基于混沌同步與遷移控制的隔振系統線譜控制方法

左兆倫，俞 翔，李 爽，柴 凱，劉樹勇

(1．海軍工程大學 動力工程學院，武漢 430033；2．海軍工程大學 艦船與海洋學院，武漢 430033)

混沌控制是混沌領域的一個重要分支，它在混沌應用中起到至關重要的作用。Hubler[1]最早對混沌控制展開研究，隨后Ott等[2]提出OGY法，之后國內外學者陸續提出了多種混沌控制方法，并將其廣泛應用于保密通信[3]、生物系統[4]、混合流體[5]、耦合映射[6]等諸多領域。在機械工程領域，朱石堅等[7]提出混沌隔振方法，利用強非線性隔振系統(vibration isolation system，VIS)處于混沌狀態時響應功率譜呈連續譜的特征，降低動力機械周期性運轉產生的低頻線譜。Lou等[8]通過數值分析和試驗研究對該理論進行了原理驗證。當前使非線性隔振系統混沌化的方法主要有3類：一是設計強非線性隔振系統，并調整其參數使之處于混沌振動狀態，由于混沌系統對參數極為敏感，該方法在變工況環境下難以實現持續混沌運動;二是反饋自適應控制方法[9-12]，這類方法能夠有效降低低頻線譜，但是必須有一個力直接作用于被隔振設備或者基座上，需要較大的外加能量并且容易放大設備振幅,此外，投影同步方法需要與原系統等量的控制輸入能量，在實際應用中存在時滯問題;三是廣義混沌同步方法，具體又可以分為參數驅動[13-15]和狀態驅動[16]兩種方法。狀態驅動方法仍然存在控制能量較大的問題，參數驅動方法對系統變量參數進行驅動，利于降低能耗。然而，由于非線性因素的影響，混沌同步系統中可能存在多個穩定的混沌吸引子，不同吸引子的頻譜特征和線譜強度可能相差較大，線譜控制效果與系統所處的吸引子密切相關。

在多吸引子系統中，通過施加吸引子遷移控制可以實現不同運動狀態之間的轉換。最早的遷移控制方法是Jackson等[17-18]提出的開環控制和參數開環控制，Jackson等[19-20]將開環控制和線性反饋相結合，提出了開環加閉環(open-plus-closed-loop，OPCL)控制，并給出了兩種遷移方案即將系統狀態從一個吸引子遷移至構造的目標軌道或者另一個“目標”吸引子，以及一種確定近似動力學模型的試驗搜索方法。隨后，OPCL控制算法吸引了國內外學者的廣泛關注，王杰等[21]針對連續多項式混沌系統，分析OPCL控制的輸運域并進行算法優化，提出了開環加非線性閉環(open-plus-nonlinear-closed-loop，OPNCL)控制。柴凱等[22]針對兩自由度非線性隔振系統，通過全局分岔分析找出共存吸引子,利用OPCL控制和OPNCL控制等算法實現了周期吸引子之間、周期和混沌吸引子之間的遷移控制。俞翔等[23]針對柔性基礎準零剛度隔振系統，利用OPCL控制實現了周期吸引子之間的遷移控制，并分析其穩定性和可行性。此外，OPCL控制算法還被推廣至同步控制領域的理論研究和工程應用[24-25]。

本文以柔性基礎非線性隔振系統為研究對象，對其施加廣義同步控制，分析混沌同步系統的多吸引子共存現象以及不同吸引子對應的線譜控制效果，對不同遷移控制方法展開算法研究和穩定性研究，嘗試將同步系統從大振幅混沌吸引子遷移至小振幅混沌吸引子，重構頻譜特征并降低特征線譜強度，實現穩定性強、能耗低、振幅小的隔振系統線譜混沌化控制。

1 混沌同步系統

1.1 廣義同步控制

在只考慮一階模態時，柔性基礎非線性隔振系統可以簡化為雙層質量-彈簧系統，如圖1所示。M1和M2分別為被隔振設備和基座的質量。M1由具有線性剛度K1和三次非線性剛度K3的非線性隔振器、阻尼系數為C1的阻尼器共同支撐。M2由等效線性彈簧K2和線性阻尼C2共同支撐。在設備和基座之間安裝作動器以施加廣義同步控制和遷移控制。選取彈簧自然長度狀態下，質量塊所處位置為坐標原點，簡諧激勵下柔性基礎非線性隔振系統的動力學方程為

圖1 柔性基礎非線性隔振系統Fig.1 Model of the nonlinear VIS with flexible base

K3(Z1-Z2)3+F0cosΩT-M1g,

K1(Z1-Z2)+K3(Z1-Z2)3-M2g

(1)

當選取系統處于靜平衡狀態時，質量塊所處位置為新坐標原點，假設M1和M2在新舊坐標系下的位移之差分別為h1和h2，則有下列關系：Z1=Y1-h1，Z2=Y2-h2。以及如下受力關系：M1g=K1H+K3H3，M1g+M2g=K2h2。其中：H=h1-h2。代入式(1)得

3K3H(Y1-Y2)2-K3(Y1-Y2)3+F0cosΩT,

(K1+3K3H2)(Y1-Y2)-

3K3H(Y1-Y2)2+K3(Y1-Y2)3

(2)

(3)

將式(3)代入式(2)，可得一階形式的無量綱動力學方程

(y1-y3)3+fcos(ωt),

ελ(y1-y3)2+ε(y1-y3)3

(4)

采用參數驅動的單向耦合廣義同步方法，混沌驅動系統選為簡諧激勵下的單自由度振子

(5)

其參數設置為ω1=3.931 1，w=4，v=3，u=0.15，d=9，初始條件(x1,x2)設置為(0,0)。以柔性基礎非線性隔振系統為響應系統，利用驅動系統的輸出信號x2對其線性剛度k1進行驅動，即k1=kx2，其中k為耦合強度。響應系統的動力學方程可改寫為

(y1-y3)3+fcos(ωt),

ελ(y1-y3)2+ε(y1-y3)3

(6)

1.2 吸引子共存

設備振動通過基座向船舶殼體傳遞，下面分析基座的響應特性。在式(4)中，設置系統參數為：ε=0.2，λ=1，k2=2，f=20，ξi=0.8,i=1,2。以激勵頻率ω為變化參數，分別進行向前延拓(ω取值為2～10)和向后延拓(ω取值為10～2)的全局分岔分析。如圖2所示，在不同初始條件下，系統響應振幅發生跳躍的參數區間為ω∈[3.69,4.45]。在該參數區間內，響應系統存在兩個共存吸引子，而線譜控制效果可能與系統所處的吸引子密切相關。

圖2 響應系統隨ω變化的全局分岔圖Fig.2 Global bifurcation of the response system varying with ω

在式(6)中，保留式(4)的參數設置，令ω=3.931 1，k=0.1。設置初始條件(y1，y2)=(0，-5)，以(y3，y4)分析平面，利用胞化積分軌跡法[26]得到兩個共存吸引子對應的吸引域分布圖，如圖3所示。淺色區域和深色區域分別為大振幅吸引子A1和小振幅吸引子A2的吸引域。根據吸引域圖選取不同的初始條件，設置兩組對照組和擾動組，求得基座響應的時間歷程圖。如圖4(a)所示，第一組初始條件的對照組和擾動組分別為(0，-5，0，0)和(0，-5，0.5，0.5)，基座經歷瞬態并最終穩定于大振幅混沌吸引子；如圖4(b)所示，第二組初始條件的對照組和擾動組分別為(0，-5，2，0)和(0，-5，2.5，0.5)，基座經歷瞬態后將穩定于小振幅混沌吸引子。在具有初值敏感性的混沌同步系統中，兩個吸引子都有其對應的吸引域，即從同一吸引域出發的相軌跡都將漸進穩定于該點所屬的吸引子，從不同吸引域出發的相軌跡將運行于不同的吸引子，說明共存吸引子具有漸進穩定性。

與生理鹽水組比較,各劑量組雌性大鼠的肝、腎、腦、胸腺、卵巢和子宮的臟/體比無顯著性差異。各劑量組雌性大鼠的腎上腺和脾的臟/體比部分有顯著性差異,但是綜合考慮臟器的重量和大鼠的終期空腹體重,認為其差異無實際生物學意義。

圖3 基座中共存吸引子的吸引域Fig.3 The attraction basins of coexisting attractors in the base

圖4 不同初始條件下共存吸引子的時間歷程圖Fig.4 Time histories of the coexisting attractors under different initial conditons

1.3 線譜控制效果

未受驅動時，基座的相圖和位移功率譜如圖5(a)和圖6(a)所示。由圖可知：兩吸引子的相軌跡均為極限環，龐加萊映射均為一個不動點，位移功率譜圖呈現明顯線譜特征，說明共存的兩個吸引子均為周期吸引子。受驅動時，共存吸引子的相軌跡和功率譜如圖5(b)和圖6(b)所示。相軌跡纏繞在一起并遍布在一定的相空間范圍內，功率譜呈現連續譜特征，說明共存的兩個吸引子被轉換為混沌吸引子，混沌同步方法能夠實現隔振系統的持續混沌化。

圖5 基座中共存吸引子的相圖Fig.5 Phase diagram of coexisting attractors in the base

圖6 基座中共存吸引子的位移功率譜Fig.6 Power spectrum of coexisting attractors in the base

在隔振系統受驅動時，兩個吸引子的特征線譜強度較未受驅動時沒有明顯增加。在混沌同步系統中，混沌吸引子A1和A2在ω=3.931 1處的特征線譜強度分別為33.18 dB和10.91 dB，后者比前者小22.7 dB，說明混沌同步化方法的線譜控制效果取決于同步系統所處的吸引子，當系統運行于小振幅混沌吸引子時，線譜控制效果將大幅提高。

分別設置響應系統初始條件為(0,-5,0,0)和(0,-5,2,0)，未受驅動和受驅動時被隔振設備M1中兩個吸引子的時間歷程圖如圖7(a)和圖7(b)所示。由圖可知:在隔振系統受驅動時，兩個吸引子的振幅較未受驅動時幾乎沒有變化，說明隔振系統的隔振性能不受同步控制影響。

圖7 被隔振設備M1的時間歷程圖Fig.7 Time histories of the equipment M1

2 遷移控制算法

考慮包含遷移控制項的動力學方程

(7)

式中：F(x,t)為混沌同步系統的動力學方程；S(t)為開關函數，當關閉控制開關時，令S(t)=0，當啟動控制開關時，令0

為便于分析，將式(5)和式(6)中左邊各項記為

F(x,y,t)=(F1,F2,F3,F4,F5,F6)=

(8)

F1(g,t)=g2,

F3(g,t)=g4,

F4(g,t)=-ξ1(g4-g6)-kg2(g3-g5)+λ(g3-g5)2-

(g3-g5)3+fcos(ωt),

F5(g,t)=g6,

F6(g,t)=-εξ2g6-εk2g5+εξ1(g4-g6)+ε(g3-g5)-

εξ(g3-g5)2+ε(g3-g5)3

(9)

引入開環控制算法

(10)

式中，dg/dt≠F(g,t)。

引入線性反饋控制算法

K(g,x,t)=A[x(t)-g(t)]

(11)

式中，A=(aij)6×6為任意負定的實常數對角陣。

引入OPCL控制算法

式中:D(g,t)=A-?F(g,t)/?g;?F(g,t)/?g為F(g,t)關于目標函數g(t)的雅可比矩陣。

引入OPNCL控制算法

N(g,t)[x(t)-g(t)]

(13)

選取負定對角陣A=diag(-10，-10，-10，-10，-10，-10)及目標軌道

(14)

對同步系統施加開環控制，并代入式(7)，得到

(15)

對同步系統施加線性反饋控制，代入式(7)，得到

(16)

對同步系統施加OPCL控制，代入式(7)，得到

(17)

對同步系統施加OPNCL控制，代入式(7)，得到

(18)

3 數值仿真

吸引子遷移控制的基本原則是對原系統施加控制，使得受控系統的目標軌道存在局部穩定區域與共存吸引子的吸引域部分重疊，當原系統運行到重疊部分時，啟動控制，這樣受控系統就可沿著該穩定軌道運行。當該軌道的起點在一個吸引子上，終點在另一個吸引子的吸引域時，則可以實現從一個吸引子到另一個吸引子的遷移控制。

分別對不同控制算法作用下的吸引子遷移過程進行數值仿真，淺灰虛線為系統的初始狀態，黑色點劃線為打開控制開關時系統的狀態，深灰實線為關閉控制開關時系統的狀態。在開環作用下，基座的相軌跡和時間歷程圖如圖8(a)和圖8(b)所示，系統無法被遷移至目標軌道，說明開環控制不適用于混沌吸引子之間的遷移控制。

圖8 開環控制下，基座的相軌跡和時間歷程圖Fig.8 The phase trajectories and time histories of the base under the open-loop control

在線性反饋控制、OPCL控制、OPNCL控制下，基座的相軌跡和時間歷程圖，分別如圖9(a)、圖10(a)、圖11(a)和圖9(b)、圖10(b)、圖11 (b)所示。3種控制方法均能實現同步系統中混沌吸引子之間的遷移轉換。由圖可知:初始時，系統運行于大振幅混沌吸引子；當系統運行至大振幅混沌吸引子與目標軌道g(t)鄰域的重疊區域時，啟動控制，系統迅速遷移至目標軌道g(t)或g(t)的鄰域；當系統運行至目標軌道g(t)鄰域與小振幅混沌吸引子對應吸引域的重疊區域時，關閉控制，系統逐漸遷移并最終穩定運行于小振幅混沌吸引子。經過上述遷移過程，實現了混沌同步系統從大振幅混沌吸引子到小振幅混沌吸引子的遷移轉換。在線性反饋控制下，系統不能精確運行于目標軌道，而是運行于目標軌道附近鄰域，從目標軌道遷移至小振幅吸引子的瞬態振幅比OPCL控制和OPNCL控制都小。在OPCL控制和OPNCL控制作用下，基座的相軌跡和時間歷程圖幾乎完全一致。此外，在遷移過程結束后，遷移控制開關函數保持關閉狀態，意味著不需要持續施加控制能量，滿足實際工程應用中的低能耗需求。

圖9 線性反饋控制下，基座的相軌跡和時間歷程圖Fig.9 The phase trajectories and time histories of the base under the closed-loop control

圖10 OPCL控制下，基座的相軌跡和時間歷程圖Fig.10 The phase trajectories and time histories of the base under the OPCL control

圖11 OPNCL控制下，基座的相軌跡和時間歷程圖Fig.11 The phase trajectories and time histories of the base under the OPNCL control

4 穩定性分析

對開環控制，將式(10)代入式(7)，F(e+g,t)在g(t)附近對F(e+g,t)進行泰勒級數展開，可得誤差方程

(i=1,2,3,4,5,6)

(19)

對線性反饋控制，將式(11)代入式(7)，則得

(20)

(i=1,2,3,4,5,6)

(21)

對OPCL控制，將式(12)代入式(7)，可得

(i=1,2,3,4,5,6)

(22)

將式(9)和目標軌道函數式(14)代入式(22)，得到

(23)

對OPNCL控制，將式(13)代入式(7)，可得

(24)

開環控制不能實現有效遷移控制，線性反饋控制的誤差方程比開環控制多包含表達式Ae，由于A是負定矩陣，該項利于遷移控制趨于穩定，并且A中各常數項絕對值越大，穩定效果越好。

線性反饋控制對目標軌道g(t)的選取有嚴格的限制要求，文中選取的目標軌道并非同步系統的固有嵌入軌道，因而系統不能精確運行于目標軌道，而是運行于目標軌道附近鄰域，并且由于控制算法簡單，線性反饋控制的系統瞬態振幅較小。

OPCL控制由開環部分和閉環部分組成，開環部分構造出需要的目標軌道，閉環部分使控制系統趨于穩定。在OPCL控制的基礎上，OPNCL控制算法增加一項非線性項N(g,t)，使得受控系統的誤差方程不包含目標軌道函數g(t)，具有全局穩定的輸運域，魯棒性更強，并且完成遷移過程所需時間更短。在OPCL控制和OPNCL控制作用下，基座吸引子遷移軌跡幾乎完全一致。這是因為選取的合適目標軌道函數g(t)使得OPCL控制和OPNCL控制的算法接近等價，這一點通過誤差方程式(23)和式(24)也能看出。此外不難發現，只需選擇合適的混沌驅動系統和目標軌道g(t)使得N(g,t)=0，便可令OPCL控制和OPNCL控制完全等價。在工程應用中，不同的遷移控制算法各有適用范圍，應當結合算法魯棒性、能耗限制、遷移時間、瞬態振幅等實際工況需求選擇合適的遷移控制算法。

5 結 論

本文提出了一種基于混沌同步與遷移控制的船舶機械設備隔振系統線譜控制方法，通過理論研究和數值仿真證明了其可行性，得出結論如下：

(1)混沌同步方法能夠實現隔振系統的持續混沌化并保持隔振性能，混沌同步系統中有多個穩定的混沌吸引子共存，線譜控制效果取決于同步系統所處的吸引子。

(2)選擇合適的遷移控制方法能夠使同步控制下的隔振系統穩定運行于小振幅的混沌運動，從而降低特征線譜強度，并且該方法具有穩定性強、能耗低的特點。

(3)線性反饋控制、OPCL控制和OPNCL控制均能實現同步系統中混沌吸引子之間的遷移控制。在線性反饋控制作用下，同步系統不能精確運行于構造的目標軌道，而是運行于目標軌道附近鄰域；選擇合適的混沌驅動系統和目標軌道g(t)，可使OPCL控制和OPNCL控制算法接近等價甚至完全等價。