H)2+ω2I)-1×
((α0,1I-H)ar0,1+ωbr0,1),b0,1=((α0,1I-H)2+ω2I)-1×
((α0,1I-H)br0,1-ωar0,1),a0,0=(H2+ω2I)-1((-Har0,0)+ωbr0,0),

b0,0=(H2+ω2I)-1((-Hbr0,0)-ωar0,0)

(83)

4.7 正弦型調制函數

g(t)=c+dsinθt

(84)

式中，c，d，θ為已知常數，c≥d。

f0(ω,t)=(r0,0eα0,0t+r0,1eα0,1t+r0,2eα0,2t)×
(asinωt+bcosωt)

(85)

式中：

(86)

特解可求得

Zp(ω,t)=(a0,0+a0,1eα0,1t+a0,2eα0,2t)sinωt+
(b0,0+b0,1eα0,1t+b0,2eα0,2t)cosωt

(87)

式中,

a0,2=((α0,2I-H)2+ω2I)-1×
((α0,2I-H)ar0,2+ωbr0,2),b0,2=((α0,2I-H)2+ω2I)-1×
(α0,2I-H)br0,2-ωar0,2),a0,1=((α0,1I-H)2+ω2I)-1×
((α0,1I-H)ar0,1+ωbr0,1),b0,1=((α0,1I-H)2+ω2I)-1×
((α0,1I-H)br0,1-ωar0,1),a0,0=(H2+ω2I)-1((-Har0,0)+ωbr0,0),b0,0=(H2+ω2I)-1((-Hbr0,0)-ωar0,0)

(88)

4.8 Spanos-Solomos型非均勻調制函數

g(ω,t)=ε(ω)te-λ(ω)t

(89)

式中，ε(ω)，λ(ω)為以ω為自變量的函數。

f0(ω,t)=r1teα1t(asinωt+bcosωt)

(90)

式中：

r1=-B-1f1ε1;ε1=ε(ω);α1=-λ(ω);a=i;b=1

(91)

特解可求得

Zp(ω,t)=(a0+a1t)eα1tsinωt+
(b0+b1t)eα1tcosωt

(92)

式中,

a1=((α1I-H)2+ω2I)-1((α1I-H)ar1+ωbr1),b1=((α1I-H)2+ω2I)-1((α1I-H)br1-ωar1),a0=((α1I-H)2+ω2I)-1×
((α1I-H)(-a1)+ω(-b1)),b0=((α1I-H)2+ω2I)-1×
((α1I-H)(-b1)-ω(-a1))

(93)

5 Conte-Peng非平穩功率譜模型

Conte和Peng提出的由實際的地震加速度演變功率譜經自適應最小二乘法擬合得到的完全非平穩功率譜模型

(94)

gf(t)=εf(t-tf)rfe-αf(t-tf)U(t-tf)

(95)

式中：f=1，…，Nf；U(t-tf)為單位階躍函數。

(96)

(97)

f0(ω,t)=rrf(t-tf)rfeαf(t-tf)(asinωt+bcosωt)

(98)

式中：

rrf=-B-1f1(ω)εf;a=i;b=1

(99)

特解可求得

(100)

式中,

arf=((αfI-H)2+ω2I)-1((αfI-H)arrf+ωbrrf),brf=((αfI-H)2+ω2I)-1((αfI-H)brrf-ωarrf),aj=((αfI-H)2+ω2I)-1×((αfI-H)×
(-(j+1)aj+1)+ω(-(j+1)bj+1)),bj=((αfI-H)2+ω2I)-1×((αfI-H)×
(-(j+1)bj+1)-ω(-(j+1)aj+1)),(j=rf-1,rf-2,…,0)

(101)

6 算 例

6.1 單自由度算例

單自由度設置支撐的Maxwell阻尼器減震系統，如圖6所示。其結構的基本參數為：質量m=42 500 kg；剛度k=145.43×105N/m；阻尼比s0分別取0.02，0.04，0.08，0.20。Maxwell阻尼器的基本參數為：平衡剛度為k0=0.36×105N/m；支撐剛度為kb=1.5k；Maxwell阻尼器剛度和阻尼分別為k1=42.08×105N/m，c1=0.83×105N·s/m。

圖6 結構計算模型Fig.6 Structural calculation model

式中：ωf取19 rad/s；ξf取0.65；S0取0.015 54 m2/s3。

調幅函數分別取為Shinozuka-Sato型[29]均勻調幅和Spanos-Solomos型[30]非均勻調幅，計算參數分別取為

首先運用本文方法得到Shinozuka-Sato型非平穩地震作用下的響應方差，如圖7～圖12所示。最后進一步應用到Spanos-Solomos型非均勻調制非平穩地震激勵作用下結構響應方差，如圖13～圖18所示。可以看出：在均勻與非均勻非平穩激勵下，耗能系統的響應具有相似波動趨勢的特點，表現出明顯的非平穩隨機特性，符合工程實際。

為了研究阻尼比對結構響應的影響，s0分別取0.02，0.04，0.08，0.20。阻尼比取值的不同對耗能系統的響應有較大的影響，在兩類非平穩地震作用下，耗能系統的響應，如圖7～圖9和圖13～圖15所示。隨著阻尼比的增大，結構的整體響應強度越小，阻尼比越大，結構達到靜止的時間越早，相應的峰值也會提前，即隨著阻尼比的增大，響應也隨之越早達到峰值，但響應方差反而減小。

圖7 Shinozuka-Sato調幅函數下結構位移響應方差Fig.7 Structural displacement response variance under Shinozuka-Sato amplitude modulation function

圖8 Shinozuka-Sato調幅函數下結構速度響應方差Fig.8 Structural velocity response variance under Shinozuka-Sato amplitude modulation function

圖9 Shinozuka-Sato調幅函數下阻尼器受力響應方差Fig.9 Variance of damper response under Shinozuka-Sato amplitude modulation function

為了研究支撐剛度對結構響應的影響，結構基本參數不變，而rb分別為0.5，0.8，1.2，10.0，∞，支撐剛度kb=rbk，rb為支撐剛度除結構剛度，阻尼比取s0=0.1，在兩類非平穩地震作用下，耗能系統的響應，如圖10～圖12和圖16～圖18所示。支撐剛度取值的不同對耗能系統的響應有較大的影響，然而對產生響應最大值的時刻影響較小，隨著支撐剛度取值的增大，阻尼器受力響應方差也隨之增大，但是結構的位移、速度響應方差反而減小。

圖10 Shinozuka-Sato調幅函數下結構位移響應方差Fig.10 Structural displacement response variance under Shinozuka-Sato amplitude modulation function

圖11 Shinozuka-Sato調幅函數下結構速度響應方差Fig.11 Structural velocity response variance under Shinozuka-Sato amplitude modulation function

圖12 Shinozuka-Sato調幅函數下阻尼器受力響應方差Fig.12 Variance of damper response under Shinozuka-Sato amplitude modulation function

圖13 Spanos-Solomos調幅函數下結構位移響應方差Fig.13 Structural displacement response variance under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖14 Spanos-Solomos調幅函數下結構速度響應方差Fig.14 Structural velocity response variance under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖15 Spanos-Solomos調幅函數下阻尼器受力響應方差Fig.15 Variance of damper response under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖16 Spanos-Solomos調幅函數下結構位移響應方差Fig.16 Structural displacement response variance under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖17 Spanos-Solomos調幅函數下結構速度響應方差Fig.17 Structural velocity response variance under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖18 Spanos-Solomos調幅函數下阻尼器受力響應方差Fig.18 Variance of damper response under Spanos-Solomos amplitude modulation function

為保證結構獲得很好的耗能作用，在支撐剛度kb≥10k情況下，可以按kb=∞近似計算；在kb較小情況下，可以按kb的實際剛度進行計算。

6.2 多自由度算例

某3層設置支撐的Maxwell阻尼器減震系統，如圖19所示。其結構的基本參數為：質量m1=3.86×104kg，m2=3.68×104kg，m3=3.59×104kg；剛度k1=146.01×105N/m，k2=133.25×105N/m，k3=101.91×105N/m；阻尼比ξ0=0.05。每一層采用相同的Maxwell阻尼器：平衡剛度度k0=0.36×105N/m，k1=42.08×105N/m，c1=0.83×105N·s/m;支撐剛度為kb=3k1。

圖19 結構計算模型Fig.19 Structural calculation model

式中：ωf取19 rad/s；ξf取0.65；S0取0.015 54 m2/s3。

調幅函數分別取為Shinozuka-Sato型均勻調幅和Spanos-Solomos型非均勻調幅，計算參數分別取為

在Shinozuka-Sato型均勻調幅非平穩地震激勵作用下，多層減震結構系統的位移、速度、阻尼器受力響應方差，如圖20～圖22所示。

圖20 Shinozuka-Sato調幅函數下結構位移響應方差Fig.20 Structural displacement response variance under Shinozuka-Sato amplitude modulation function

圖21 Shinozuka-Sato調幅函數下結構速度響應方差Fig.21 Structural velocity response variance under Shinozuka-Sato amplitude modulation function

圖22 Shinozuka-Sato調幅函數下阻尼器受力響應方差Fig.22 Variance of damper response under Shinozuka-Sato amplitude modulation function

在Spanos-Solomos型非均勻調幅非平穩地震激勵作用下，多層減震結構系統的位移、速度、阻尼器受力響應方差，如圖23～圖25所示。

圖23 Spanos-Solomos調幅函數下結構位移響應方差Fig.23 Structural displacement response variance under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖24 Spanos-Solomos調幅函數下結構速度響應方差Fig.24 Structural velocity response variance under Spanos-Solomos amplitude modulation function

圖25 Spanos-Solomos調幅函數下阻尼器受力響應方差Fig.25 Variance of damper response under Spanos-Solomos amplitude modulation function

由計算結果可以看出：在多自由度系統下，各層響應方差均隨其調制函數的變化而變化，圖形與調制函數圖形基本一致。

7 結 論

為建立黏彈性耗能結構及其保護系統的抗震分析與設計方法，本文將虛擬激勵法引入黏彈性耗能阻尼系統，獲得了均勻與非均勻非平穩、完全非平穩響應的簡諧-指數-多項式精細積分一般通用精確格式，得到了8種經典均勻與非均勻調制非平穩、完全非平穩地震響應的具體解析解，使計算結果不受步長影響；最后，可得出耗能結構系統的均勻與非均勻非平穩、完全非平穩地震響應方差。

(1)通過算例，驗證了本文方法的正確性與可行性，該方法適應于設置支撐的Maxwell阻尼系統的均勻與非均勻非平穩、完全非平穩響應分析，并且可直接應用于黏彈性阻尼耗能系統響應分析。支撐剛度對黏彈性耗能系統有重要影響，在支撐剛度較耗能系統剛度很大情況下，支撐剛度對耗能系統響應的影響效果不再增加，一般情況下，應考慮有限支撐剛度對耗能系統響應的影響。

(2)本文均勻與非均勻非平穩、完全非平穩響應的精細積分一般精確格式，不受計算步長的影響，任意步長計算效果都是精確的。簡諧、多項式簡諧、指數簡諧型精細積分格式都可以用本文精細積分一般精確格式表示，應用范圍更加廣泛。本文得到8種經典均勻與非均勻調制非平穩以及完全非平穩隨機地震響應分析的精細積分精確格式，使用方便、效率高、工程應用強。