超靜定轉子系統不對中動力學的理論與實驗研究

趙 廣，王亭月，李盛翔，李方忠，馬文生

(1.大連理工大學 能源與動力學院，遼寧 大連 116024；2.中國航發四川燃氣渦輪研究院，四川 綿陽 621000；3.重慶水泵廠有限責任公司，重慶 400033)

現代航空發動機低壓轉子系統由于跨度大常采用套齒連接風扇和渦輪轉子，且套齒兩端常采用圓柱定位面實現徑向定位，低壓轉子一般采用3個彈性支撐，使其具備典型的超靜定轉子的結構特點。由于制造與裝配誤差，熱變形與結構變形，使得發動機轉子系統的支撐不對中廣泛存在。不對中會引起超靜定轉子系統出現臨界轉速漂移、振幅加劇、振動頻率復雜等非線性振動現象。

許多學者中通過理論方法得到軸的外力和力矩，分析軸的變形與受力之間的關系情況來模擬軸的不對中[1]。Gibbons[2]對轉子系統不對中的研究是最早的。Sekhar等[3-6]建立了含聯軸器及軸承的不對中系統理論模型，分析了含裂紋轉子的臨界力學狀態。Dewell等[7]通過理論推導，得知檢測2X和4X分量可以對含聯軸器的轉子系統進行不對中診斷的手段。Xu等[8]通過理論和實驗分析了含柔性聯軸器不對中轉子系統。徐梅鵬等[9]根據航空發動機雙轉子的結構特點，將外轉子支點不同心的影響轉化為支承上的等效不同心彎矩，并通過力矩分解處理得到系統的振動方程，結果表明：外轉子支點不同心使系統的幅頻響應產生新的共振區，在該共振區內系統的振動響應中包含2X頻成分。

在超靜定轉子方面，Feng等[10-11]在理論上進行了深入的工作，發現不對中量和軸承種類對系統的固有頻率及不平衡響應都有影響，其中對軸承穩定性影響比較大的是軸承剖面及其上的反應載荷；間隙形狀的變化和橫向不對中均會改變動、靜態系數進而影響系統的動態特性；在不對中情況下，橢圓軸承也比圓軸承的運行穩定性更好。在上述研究基礎上，Hu等[12-13]針對超靜定轉子系統，仿真計算得到固有頻率、振型，并對穩定性進行了研究，預測了不對中變化量對系統振動特性的影響。劉永泉等[14]針對航空發動機三支點柔性轉子系統的支承不同心問題建立了不同心激勵下多跨度柔性轉子系統的力學模型，結果表明支承不同心不僅引起轉子過渡軸的剛度非線性，而且會產生2X頻激勵。

綜上所述，國內外針對超靜定轉子開展其不對中振動特性的研究很少，以定性研究為主，且不對中激勵模型僅考慮某單一因素的影響，缺乏系統的理論建模和實驗檢驗。本文利用D’Alembert原理建立了考慮彈性支承和不對中的超靜定轉子動力學解析模型。通過去除尾部支點位置處的多余約束，理論換算了不對中的動態附加激勵力，以及對系統剛度矩陣的影響，通過計算獲得超靜定轉子系統的固有特性和振動響應，最后，進行了實驗研究，驗證了不對中超靜定轉子系統的振動規律。

1 尾部支點不對中激勵建模

典型超靜定轉子系統的力學分析模型示意圖，如圖1所示。包括3個彈性支撐、2個集中質量輪盤。轉子的套齒連接結構位于2#支點位置所在軸段。

圖1 超靜定轉子力學分析模型示意圖Fig.1 Mechanical analysis model of statically indeterminate rotor system

假設不對中發生在尾部支點垂直方向(上圖方框位置)，當尾部支點抬高ΔY時，在轉子系統的支點處會產生使其抬高的力FY，中間支撐位置處亦會產生彎矩MY；圖2中，將FY方向轉子的沿x方向的變形為ΔX，Δb為支承變形。以尾部支點做分析點，畫受力分析圖，由變形是協調一致及力和力矩平衡方程，可得到FY和MY。

圖2 尾支點不對中示意圖Fig.2 Schematic of tail support misalignment

(1)

MY=dFYcosα

(2)

1.1 尾支點不對中附加激勵推導

套齒連接結構，如圖3所示。轉子1、套齒軸和轉子2的相對運動關系，如圖4所示。轉子1和轉子2投影在與套齒軸垂直的平面上。轉子1的橫截面是圓，轉子2的橫截面是橢圓。轉子1、轉子2分別繞O1和O2轉動，O′為結構集合中心點，與O1，O2不在同一個位置，并具有相對位移，套齒聯接結構轉動的中心點為P，Δe為O1和O2的間距(Δe=ΔLtanα，ΔL為該結構軸向尺寸，α為兩轉子間不對中角度)。

圖3 套齒連接結構Fig.3 The structure of spline join

圖4 轉子間相對運動軌跡圖Fig.4 Relative motion of two rotors

在整個系統旋轉的過程中，由于尾支點存在偏移，中間支承出現角度偏差α。套齒連接結構以O′為圓心做空間公轉，Δe為公轉直徑，θ為自變量，P(x,y)為點P位置，ω為旋轉速度，忽略扭轉變形，P點位置可以表示為

(3)

對時間t的求導

(4)

點P角速度

(5)

分析可得動態中心點P繞回轉中心角速度為基頻的2倍。點P的運動過程實質上等同于質量不平衡系統的離心力引起的徑向振動。

式(5)對時間t求導。

(6)

靜態不對中力FY和作用在套齒聯接結構上的附加激勵，共同組成了動態附加激勵Fδ，兩方向分量為

(7)

式中：θ0=2θ=2ωt；mc為套齒連接結構質量。

代入式(7)，Fδ可以寫成

(8)

1.2 傳遞扭矩導致的附加激勵

2個轉子間傳遞扭矩的過程，如圖5所示。圖中os方向為轉子1回轉方向，oz方向為轉子2回轉方向，由于不對中導致的兩轉子夾角為α，轉子1為主動轉子，轉子2為從動轉子，轉矩T通過套齒連接結構傳遞。可分為兩部分T1，T2：軸向轉矩T1=Tcosα，使轉子扭轉；徑向轉矩T2=Tsinα，使轉子彎曲。

圖5 扭矩傳遞示意圖Fig.5 Torque transmission diagram

由于轉子僅繞軸線旋轉，oz方向的轉矩為

Tcosα=Jsβ2

(9)

式中：Js為系統轉動慣量；β2為轉子2角加速度。當轉子1旋轉時，轉子2旋轉轉速ω2其從動于ω1。中間聯軸器角度不對中產生的兩側轉子角度變化情況，如圖6所示。轉子1、轉子2角度變化情況如圖7、圖8所示。根據力矩平衡，中間支點兩側的扭矩相等。當兩側轉子各繞軸轉動一周時，圓C與圓D分別為轉子1上點A及轉子2上點B的軌跡。θ1為轉子1轉動角度，θ2為轉子2轉動角度，在垂直于軸線的平面上，對左右兩側轉子的轉角投影，而兩軸嚙合圓半徑相同，本文用r表示。兩轉子的初始位置OA0及OB0看作2個向量。

圖6 轉角不對中關系圖Fig.6 Sketch of angular misalignment

圖7 不對中角度變換Fig.7 Misalignment angular transformation

在轉子1轉過θ1后，A0到了A1的位置，OA1為OA0的新位置，因圓C⊥os軸，OA1在s軸上沒有分量，在x軸上：OA′1=-rsinθ1。在y軸上：OA″1=rcosθ1。

類似的，向量OB1可表示為

OA垂直于OB，點積等于零。

OA1·OB1=(OA1)T(OB1)=

(10)

展開式(10)可得

r2cosθ1sinθ2cosα-r2sinθ1cosθ2=0，

tanθ1=tanθ2cosα

(11)

等式(11)的兩邊同時對時間t求導

(12)

等號兩邊平方得tan2θ1=tan2θ2·cos2α，代入式(12)，再利用倍角公式得到

(13)

用廣義二項式定理進行展開，并利用倍角公式降次，再對兩邊求導得到

(14)

式中：β2為從動軸角加速度；設θ1=ω1t，因此可得到轉軸的扭矩表達式

(15)

根據轉矩、階數的定義，當尾部支點失調時轉矩傳遞引起的動態外激勵可以改寫為

(16)

Fs與軸徑Rs，不對中偏角α，主動軸繞軸轉動的角速度ω1等參數有關。因為高頻幅值小于低頻幅值，保留前4階后

Fs={P1}sin 2ω1t+{P2}sin 4ω1t+

{P3}sin 6ω1t+{P4}sin 8ω1t

(17)

2 超靜定轉子系統不對中動力學建模

當尾支點產生不對中時，整體變形如圖8所示。由受力平衡，計算得到點A和點B的支反力及其上的支承變形，再根據幾何關系，得到FY單獨作用下時彈性支承的變形情況

圖8 FY作用下的支承變形Fig.8 Deformation under FY

(18)

式中，在FY單獨作用下，系統產生角度變化為θY，轉軸變形為rYL1，rYL2及rYB。

在尾支點不對中的情況下，靜態綜合變形如圖9所示，左右兩輪盤產生的變形分別為

圖9 尾支點不對中綜合變形Fig.9 Comprehensive deformation with tail support misalignment

(19)

不對中修正系數為

(20)

由于存在尾部支點不對中，需要考慮其對動態附加激勵的影響，進而產生的對柔度矩陣的影響，對柔度矩陣進行相應的處理，進而可得尾部支點不對中時，系統的柔度矩陣[Rm]及其剛度矩陣。

選擇{u}=[y1θx1y2θx2x1θy1x2θy2]T作為廣義坐標，用D’Alembert原理可以寫出不對中超靜定轉子系統運動微分方程。

式中：[M]，[G]和 [Km]分別為不對中狀態下的質量矩陣、陀螺矩陣和剛度矩陣。Q(t)為外力矢量，包括3個部分

Q(t)=Fe+Fδ+Fs

(21)

式中，φ為系統初始相位角。

3 不對中動力學特性計算與分析

當轉速Ω=40 Hz，偏心距e1=e2=10 μm,尾支點不對中ΔY=200 μm，初始相位φ=30°時，轉子2響應的時域圖、頻域圖及轉子軸心軌跡分別如圖10～圖12所示。可以發現：由于尾支點不對中，導致轉子2輪盤1X振動增加到40.1 μm，同時新的2X響應分量出現，振幅為60 μm，軸心軌跡呈內‘8’字形。

圖10 時域圖Fig.10 Time domain response

圖11 頻域圖Fig.11 Frequency domain response

圖12 軸心軌跡Fig.12 Axis locus

當轉速不變時，轉子1、轉子2輪盤的軸心軌跡隨不對中量的變化，如圖13和圖14所示。結果表明：不對中量越大，軸心逐漸從橢圓形變為內“8”字形。

圖13 轉子1輪盤軸心軌跡Fig.13 Orbits of rotor 1

圖14 轉子2輪盤軸心軌跡Fig.14 Orbits of rotor 2

轉子2水平方向，振動響應隨不對中變化的時域圖，如圖15所示。圖15表明：隨著不對中量ΔY的增加，系統振動響應的水平向1X分量變化不大，2X分量變化更快，因此，可以看出轉子2后支點不對中越嚴重，2X分量所占比例越高。

圖15 轉子2水平向振動響應Fig.15 Vibration response of rotor 2 in horizontal direction

固定不平衡狀態，轉速為2 400 r/min，不對中量在0～300 μm調整，輪盤的振幅，如圖16和圖17所示。隨著不對中量的增長，2個轉子水平向1X分量只有很小的變化，2X分量增大且線性；從圖17可知：對于豎直向，兩輪盤的1X分量總體穩定；而垂直向的2X分量隨不對中增大，在100 μm位置出現突變，之后振幅增大更加顯著。當整個系統中存在轉子2后支點不對中時，頻譜圖將會出現1X和2X響應分量，并隨著不對中量增大而增大；2X增加量較1X更大，比例亦更高。

圖16 水平方向1X和2X響應Fig.16 1X and 2X response in horizontal direction

圖17 垂直方向1X和2X響應Fig.17 1X and 2X response in vertical direction

這是由于輪盤兩端間距大，輪盤安裝并不對稱，不對中在尾部出現，輪盤初始位置發生改變，不平衡偏心出現，故相比于轉子1輪盤，轉子2輪盤水平和豎直向倍頻的增大趨勢更加顯著。另外，由于不對中出現在豎直方向上，水平向1X分量變化很小。

4 實驗驗證

參考文獻[15]建立如圖18所示實驗裝置，該裝置參考典型渦扇發動機低壓轉子結構特征，采用“1-1-1”的支撐方式，即在“風扇轉子前、套齒連接結構、低壓渦輪轉子后”分別使用軸承-彈性環的彈性支撐方式，以動力學相似和幾何相似為理論基礎將圖中的實際結構進行模化。電動機和轉子用膜片聯軸器連接；采用電渦流位移傳感器測量輪盤振動，4個通道分別為轉子1輪盤水平向、垂直向，轉子2輪盤水平向、垂直向。

圖18 超靜定轉子結構實驗臺Fig.18 Experiment rig of structure of statically indeterminate rotor system

為了使振動穩定，在轉子系統實驗前先進行動平衡。然后在2 400 r/min的轉速下，在低壓轉子2輪盤的螺孔中加入15 g·mm的不平衡質量，在尾支點設置不同的不對中量，進行振動實驗。

由于基頻是轉子的主要振動頻率，在完全對中狀態下沒有其它頻率分量。當ΔY=400 μm時，出現倍頻分量，主要分量為2X振動。如圖19所示。改變不對中量分別為0，50 μm，150 μm，200 μm，300 μm，400 μm，500 μm，1 000 μm后，轉子2軸心軌跡圖，如圖20所示。

圖19 ΔY=400 μm時轉子1水平和垂直向振動響應Fig.19 Vibration response for horizontal and vertical direction with ΔY=400 μm

圖20 轉子2軸心軌跡圖Fig.20 Orbits of rotor 2

軸心軌跡結果表明，在完全對中的條件下位于圖像的中心。當不對中出現并逐漸增大時，軌道由近似的橢圓形變為新月形和外“8”形。當不對中量超過1 000 μm時，軸心軌跡為“8”字形。

從圖21、22可知：1X分量在水平和垂直方向出現小范圍波動；而水平和垂直向2X分量隨著不對中量的增加非線性增大。

圖21 轉子1振動水平分量隨不對中變化規律Fig.21 Vibration of rotor 1 versus misalignment magnitude in horizontal direction

圖22 轉子1振動垂直分量隨不對中量變化規律Fig.22 Vibration of rotor1 versus misalignment magnitude in vertical direction

對比理論和實驗結果，發現兩結果在振動頻率成分、2X變化、軸心軌跡等基本一致；但理論結果中的振幅更高，這是因為在理論計算中沒有考慮系統阻尼。

5 結 論

本文對其超靜定轉子系統尾部支點不對中開展了動力學解析建模、求解和實驗研究，得到以下主要結論：

(1)由于該系統結構的特殊性，當尾支點出現不對中時，既要考慮不對中的動態外部激勵，又要考慮不對中對系統動力學的影響。

(2)在良好對中條件下，該系統的不平衡響應與其一般振動規律相似。然而，當不對中發生時，系統會出現新的倍頻成分，該成分以2X為主，隨不對中量的增大，2X分量增大并不線性；2X增幅不對中較小時增長較快，2X增幅在不對中較大增長放緩；軸心軌跡由初始的近似圓，不斷變化為內“8”字。

(3)形成的超靜定轉子不對中建模方法，能夠很好的預測這類帶有超靜定特征的轉子動力學特性及其不對中振動規律，研究結果為超靜定轉子系統的理論設計、動力學建模和振動控制提供了理論思路和實驗依據，特別是對不對中對于整個系統動力學特性定量的影響，具有重要借鑒意義。