鋼彈簧浮置板隔振器垂向動反力隨機振動特征研究

朱志輝，黃宇佳，黃承志，丁德云

(1.中南大學 土木工程學院，長沙 410075；2.中南大學 高速鐵路建造技術國家工程實驗室，長沙410075；3.北京九州一軌環境科技股份有限公司，北京 102600)

我國軌道交通正在迅猛發展，為減少城市軌道交通對線路沿線造成的振動與噪聲影響，工程中常采用鋼彈簧浮置板軌道(floating slab track，FST)。鋼彈簧隔振器是鋼彈簧浮置板軌道的重要元件，鋼彈簧隔振器動反力(dynamic reaction force,DRF)是引起基礎動力響應的激振力，直接反映了浮置板軌道的減振性能。鋼彈簧隔振器受力情況復雜，極易出現損壞現象，因此針對鋼彈簧隔振器的研究成為近年來最熱門的問題之一。目前關于鋼彈簧隔振器的研究可總結為：獲取并歸納力學參數變化規律[1-6]、優化與改進力學模型[7-12]、鋼彈簧對浮置板軌道動力響應的影響[13-16]。鋼彈簧隔振器動反力特征是造成鋼彈簧性能劣化的根本原因，研究鋼彈簧動反力特征對指導鋼彈簧隔振器參數設計與疲勞分析具有重要意義，但目前關于鋼彈簧隔振器動反力特征的研究尚不夠成熟。

李忠繼等[17]利用有限元方法建立列車、浮置板軌道模型，并通過模態疊加法、輪軌相互作用模型建立列車-連續型浮置板軌道系統動力學模型，計算浮置板中部鋼彈簧隔振器的動反力，其研究以某一確定的軌道不平順樣本作為輪軌激擾輸入，未考慮軌道不平順隨機性引起的鋼彈簧隔振器垂向動反力統計學特征。李俊嶺等[18]將鋼軌模擬為離散支承歐拉梁、浮置板模擬為離散支承有限長自由梁，建立列車-浮置板軌道(train-floating slab track，T-FST)耦合垂向動力學模型，計算分析鋼彈簧隔振器垂向動反力的動力特性，其研究同樣未考慮軌道不平順隨機性引起的鋼彈簧隔振器垂向動反力統計學特征，也未研究參數變化對鋼彈簧隔振器反力頻率成分的影響規律；同時其采用模態疊加法建立浮置板振動方程，該方法在選取模態時難以全面考慮軌道結構局部高頻振動模態，從而存在著無法準確計算鋼軌局部振動與輪軌之間相對位移的缺點。由于車-軌耦合系統振動響應是一個隨機過程[19]，趙巖等[20-22]的研究表明，對少量軌道不平順樣本計算得到的動力響應時程結果進行統計分析是缺乏可靠性的，無法完全反應結構隨機振動響應的全部特征。Lu等[23]直接指出軌道不平順引起的列車-結構耦合振動應該采用隨機振動的方法進行研究。虛擬激勵法(pseudo excitation method,PEM)是研究隨機振動的一種手段，與傳統的Monte-Carlo等方法相比具有更高計算效率與精度[24-28]。

因此，本文通過虛擬激勵法將軌道高低不平順轉化為一系列簡諧不平順的疊加，將非平穩隨機振動問題轉化為確定性時間歷程問題，建立了車輛-浮置板軌道耦合系統豎向隨機振動模型。基于該隨機振動模型，揭示了鋼彈簧隔振器動反力隨機特征，研究了軌道不平順、車速對鋼彈簧隔振器動反力隨機特征的影響規律，為進一步研究環境振動、鋼彈簧疲勞荷載譜以及鋼彈簧參數設計提供理論研究基礎。

1 列車-浮置板軌道動力學模型

1.1 列車模型

由于鋼彈簧隔振器動反力主要由列車垂向作用引起，故本文僅考慮垂向向振動自由度，每節車體共有10個自由度。列車的運動方程為

(1)

1.2 浮置板軌道模型

模態疊加法難以全面考慮軌道結構局部高頻振動模態，導致無法準確計算鋼軌局部振動與輪軌之間相對位移。而通過建立有限元模型，采用直接剛度法，不需要人為設定分析截至頻率，計算精度較高。因此為了更加準確計算鋼彈簧垂向動反力，本文采用有限元直接剛度法建立浮置板軌道動力方程。

(2)

式中，Mb，Kb，Cb分別為浮置板軌道子系統的質量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣，可以在ANSYS軟件中直接獲得。其中阻尼矩陣Cb包括軌道板本身的材料阻尼、鋼彈簧及軌下彈簧-阻尼器單元阻尼，采用Rayleigh阻尼來模擬軌道結構的阻尼特性，可表示為

(3)

式中：α，β為Rayleigh阻尼系數，根據浮置板軌道的前兩階豎向自振頻率ω1，ω2計算，阻尼比取2%[29]；Ne為具有單元阻尼的單元類型數；Ci為第i個彈簧-阻尼器單元的阻尼。建立的列車-浮置板軌道耦合振動模型如圖1所示。

圖1 列車-浮置板軌道耦合振動模型Fig.1 Dynamic model of T-FST coupled system

1.3 軌道不平順模型

由于目前尚缺少與“地鐵無砟軌道不平順譜”直接相關的資料，目前已有研究中多用美國六級譜來模擬城市地鐵的軌道不平順[30-34]，為分析鋼彈簧隔振器動反力受不同軌道不平順條件的影響，本文參考已有文獻并采用下列幾種常用的軌道不平順譜進行研究，且只考慮軌道高低不平順：①美國六級譜；②美國五級譜；③美國四級譜。各類軌道不平順譜的具體表達式可參考文獻[35]。

1.4 輪軌接觸模型

列車子系統和浮置板軌道子系統之間通過輪軌接觸關系耦合成一個整體。目前處理輪軌垂向接觸關系主要基于兩種模型：①忽略輪軌相對變形的密貼模型；②考慮輪軌相對變形的Hertz接觸模型。雖然密貼模型理論上較為簡單，但其忽略了輪軌之間相對變形，從而難以真實反映輪軌之間的動態相互作用。因此本文采用考慮輪軌相對變形的Hertz接觸模型模擬輪軌接觸關系[36]，輪軌接觸剛度按照式(4)求解

(4)

2 基于虛擬激勵法的鋼彈簧隔振器動反力計算

2.1 列車-浮置板軌道耦合時變系統隨機振動分析

通過輪軌接觸關系將車輛子系統和軌道子系統組成整體耦合時變系統，可建立列車-浮置板軌道耦合時變系統動力方程，如式(5)所示

(5)

列車-浮置板軌道耦合系統所受的外荷載F由以下兩個成分組成：列車自質量確定性激勵F1(t)和軌道不平順隨機激勵F2(t)，即

F=F1(t)+F2(t)

(6)

根據隨機振動理論，軌道不平順激勵F2(t)可寫為

F2(t)=Γ(t)G(t)x(t)

(7)

G(t)=diag[g(t-t1)]…g(t-t1)…
g(t-tNw)]

(8)

x(t)=[x(t-t1)…x(t-t1)…x(t-tNw)]T

(9)

式中：Γ(t)為作用力指示向量；G(t)為慢變均勻調制函數矩陣；x(t)為軌道不平順多點異相位平穩隨機激勵向量；Nw為列車輪對總數。

本文假設軌道不平順是零均值的平穩隨機過程，因此列車-浮置板軌道耦合系統隨機響應的均值是由列車自質量確定性激勵F1(t)引起的。對軌道不平順隨機激勵F2(t)構造虛擬激勵

(10)

則由此引起的列車-浮置板軌道耦合系統的虛擬響應為

(11)

Sxx(ω)=Sv(Ω)/v,ω=Ωv=2πv/λ

(12)

式中：H(t-τ)為脈沖響應函數；Sxx(ω)為軌道不平順x(t)的功率譜密度函數；Sv(Ω)為空間域功率譜密度函數，Ω為空間圓頻率，rad/m；ω為時間圓頻率，rad/s；λ為軌道不平順的波長，m。

隨機響應的自譜密度矩陣Szz(ω,t)如式所示，求出隨機響應的自譜密度矩陣Szz(ω,t)后，通過頻域內積分并開方就可得到系統隨機響應的標準差。

HT(t-τ2)dτ1dτ2=Szz(ω,t)

(13)

由于車輛勻速運行，假定x=vt為第1個車輪在t時刻位置離軌道起點的距離，則車輪在時間域受到的軌道不平順激勵為

zx(t)=g(t)x(t)

(14)

式中，g(t)為慢變均勻調制函數，取

(15)

同一條軌道上的任意兩車輪受到相同的輪軌間隨機激勵，但是會由于車輪間距存在相位差，軌道不平順引起的第i節車輛第l個輪對垂向位移zxil為

zxil=zx(t-Δtil)

(16)

式中，Δtil為第i節車輛第l個輪對與第1個輪對作用時間上相差的常因子。則第i節車輛第l個輪對受到的虛擬軌道不平順為

(17)

因此，該輪對所受虛擬輪軌力為：

(18)

2.2 鋼彈簧隔振器動反力

列車行駛過程中，鋼彈簧隔振器垂向動反力F可寫成

F=kΔx+cΔv

(19)

式中：k，c分別為鋼彈簧隔振器豎向剛度、豎向阻尼；Δx，Δv為鋼彈簧隔振器頂部、底部位移之差與速度之差。

一般認為，受浮置板自質量靜壓作用，鋼彈簧隔振器自身固有頻率與浮置板自振頻率(6～16 Hz)相當，李俊嶺等的研究表明：地鐵列車行駛過程中，由車輛自身結構特性引起的鋼彈簧隔振器動反力主頻遠小于鋼彈簧自身固有頻率；王建偉等開展現場試驗，研究了加載頻率為1～10 Hz的鋼彈簧隔振器動態特性參數變化，其研究結果表明：鋼彈簧隔振器動態參數僅在其共振頻率附近相比靜態參數增大10%，對于其它加載頻率則增大3%～5%左右。因此對于一般情況下的地鐵浮置板軌道，列車行駛不會引起鋼彈簧隔振器共振、鋼彈簧隔振器剛度與阻尼不會產生較大的變化，故本文簡化考慮k，c分別為靜態下鋼彈簧隔振器豎向剛度、豎向阻尼。

工程設計中，鋼彈簧隔振器垂向動反力的最大值通常是重點關注對象，本文基于3倍標準差法則確定具有99.7%保證率的鋼彈簧隔振器垂向動反力隨機特征上下限值。同時，根據2.1節列車-浮置板軌道耦合時變系統隨機分析方法，開發了相應的計算程序，具體計算流程如圖 2所示。

圖2 列車-浮置板軌道耦合系統隨機振動分析流程圖Fig.2 Flowchart for the random vibration analysis of T-FST model

3 模型驗證

本文采用文獻[37]中的車輛及鋼彈簧浮置板軌道動力學參數，并基于本文的列車-浮置板軌道耦合時變系統隨機分析方法及自編程序，計算了浮置板在不考慮剪力鉸連接作用時，6車編組的地鐵車輛以60 km/h速度在軌道不平順為美國六級譜的軌道上運行的系統豎向振動，并將本文計算結果與Ma等研究的結果進行對比以驗證本文模型及程序的正確性。

圖3和表1分別給出了鋼軌和軌道板在行車方向距離模型始端54 m處的浮置板與鋼軌豎向位移時程曲線和最大值結果，從圖表結果可以看出本文方法計算得到的鋼軌和軌道板豎向位移和Ma等研究中的結果基本一致，說明本文方法能夠較好地反映列車-浮置板耦合振動特性。

圖3 浮置板軌道位移時程對比Fig.3 Comparison of time-history results of FST displacement

表1 鋼軌和軌道板豎向位移最大值對比Tab.1 Comparison of maximum vertical displacement results of rail and slab

4 計算結果與分析

4.1 鋼彈簧浮置板軌道有限元模型

以實際工程中采用的一種鋼彈簧浮置板軌道作為研究對象，開展鋼彈簧隔振器垂向動反力研究。其中，預制軌道板尺寸(長×寬×厚)為4.8 mm×2.7 mm×0.34 mm，混凝土強度等級為C50，每塊軌道板以1.2 m為間隔設置4對鋼彈簧隔振器，以0.6 m為間隔設置8對扣件，相鄰軌道板間設置4塊剪力鉸相連。

本文采用ANSYS軟件建立浮置板軌道有限元模型，如圖4所示。為了消除邊界條件對數值計算結果的影響，模型中建立了25塊4.8 m長的軌道板(圖4展示了第1～第3塊浮置板)，首尾各有24 m的鋼軌延長段。鋼軌采用beam188單元模擬，為了考慮軌道結構的高頻振動，單元長度為0.1 m。軌道板采用solid45單元模擬。根據剪力鉸在實際浮置板軌道結構中起到的抗彎與抗剪作用，在相鄰軌道板接縫處采用抗彎和抗剪彈簧模擬剪力鉸的作用，參數分別為設為5×108N·m/rad，5×108N/m。采用combin14單元模擬軌下扣件以及鋼彈簧隔振器的彈性支撐作用，底部為全約束，扣件與鋼彈簧隔振器的具體參數如表2所示。

圖4 浮置板軌道有限元模型Fig.4 Finite element model of FST

表2 扣件與鋼彈簧參數Tab.2 Parameters of fastner and steel-spring

4.2 鋼彈簧隔振器動反力隨機特性分析

基于列車-浮置板軌道耦合系統隨機動力學模型，取6車編組地鐵B型車(參數見表3[38])以80 km/h速度單線通過浮置板軌道的計算結果，對鋼彈簧隔振器動反力隨機特征進行研究。軌道不平順為美國六級譜，波長范圍為1～100 m。以圖4所示有限元模型為例，取第13塊浮置板(位于整個浮置板軌道結構跨中)一側由板端到板末的第2個鋼彈簧隔振器為研究對象，如圖5中F所示。

圖5 鋼彈簧隔振器位置示意圖Fig.5 Schematic diagram of steel spring isolator position

表3 地鐵B型車計算參數Tab.3 Parameters of B type metro train

圖6給出了該鋼彈簧隔振器動反力的隨機特征，從圖中可以得到：

(1)鋼彈簧隔振器動反力受車輛軸質量確定性激勵控制，其中隨機激勵引起的鋼彈簧動反力標準差最大值約為確定性激勵引起的鋼彈簧動反力均值最大值的1.7%。

(2)根據三倍標準差法則計算的鋼彈簧隔振器動反力上限值和下限值的最大值分別為29.85 kN與27.22 kN，上限值和下限值最大值相差2.63 kN；相對于鋼彈簧隔振器動反力均值最大值的變化在4.6%～-4.8%。

通過對圖6(a)鋼彈簧隔振器動反力均值做快速Fourier變換，可以得到動反力均值的功率譜密度(power spectral density,PSD)曲線，如圖7(a)所示；圖7(b)給出了基于虛擬激勵法得到的隨機激勵下鋼彈簧隔振器動反力的時變PSD 云圖。從圖7(a)可知，當車速為80 km/h 時，主頻f1=0.077 Hz，(1/f1)與列車通過浮置板軌道的加載時間t接近；同時，與車輛長度相關的加載頻率fv≈f2(fv=v/lv=1.17 Hz，v和lv分別為車速和車輛長度)，說明車輛長度的周期性激勵對鋼彈簧反力影響較大。從圖7(b)可知，隨機荷載激勵下鋼彈簧反力的主頻大致分布在兩個連續的頻段0.22～1.78 Hz和6.67～13.32 Hz內，分別與車輛長度引起的周期性加載頻率(fv=1.17 Hz)，車輛軸距引起的周期性加載頻率(ft=v/lt=9.66 Hz，lt為車輛軸距)密切相關。

圖6 鋼彈簧隔振器動反力隨機特征Fig.6 Random characteristics of vertical DRF of steel spring isolators

圖7 鋼彈簧隔振器動反力功率譜Fig.7 Spectrum of vertical DRF of steel spring isolators

4.3 軌道不平順對鋼彈簧隔振器動反力的影響

由4.2節分析可知，軌道不平順對鋼彈簧隔振器動反力影響不可忽略，本節將通過對比車速為80 km/h條件下不同軌道不平順引起鋼彈簧隔振器動反力隨機響應的特征，研究軌道不平順對鋼彈簧隔振器動反力均值(μ)、標準差(σ)、上限值(μ+3σ)的影響規律。

圖8給出了不同軌道不平順下鋼彈簧隔振器動反力的隨機特征，表4給出了不同軌道不平順下統計參數最大值以及根據上限值與靜力情況下鋼彈簧隔振器反力最大值計算的放大系數。不同軌道不平順下鋼彈簧反力的標準差時程曲線波形相似，幅值大小不同，說明：盡管軌道不平順等級不同，但是列車經過時，對鋼彈簧反力造成的離散性隨時間的變化規律是一致的；美國四級譜(FAR4)引起的鋼彈簧反力標準差最大，美國六級譜(FAR6)引起的鋼彈簧反力標準差最小，二者標準差最大值相差1.42 kN，上限值最大值相差3.94 kN，表明盡管鋼彈簧隔振器動反力受軌道不平順激勵影響較小，但隨著軌道不平順的劣化，鋼彈簧隔振器動反力仍會進一步增大。同時，軌道不平順的劣化使得動力放大系數迅速增大，從而加劇環境振動。

圖8 不同軌道不平順下鋼彈簧隔振器動反力隨機特征Fig.8 Random characteristics of vertical DRF of steel spring isolators under different track irregularity level

表4 不同軌道不平順下統計參數最大值Tab.4 Statistical parameter maximum values of vertical DRF under different track irregularity level

圖9給出了3種軌道不平順下鋼彈簧隔振器動反力功率譜。從圖中可以得出以下結論：不同的軌道不平順對鋼彈簧隔振器動反力功率譜的主頻分布沒有影響，鋼彈簧反力功率譜的主頻主要和車輛長度和車輛軸距引起的周期性加載頻率有關(分別為9.55 Hz與0.89 Hz)。說明同一行車條件下，不同軌道不平順對二者有影響的波長范圍相似，但軌道不平順等級越差，各頻點處的功率譜幅值越大。

圖9 不同軌道不平順條件下鋼彈簧隔振器動反力功率譜Fig.9 Spectrum of vertical DRF of steel spring isolators under different track irregularity level

4.4 車速對鋼彈簧隔振器動反力的影響

近年來，國內城市軌道交通逐步開通了120 km/h的地鐵線路，未來可能會進一步提速。列車運行速度對車輛-浮置板軌道耦合系統的動力響應影響顯著，為研究鋼彈簧隔振器動反力隨機特征隨車速的變化規律，本文選取軌道不平順為美國六級譜，對6種車速情況進行分析，分別為：40 km/h，60 km/h，80 km/h，100 km/h，120 km/h，140 km/h。

圖10給出了鋼彈簧隔振器動反力統計參數最大值隨車速變化規律，表5給出了統計參數的最大值以及根據上限值與靜力情況下鋼彈簧隔振器反力最大值計算的放大系數，從圖表中可以看出：當車速從40 km/h增大到140 km/h時，鋼彈簧反力均值最大值從28.29 kN增大到28.93 kN，標準差最大值從0.17 kN增大到0.71 kN，上限值最大值從28.76增大到31.05 kN，均值占上限值的比值由98.37%減小為93.17%，說明列車軸質量引起的鋼彈簧隔振器動反力均值受車速影響較小，軌道不平順引起的鋼彈簧隔振器動反力標準差受車速影響較大，車速越大，鋼彈簧隔振器動反力的離散性越大，引起的環境振動越劇烈。車速越大，鋼彈簧隔振器動反力的動力放大系數也越大。由圖10(c)計算值知，鋼彈簧隔振器動反力上限值與速度近似呈線性關系，本文擬合了上限值與速度計算的公式如下，擬合曲線如圖10(c)所示

表5 不同車速下鋼彈簧隔振器動反力統計參數最大值Tab.5 Statistical parameter maximum values of vertical DRF under different train speed

圖10 鋼彈簧隔振器動反力統計參數最大值隨車速變化規律Fig.10 Statistical parameter maximum values of vertical DRF varying with train speed

Fu=0.024 16v+27.8

(20)

式中：Fu為鋼彈簧隔振器動反力上限值，kN；v為車速，km/h。擬合公式的殘差平方和為0.06，線性擬合度評價指標R平方為0.98。

圖11(a)～圖11(f)分別給出40～140 km/h車速下，軌道不平順隨機激勵引起的鋼彈簧隔振器動反力功率譜，從圖中結果可以得出以下結論：

圖11 不同車速下鋼彈簧隔振器動反力功率譜Fig.11 Spectrum of vertical DRF of steel spring isolators under different trainspeed

(1)當車速小于60 km/h時，鋼彈簧隔振器動反力隨機分量主要集中在與車輛長度周期性加載頻率相近的低頻段，隨著車速的增大，中短波分量引起的振動頻率被激發，該頻率與車輛軸距周期性加載頻率相近，此時軌道不平順引起的鋼彈簧反力隨機分量主要集中在兩個連續的頻段。

(2)當車速為80km/h時，車輛軸距引起的周期性加載頻率ft=v/lt=9.66 Hz，而本文所研究浮置板軌道的一階自振頻率約為10.51 Hz，二者相近，易發生共振，因此在此車速下鋼彈簧反力功率譜在頻率f2的值大于f1，其余車速下f1值均大于f2。

5 結 論

本文基于有限元法與虛擬激勵法，建立了列車-浮置板軌道耦合系統豎向隨機振動模型，以6車編組的地鐵B型車通過鋼彈簧浮置板軌道為算例，研究了車輛-浮置板軌道耦合系統的豎向隨機振動特征，分析了軌道不平順和車速對鋼彈簧隔振器垂向動反力的影響規律，得出了如下結論：

(1)本文建立的列車-浮置板軌道耦合系統豎向隨機振動模型，可以準確的求解得到車輛、浮置板軌道振動響應的均值(μ)、標準差(σ)和限值(μ±3σ)等統計參數。在軌道不平順隨機激勵下，任意時刻的振動響應并非確定值，而是介于下限值(μ-3σ)和上限值(μ+3σ)之間。鋼彈簧隔振器動反力主要受列車軸質量確定性激勵影響。

(2)鋼彈簧隔振器動反力受軌道不平順激勵影響較小，但隨著軌道不平順的劣化，動反力會進一步增大，動力放大系數也隨之迅速增大，加劇環境振動；不同的軌道不平順對鋼彈簧隔振器動反力功率譜的主頻分布影響不顯著，說明同一行車條件下，不同軌道不平順對二者有影響的波長范圍相似。

(3)鋼彈簧隔振器動反力統計參數隨著車速的增大而增大，鋼彈簧隔振器動反力上限值與速度近似呈線性關系；車速越大，動力放大系數增大，軌道不平順引起的離散性越大，鋼彈簧隔振器動反力隨機分量主要集中分布在兩個連續的頻段內，分別與車輛長度周期性加載頻率和車輛軸距周期性加載頻率密切相關，車速增大，中短波分量引起的振動頻率參振越大。