不同正則化方法在船舶輻射噪聲計算中對比與試驗研究

李瑞彪，何 琳，卜文俊，徐榮武

(海軍工程大學 船舶振動噪聲重點實驗室，武漢 430033)

船舶在滿足航行及船員舒適性要求前提下，其水下輻射噪聲也顯得尤為重要，尤其是對于科考船、軍用艦艇等，水下輻射噪聲也是船舶的核心指標[1]，決定著船舶的綜合聲學性能，直接影響船舶作業和作戰能力。因此，實時預報船舶自身輻射噪聲水平，尤其是重要特征頻段或線譜，對于指導船舶降低輻射噪聲，提高船舶綜合聲學性能具有重要意義[2]．

曹躍云等[3-4]基于工況傳遞路徑分析 (operational transfer path analysis,OTPA)法開展噪聲源貢獻、載荷識別、傳遞路徑分析等應用研究。而在船舶輻射噪聲評估中，OTPA法基于“響應-傳遞路徑-響應”模型[5]，以測得的船舶自噪聲或振動加速度響應為輸入，遠場輻射噪聲響應為輸出，通過預先求解輸入響應與輸出響應之間的輻射噪聲傳遞函數來實時預報輻射噪聲。

OTPA模型的關鍵是求解傳遞函數，本質屬于反問題，不同領域的研究者針對不同的應用場景提出了奇異值分解(singular value decomposition,SVD)方法、Tikhonov正則化等求解方法，以提高傳遞函數求解精度。Golub等[6]針對病態問題求解提出了GCV正則化參數求解方法；Hansen等[7-8]針對病態問題研究了L-curve、廣義交叉驗證(generalized cross validation,GCV)等正則化參數求解方法，并討論了L-curve和GCV兩種正則化參數求解方法在不同背景干擾下的性能；郭榮等[9]研究了基于SVD和Tikhonov正則化的載荷識別方法，并基于平板載荷識別仿真和簡支梁載荷識別試驗討論了噪聲對SVD、L-curve方法的影響；Cheng等[10]針對傳統OTPA采用SVD法求解傳遞函數的不足，提出了Tikhonov正則化方法，并基于球形聲源仿真和圓柱殼結構振動傳遞試驗對比研究了GCV正則化參數求解方法。

而受制于船舶輻射噪聲測試及應用條件，船舶噪聲源及其復雜，工況數據輸入往往包含較強的海洋環境背景噪聲[11-12]。針對船舶水下輻射噪聲評估應用，目前，討論基于不同正則化方法在不同噪聲背景下求解水下輻射噪聲傳遞函數的公開報道較為少見?；诖耍疚慕Y合船舶實際工程應用，考慮不同背景噪聲環境對輻射噪聲傳遞函數的影響，在理論上系統分析SVD和Tikhonov正則化方法，提出簡化的準最優判別準則正則化參數求解方法；同時，設計雙層圓柱殼縮比艙段模型，用于模擬船舶運行工況，并在千島湖開展水下聲輻射測試試驗，驗證不同方法在不同噪聲下的適用性。

1 基于OTPA的船舶輻射噪聲評估方法

1.1 OTPA理論

通過改變船舶航速、設備開啟狀態等設計若干噪聲測試工況，建立殼體振動加速度響應與目標點輻射噪聲響應間的傳遞關系。則OTPA模型可表示為

(1)

式中：Tj(ω)為第j個殼體響應到目標點輻射噪聲響應的系統傳遞特性函數；Xkj(ω)為第k個工況下第j個傳感器測得的殼體振動加速度響應；Yk(ω)為第k個工況下距離船舶正橫方向1 m處的目標點水聽器測得的輻射噪聲響應；j=1,2,…,m，k=1,2,…,r。式(1)簡化成矩陣形式為

Xr×mTm×1=Yr×1

(2)

對式(2)求解，則系統傳遞函數矩陣Tm×1(ω)為

(3)

假設求得輻射噪聲傳遞函數之后，在航行中獲得某工況下船舶振動響應為Xtest(ω)，則目標點輻射噪聲響應Ytest(ω)可表示為

Ytest=XtestTm×1

(4)

1.2 SVD方法

OTPA模型的關鍵是輻射噪聲傳遞函數的求取，傳統OTPA通常采用SVD方法計算輻射噪聲傳遞函數Tm×1，對Xr×m進行奇異值分解，即[13]

(5)

式中：Ur×r和Vm×m為酉矩陣；∑r×m可表示為

∑r×m=diag(σ1,σ2,…,σj,…,σm)

(6)

式中：σj為第j個奇異值，且滿足σf≥σj+1≥0。定義累計貢獻率(cumulative contribution rate，CCR)作為確認主奇異值數量的指標，目前工程上一般設RCC(L)≥85%[14]，則RCC(L)可表示為

(7)

對應選取前L個奇異值，則傳遞函數Tm×1為

(8)

式中，Vm×L與Ur×L分別為選取矩陣Ur×r和Vm×m的前L列向量構成的矩陣，化簡為

(9)

式中，Uj和Vj分別為酉矩陣Ur×r和Vm×m的第j列向量。但是在船舶輻射噪聲測試中，無論是測得的輻射噪聲響應還是振動加速度響應，都摻雜有海洋環境背景噪聲，會導致系統出現不同程度的病態性，其可以用條件數cond(X)表示，即[15]

(10)

通常認為，當cond(X)<100時，系統為良性，當cond(X)處于100～1 000時，系統為中等程度病態；當cond(X)>1 000時，系統為嚴重病態。式(10)中，當σm趨于0，則系統為嚴重病態，此時，SVD由于沒有充分考慮環境噪聲擾動等因素帶來的誤差影響，式(2)的解也會失去物理意義，輻射噪聲評估誤差也會較大。

2 Tikhonov正則化方法

2.1 Tikhonov正則化理論

在實際工程應用中，假設評估得到的輻射噪聲傳遞函數為Tλ，定義誤差函數e為

e=XTλ-Y

(11)

為使得誤差函數e最小，Tikhonov正則化方法引入參數λ用于平衡解的擬合程度和穩定性，則Tikhonov正則化公式可定義為

(12)

式中，‖XTλ-Y‖2與‖Tλ‖2分別為殘差范數和解范數。對函數J(λ)求一階導數，且僅當一階導數為0時，J(λ)最小，此時對應的Tλ為最優正則化解，即

(13)

對式(13)進行化簡，即

(XTX+λ2Im)Tλ-XTY=0

(14)

式中：Im為m階單位矩陣；輻射噪聲傳遞函數Tλ為

(15)

(16)

(17)

在式(16)與式(17)中，M=UTY=[M1,M2,…,Mm]T。Tikhonov正則化與SVD方法相比，其通過參數λ平衡解的擬合程度和穩定性，充分考慮了輻射噪聲傳遞函數求解過程中由于解的不穩定性和環境噪聲等因素帶來的誤差影響。Tikhonov正則化方法的關鍵是選擇參數λ，因此，借鑒病態逆問題求解的GCV和L-curve正則化參數λ求解方法，計算最優正則化參數λ以降低輻射噪聲計算誤差。

2.2 GCV方法

從式(13)可看出，正則化參數越大，正則化程度越大，噪聲越小，但是正則化誤差越大，反之則相反。GCV方法通過廣義交叉驗證尋找最合適的正則化參數λ，其表達式可表示為

(18)

式中，trace(·)為矩陣的跡，表示矩陣對角線元素之和；Ir為r階單位矩陣；Xλ滿足Tλ=XλY，即

Xλ=(XTX+λ2Im)-1XT

(19)

則矩陣的跡可轉化為

trace(Ir-XXλ)=trace[Ir-X(XTX+λ2Im)-1XT]=

(20)

當GCV(λ)取最小值時所對應的參數λ即為GCV確定的最優正則化參數，其不需要對原始數據中誤差進行先驗估計或假設，但當數據變化非常平緩時則不易求解。

2.3 L-curve方法

在求解正則化參數λ過程中，參數λ決定著殘差范數和解范數的大小，最直觀的操作是獲得一個最優參數λ使得兩者都同時達到最小，而L-curve方法則正是以圖示方式直觀的顯示了以參數λ為變量的解范數和殘差范數之間的關系，定義殘差范數函數和解范數函數

(21)

式中，ρ(λ)和η(λ)均為參數λ的函數。L-curve方法以lg[ρ(λ)]為橫坐標，lg[η(λ)]為縱坐標作曲線，曲線形狀類似“L”，當λ使得lg(ρ(λ)]和lg[η(λ)]同時最小時便為最佳正則化參數，該點恰為L曲線曲率最大點，則L曲線曲率計算公式可表示為

(22)

L-curve方法與GCV方法相比，其同時考慮了殘差范數與解范數，可最大程度上調整數據擬合度部分與解間的平衡，適用于高噪聲背景下求解。

3 艙段模型試驗

3.1 試驗概述

為對比不同方法在不同噪聲背景下的輻射噪聲評估性能，設計了縮比艙段模型，并在千島湖水聲試驗場開展了水下聲輻射測試試驗，艙段模型示意圖，如圖 1所示。

圖1 艙段模型示意圖及下水照片(m)Fig.1 The schematic diagram and launching of cabin model(m)

從圖1(a)可知：艙段模型為雙層圓柱殼結構，艙段外徑1.78 m，內徑1.54 m，長2.00 m，外殼與內殼通過6個環形肋板焊接相連，肋板沿軸向等間距分布。艏端水密門用于試驗期間調試、更換試驗設備，與殼體法蘭通過螺栓連接，艉端水密蓋板與艙段通過螺栓連接，并設計6個線纜穿艙孔，用于艙內激振器、傳感器及泄漏監測報警器等設備線纜與外部岸上試驗平臺連接。試驗期間，艙段內外殼之間為充水狀態，其通過外殼體上下表面的10個流水孔注排水，如圖1(b)所示，艙段模型通過鋼纜下放，水下吊放深度為25 m(艙段中心軸距水平面距離)，更換試驗設備時，可將艙段提升至試驗平臺上，打開水密門進行更換和調試。

3.2 工況設計

艙段模型內部安裝4臺激振器，用于模擬船舶機械設備工作，如圖 2所示。1#激振器、3#激振器布置在左舷，2#激振器、4#激振器布置在右舷，激振器激振頻率范圍100～2 000 Hz，最大激振力500 N。

試驗期間，1#激振器與2#激振器可通過預制的墊板增加單層橡膠隔振器或雙層隔振裝置來調整安裝狀態，實現激振器剛性和彈性安裝的切換，以模擬船舶上設備隔振或安裝狀態變化情況。艙段模型外殼表面布置15個濕端加速度傳感器，如圖 2所示，編號為32#～36#，沿軸向均勻布置3圈，每圈5個傳感器，用于測量艙段模型外殼體振動。以圖2(a)中標注的“34(35)”為例，其表示34#傳感器與35#傳感器沿中軸面對稱布置，其中34#傳感器位于模型上側，35#傳感器位于模型下側。在兩側正橫方向上布置兩個水聽器，編號為48#～49#，距艙段外殼分別為6 m和10 m，用于測量艙段模型向水中輻射的噪聲。

試驗中分別以采集的經過預處理后的不同轉速下機械設備振動信號、掃頻信號(頻率間隔為1 Hz)為激振器輸入激勵源，通過位于試驗平臺上的B &K PULSE發射激勵信號，改變激振器安裝狀態，同時，作為對比，選擇若干施加不同高斯白噪聲作為環境擾動，改變不同工況信噪比，用于對比不同方法在不同噪聲下的適用性，共計100余組組合工況。其中，激振器安裝狀態的調整可通過在試驗平臺上打開水密門更換1#隔振器與2#隔振器的隔振裝置進行。另外，試驗中正常環境下背景噪聲約為103.75 dB (100～2000 Hz)，信噪比≥20 dB。信號采樣頻率為8 192 Hz，每組工況信號采集時間100 s。

4 不同背景噪聲下輻射噪聲評估結果對比

隨機選擇若干組工況，分別采用不同方法評估輻射噪聲，并添加不同噪聲等級的噪聲擾動，對比分析正常環境和添加噪聲擾動下不同方法的輻射噪聲評估誤差。定義累計誤差用于衡量輻射噪聲在全頻段誤差的大小，公式為

(23)

式中：Ytest,i為第i個頻率點輻射噪聲聲壓譜級評估值；YM,i為第i個頻率點輻射噪聲聲壓譜級實測值；N為頻率點數。需要說明的是，試驗中輻射噪聲聲壓級均為48#、49#水聽器所測聲壓級按照球面波衰減規律歸一化為距離艙段模型1 m處距離處聲壓級的平均值。

4.1 正常環境下輻射噪聲計算結果對比

隨機選擇兩個工況分別命名為1#工況和2#工況，采用不同的方法評估輻射噪聲，聲壓譜級圖對比，如圖 3所示。從1#、2#工況對比結果可知：與L-curve和GCV方法相比，SVD方法部分頻點計算結果與實測值在全頻帶上吻合較差，最大誤差分別為16.73 dB，26.55 dB，較L-curve方法計算誤差分別大7.70 dB，17.60 dB，較GCV方法計算誤差分別大2.11 dB，16.67 dB。

圖3 輻射噪聲聲壓譜級對比Fig.3 Comparison of radiated noise pressure spectrum levels

進一步分析不同方法輻射噪聲計算的累計誤差，如表1所示。正常環境條件下，基于GCV方法與L-curve方法得到的輻射噪聲計算誤差基本相同，而SVD方法與GCV方法和L-curve方法相比，1#工況輻射計算誤差大約為0.83 dB，2#工況輻射噪聲計算誤差大約為0.90 dB。

表1 正常環境下輻射噪聲累計誤差對比Tab.1 Comparison of cumulative errors under normal conditions

經過對比分析，在正常環境下，SVD方法較L-curve與GCV方法評估性能差，而L-curve與GCV方法兩者的累計誤差基本相同，輻射噪聲計算最大誤差較GCV方法小約0.93～5.59 dB，其主要是由于系統在不同頻率點受湖試中其他噪聲干擾，不同頻率點的病態程度不同。以1#工況條件數分析為例，在部分頻率點上，系統條件數大于1 000，處于嚴重病態，約占全頻帶的4.6%，此時極小的環境環擾動也能增大輻射噪聲計算誤差，如圖4所示。同時，分析條件數和計算誤差都較大的頻率點處的皮卡德條件，如圖5所示，離散傅里葉系數趨于0的速度沒有奇異值趨于0的速度快，此時基于Tikhonov正則化方法計算得到的近似解受環境擾動嚴重，但由于L-curve方法較GCV方法和SVD方法，同時考慮了殘差范數與解范數，可近似得到最優的正則化參數，最大程度上降低輻射噪聲計算誤差受解的不穩定性和環境噪聲等因素帶來的影響。

圖4 1#工況條件數分析Fig.4 Condition number analysis of operating condition 1#

圖5 離散皮卡德條件分析Fig.5 Analysis of discrete Picard condition

4.2 不同背景噪聲下輻射噪聲計算結果對比

為進一步對比不同方法計算得到的正則化參數在不同背景噪聲環境下的適用性，試驗中分別向振動加速度響應施加5 dB，10 dB，20 dB的高斯白噪聲，輻射噪聲響應施加5 dB，10 dB，15 dB的高斯白噪聲作為環境擾動。分別計算基于不同方法的輻射累計誤差，如表2所示。隨著輸出響應中噪聲水平的增大，輻射噪聲計算誤差也不斷增大，而輸入響應中噪聲變化對輻射噪聲計算誤差幾乎無影響，主要是由于當系統條件數過大時，遠場輻射噪聲響應有微小的誤差或擾動時，經過計算，傳遞函數T的誤差將會被嚴重放大。從表 2可知：對于1#工況，L-curve方法在低噪聲背景下輻射噪聲累計誤差較GCV方法小約0.13 dB，較SVD方法小約1.02 dB，在高噪聲背景下較GCV方法小約0.28 dB，較SVD方法小約0.77 dB。對于2#工況，L-curve方法在低噪聲背景下輻射噪聲累計誤差較GCV方法小約0.11 dB，較SVD方法小約0.74 dB，在高噪聲背景下較GCV方法小約0.29 dB，較SVD方法小約0.85 dB。

表2 不同背景噪聲下輻射噪聲累計誤差對比Tab.2 Comparison of cumulative errors under various noise levels

可見，與正常環境的輻射噪聲計算誤差相比，隨著環境擾動的增大，其對輻射噪聲計算誤差的影響也在不斷增大，主要原因是在病態系統條件下，基于SVD和Tikhonov方法計算得到的是近似解，而擾動增大，會加劇解的不穩定性，而綜合對比，在相同背景噪聲環境下，L-curve方法可最大程度上調整數據擬合度部分與解間的平衡，抗環境擾動性能最好，而SVD方法最差。

5 準最優判別準則

第4章對比了不同正則化方法在不同背景下的輻射噪聲評估誤差，Tikhonov正則化的本質是在不斷優化正則化參數，而隨著正則化參數的變化，誤差也隨著增大或減小。因此，本節在系統分析誤差來源基礎上，進一步提出準最優判別 (quasi-optimality,Q-O)準則以尋找接近最佳的正則化參數，并通過水下輻射噪聲試驗分析計算誤差。

5.1 Q-O判別準則理論

分析基于正則化方法求解輻射噪聲的誤差來源，可定義為

(24)

(25)

式(25)等價于求解

(26)

此時，對其進行變換，則Q(λ)可近似表示為

(27)

5.2 輻射噪聲誤差對比

基于Q-O準則分析正常環境下輻射噪聲計算誤差，聲壓譜級計算結果對比，如圖 6 所示。在全頻帶上基于Q-O淮則計算得到的聲壓譜級值與實測值吻合較好，其中：1#工況輻射噪聲累計誤差為1.58 dB，較L-curve方法降低約0.14 dB；2#工況輻射噪聲累計誤差為1.40 dB，較L-curve方法降低約0.07 dB。可見，在正常環境下，基于Q-O準則與基于L-curve方法的輻射噪聲評估性能相當。

圖6 基于Q-O準則計算的輻射噪聲聲壓譜級對比Fig.6 Comparison of radiated noise pressure spectrum levels based on the Q-O criterion

進一步分析基于Q-O準則在不同背景噪聲下的輻射噪聲計算誤差，如表3所示。輻射噪聲計算誤差隨輸入響應噪聲水平的增大幾乎保持不變，而隨輸出響應噪聲水平的增大而增大。其中：1#工況在低噪聲水平下輻射噪聲計算誤差約為 1.90 dB，較L-curve方法降低約0.09 dB，性能基本相同，較SVD方法降低約1.10 dB；在高噪聲水平下輻射噪聲計算誤差約為4.43 dB，較L-curve方法降低約0.42 dB，較SVD方法降低約1.19 dB；2#工況在低噪聲水平下輻射噪聲計算誤差約為 1.99 dB，與L-curve方法性能基本相同，較SVD方法降低約0.71 dB；在高噪聲水平下輻射噪聲計算誤差約為5.17 dB，較L-curve方法降低約0.32 dB，較SVD方法降低約1.17 dB。可見，隨著背景擾動的增大，基于Q-O準則方法綜合平衡正則化誤差與攝動誤差，輻射噪聲計算誤差要低于L-curve方法，反映在高噪聲背景環境下，Q-O準則可較L-curve方法計算得到最佳的正則化參數，其環境擾動性能要優于L-curve方法。

表3 基于Q-O準則的不同環境下輻射噪聲累計誤差對比Tab.3 Comparison of cumulative errors based on Q-O criterion under various noise levels

5.3 最佳正則化參數變化對輻射噪聲誤差影響分析

從Q-Q準則等計算得到的不同正則化參數來看，不同的方法皆是致力于計算“最佳”正則化參數，不同的正則化參數導致輻射噪聲計算誤差也不盡相同。因此，基于Q-O準則計算得到的正則化參數基礎上，從改變正則化參數角度，對正則化參數施加不同程度的人為誤差，討論其魯棒性，即正則化參數波動對輻射噪聲計算誤差的影響，結果如表4所示?！? dB”指正常環境，而由于輸入響應噪聲水平對輻射噪聲計算誤差無影響，表中僅討論輸出響應中施加不同噪聲水平下的輻射噪聲計算誤差(輸入響應中噪聲水平為5 dB)；“-10%”表示在最佳正則化參數基礎上減小10%，其余與之類似，分別與基于Q-O準則計算得到的輻射噪聲結果對比。

表4 不同正則化參數下輻射噪聲累計誤差對比Tab.4 Comparison of cumulative errors with various regularization parameters

對于1#工況，在高噪聲背景下，其輻射噪聲計算誤差隨正則化參數的增大先減小后增大，在正則化參數增大5%時，輻射噪聲計算誤差最小，約為4.40 dB，較Q-O準則輻射噪聲計算誤差降低約0.03 dB，在其余背景噪聲或正常環境下，輻射噪聲計算誤差都不小于基于Q-O準則的輻射噪聲計算誤差；對于2#工況，在中等噪聲背景下，其輻射噪聲計算誤差隨正則化參數的增大而減小，在正則化參數增大10%時，輻射噪聲計算誤差最小，約為3.02 dB，較Q-O準則輻射噪聲計算誤差降低約0.05 dB，在高噪聲背景下，其輻射噪聲計算誤差隨正則化參數的增大而先減小至不變，在正則化參數增大5%時，輻射噪聲計算誤差最小，約為5.13 dB，較Q-O準則輻射噪聲計算誤差降低約0.04 dB，在低背景噪聲或正常環境下，輻射噪聲計算誤差基本不小于基于Q-O準則的輻射噪聲誤差。

可見，在較高噪聲背景下，改變基于Q-O準則計算得到的最佳正則化參數，輻射噪聲計算誤差會在基于最佳正則化參數得到的誤差附近波動，最大可進一步降低誤差約0.05 dB，與基于Q-O準則方法計算得到的正則化參數性能基本相同，表明在有限計算下，基于Q-O準則綜合考慮計算過程中攝動誤差與正則化誤差之間的平衡，其計算得到的正則化參數基本可視為最佳正則化參數，在船舶工程應用上可指導優化輻射噪聲計算誤差。

6 結 論

本文在系統分析船舶輻射噪聲評估方法的基礎上，討論了SVD方法以及分別采用GCV和L-curve求解正則化參數的Tikhonov正則化方法在不同背景噪聲下的適用性，設計了縮比艙段模型，在千島湖進行水下聲輻射試驗測試，進一步提出并驗證了基于準最優準則的Tikhonov正則化方法，主要結論如下：

(1)基于GCV和L-curve的Tikhonov正則化方法要優于SVD方法，最大可降低輻射噪聲誤差約1.02 dB；而在不同噪聲背景下L-curve方法要優于GCV方法，最大可降低輻射噪聲誤差約0.29 dB，但正常環境下兩者性能基本相同。

(2)Q-O準則方法在正常環境下可較L-curve最大降低輻射噪聲誤差約0.14 dB，低噪聲背景下降低約0.09 dB，兩者性能基本相同；而在高噪聲背景下，Q-O準則方法可較L-curve方法最大降低輻射噪聲誤差約0.42 dB。

(3)改變基于Q-O準則得到的正則化參數，輻射噪聲計算誤差與Q-O準則基本相同，表明基于Q-O準則得到的正則化參數可近似視為最佳正則化參數。

(4)正常環境下，Q-O準則與L-curve和GCV方法性能基本相同，但優于SVD方法；而隨著背景噪聲水平的升高，Q-O準則抗干擾能力優于L-curve方法，其次是GCV方法。