原子鐘性能對衛星導航系統定位精度的影響分析

翟 浩，廉吉慶

(1.蘭州空間技術物理研究所，蘭州 730000；2.北京航空航天大學儀器科學與光電工程學院，北京 100083;3.真空技術與物理重點實驗室，蘭州 730000)

0 引言

目前，所有的全球衛星導航系統(Global Navigation Satellite System，GNSS)都有類似的架構，由美國全球定位系統(Global Positioning System，GPS)的設計者首創。GNSS是以時間測量為基礎的系統，利用到達時間(Time of Arrival，TOA)測距的原理確定用戶的位置。星載原子鐘作為衛星導航系統上的時間基準與關鍵設備，是衛星導航系統的關鍵核心技術[1]。衛星裝備高精度原子鐘，并與地面控制段的原子鐘同步，建立起導航衛星的精密時間，該精密時間也是基于精密測距定位技術的基礎。主控站設有基準鐘和守時鐘，是衛星導航系統的時間基準，監測站也設有原子鐘，與主控站原子鐘同步，星載原子鐘與地面控制段同步。

導航定位精度是衛星導航系統的主要技術指標。影響導航定位精度的因素很多，其中原子鐘的性能指標和系統時間同步精度是重要影響因素之一，對此影響進行理論分析并給出GPS的工程驗證結果，可以為GNSS的管理運行和衛星導航系統未來原子鐘技術的發展與選擇提供參考。

美國波音公司的研究人員針對影響URE的主要因素進行了定量分析，如圖1所示[3-4]。主要的幾種影響因素包括：地面控制段(Control Segment)誤差、原子鐘(Frequency Standard)誤差、衛星群延遲(Space Vehicle Group Delay)誤差、衛星加速度(Space Vehicle Acceleration)誤差和星上頻率綜合器(Frequency Synthesizer)誤差。其中頻率綜合器由一個10.23MHz的壓控晶振(Voltage-Controlled Oscillator，VCO)和一個鎖相環(Phase Locked Loop，PLL)電路組成，PLL將VCO輸出的10.23MHz信號進行2329分頻后，與銣鐘輸出的13.4MHz信號的3051分頻通過鑒相鎖定，實現導航衛星所用時鐘信號的穩定輸出。

圖1 數據齡期為24h的GPS IIF用戶定位誤差范圍分析

圖1中數據齡期(Age of Data，AOD)為24h(根據GPS定位服務標準的定義，數據齡期等于控制段上次上傳更新導航衛星信息以來的時間)，原子鐘的影響包含了穩定度和預報誤差。從圖1中可以看出，在數據齡期為24h的條件下，原子鐘對定位精度的影響僅次于控制段的綜合影響，是影響定位精度的最主要因素之一。顯然，數據齡期越短，控制段對原子鐘的運行模型建立得越精確,頻率校準越及時。當數據齡期為0時，表示導航衛星信息剛剛更新，或可認為地面控制段與衛星的通信是實時的，即地面控制段鐘組對星載鐘進行實時同步，同步誤差為控制段系統誤差，星載鐘對守時誤差的貢獻僅為自身隨機噪聲，即阿倫方差短期穩定度。目前，星載鐘的實際短期穩定度通常優于1×10-11τ-1/2[6-7]，時鐘校正間隔按1s來算，誤差優于1×10-11s，對定位誤差的貢獻為mm量級。因此，數據齡期的縮短能夠降低原子鐘對URE的影響。而隨著數據齡期的延長，原子鐘自主運行引入的隨機噪聲將越來越大，根據2020年GPS定位服務標準，目前GPS在正常運行狀態下，當數據齡期為最大值時，原子鐘對UERE的影響將成為最重要的因素[5]。

1 URE與衛星鐘差

星載原子鐘為導航衛星提供精準的時鐘信號，用于系統時間計算，原子鐘主要通過影響衛星鐘差對定位精度產生影響。假定原子鐘導致的衛星鐘差為t，則導致的誤差范圍為t×c，c為光速，即鐘差1ns，測距誤差范圍為0.3m，這樣就可以把星載原子鐘引入的鐘差轉換為定位誤差。

星載原子鐘的鐘差如式(1)所示[8-9]

Δt=t-tX

=t0+At+1/2Dt2+Δ1(t)+Δ2(t)+ΔX(t)

(1)

式中，Δt為t時刻星鐘的鐘差；t0為t=0時的鐘差；A為星載鐘的準確度；D為星載鐘的頻率漂移率(老化率)；Δ1(t)為星載鐘的外部環境特性對鐘誤差的影響；Δ2(t)為星載鐘的噪聲造成的誤差；ΔX(t)為相對論效應對原子鐘的影響。在要求準確度和穩定度接近10-13量級的頻標應用中，必須考慮相對論效應，對于空間應用來說尤其如此。

在理想情況下，初始鐘差t0和初始準確度A由控制段的同步校準精度決定，星載鐘的漂移率也可以由控制段精確計算和補償，同時相對論效應也由控制段進行計算補償，因此上述幾種鐘差理論上均能夠由控制段進行計算補償，即時間偏差補償。但由于控制段對時間偏差的補償無法做到完美，總會存在一定量的時間偏差；同時，星載鐘的工作環境雖然相對穩定，但工作溫度和空間磁場總是存在變化的，對星載鐘輸出頻率產生的影響難以被忽略，因此時間偏差是不可避免的，這也直接導致了定位偏差的存在[3]。

另一方面，星載鐘自身輸出頻率的隨機噪聲也會導致守時出現隨機誤差，即星鐘的守時偏差也存在隨機變化，星載鐘對定位誤差的影響是兩方面作用的結果。

理論上，原子鐘準確度和漂移率是可以通過地面控制段進行精確測量和補償的。在對導航衛星系統進行誤差分析時，通常將準確度和漂移率引起的誤差算作地面控制段的修正誤差，而相對論引起的誤差會另做分析。因此對星載鐘導致的定位誤差進行分析時，僅考慮式(1)中Δ1(t)和Δ2(t)，即星載鐘對URE的影響考慮原子鐘的隨機噪聲和環境因素引起的守時誤差。

1.1 星載鐘穩定度對鐘差的影響

星載鐘隨機噪聲引起的鐘差噪聲通常以阿倫方差的形式進行估算，在去除環境、漂移等因素的情況下，阿倫方差穩定度反映了星載鐘的自身噪聲情況[10-11]。在不考慮環境因素的前提下，根據星載鐘穩定度得到的時間偏差量的方差可以表示為式(2)[12]

(2)

(3)

(4)

根據星載原子鐘的噪聲模型，當僅考慮其自身噪聲時，主要包括隨機噪聲和閃爍噪聲，其中隨機噪聲對穩定度的貢獻量隨采樣時間τ呈τ-1/2的系數關系，而閃爍噪聲對穩定度的貢獻為常量。通常當τ小于1d時可認為原子鐘噪聲以自身隨機噪聲為主，當τ接近或大于1d時原子鐘噪聲以閃爍噪聲為主。假定星載鐘1s穩定度為σs，天穩為σd，由于原子鐘隨機噪聲和閃爍噪聲是相對獨立的，因此可將原子鐘的穩定度用σs和σd表示，式(4)可表示為式(5)

(5)

即童鎧院士給出的原子鐘穩定度對定位精度的影響計算公式[13]。

將原子鐘穩定度代入式(4)中即可得出t時刻的時間偏移方差，圖2和圖3所示分別為波音公司研究人員建立的GPS IIF星載鐘穩定度曲線和相應的守時誤差(即秒信號相位差)[3]，圖4和圖5所示分別為美國宇航公司研究人員建立的GPS原子鐘穩定度與相應的等效定位誤差均方根值[6](即時間誤差乘以光速)。

圖2 GPS-IIF星載原子鐘樣機穩定度指標(波音公司)

圖3 原子鐘噪聲對鐘差的影響(波音公司)

圖4 GPS-IIF星載原子鐘樣機穩定度指標(宇航公司)

圖5 原子鐘噪聲對定位精度的影響(宇航公司)

1.2 星載鐘工作環境變化引起的守時誤差

美國GPS衛星上星載鐘工作環境溫度變化范圍為±3℃[4]，由于GPS銣鐘的整機溫度系數非常小(GPS銣鐘整機溫度系數可達10-15/℃量級[14])，且銣鐘工作底板增加了控溫裝置[15]，因此溫度變化對GPS銣鐘的影響較小。而星載銫鐘實測溫度系數為3×10-14/℃左右，對鐘差產生了相對較大的影響。對此，GPS采用了專門的卡爾曼濾波器對溫度系數進行補償。波音公司估計了在全部數據齡期范圍內，GPS IIF星載銫鐘受溫度變化影響對守時產生的誤差約為0.88ns，即URE為0.264m。另外，星載鐘在軌工作時會工作在一定的磁場環境中，其中GPS銫鐘最大工作磁場為1.64Gauss，GPS銣鐘最大工作磁場為0.88Gauss，磁場變化也會引起原子鐘守時誤差。同樣，GPS衛星也設計了專門的卡爾曼濾波器對磁場頻移進行補償。由于GPS銫鐘設計了專門的磁場補償電路，因此星上磁場變化主要影響的是銣鐘。波音公司估計了在全部數據齡期范圍內，GPS IIF星載銣鐘受磁場變化影響對守時產生的誤差約為0.14ns，該值即圖6系統補償曲線的標準差。

圖6 控制段磁場補償曲線

綜上，GPS星載鐘對URE的貢獻主要包括3個方面：隨機噪聲(穩定度)、磁敏感度和溫度系數，其中銫鐘的貢獻主要是隨機噪聲和溫度系數，銣鐘的主要貢獻是隨機噪聲和磁敏感度，不同的因素可認為是相互獨立的，對URE的貢獻采用均方根方法進行組合。

2 原子鐘穩定度估算與URE貢獻

根據分析，原子鐘穩定度是定位誤差的重要影響因素之一。利用國際GNSS監測評估系統(international GNSS Monitoring & Assessment System，iGMAS)提供的鐘差產品，能夠實現對各大導航系統在軌原子鐘性能的評估[16]。圖7所示為利用iGMAS提供的最終鐘差產品估算的GPS銣鐘(G23(III)、G25(IIF))和北斗系統銣鐘(C32、C33)及氫鐘(C25、C26)去漂移后的阿倫方差穩定度數據。為了盡可能反映原子鐘的隨機噪聲，選取原子鐘輸出頻率無異常波動的連續1個月(20210122—20210220)運行數據進行計算，其中PRN編號為C33的北斗衛星銣鐘在2021年2月12日進行準確度調整，頻率準確度不連續，取20210113—20210211的30d數據。根據圖7可知，去漂移后，2臺北斗銣鐘和2臺北斗氫鐘的穩定度近似，除G25銣鐘外(G25銣鐘存在周期性頻率波動，影響了千秒到萬秒的穩定度)，5臺原子鐘在10000s以內的穩定度相當，在天穩定度方面，2臺GPS銣鐘的指標更好。

圖7 原子鐘穩定度(去漂移)

上述6臺原子鐘隨機噪聲產生的等效定位誤差均方根值如圖8所示。估算數據與原子鐘穩定度對應，當數據齡期小于1h時，6臺原子鐘的噪聲對定位誤差的影響相當;當數據齡期為1d時，北斗原子鐘噪聲產生的誤差均方根值約為0.5～0.6m，GPS原子鐘約為0.2～0.3m。

圖8 原子鐘隨機噪聲引起的等效定位誤差均方根值

值得注意的是，上述分析僅考慮了原子鐘噪聲的影響，實際上根據式(1)，原子鐘自身對鐘差的主要影響除自身噪聲外，還有頻率漂移率，其影響主要體現在定位偏差上。根據iGMAS的鐘差數據，上述2臺北斗銣鐘的頻率漂移率指標均在1×10-13/d左右，2臺北斗氫鐘的頻率漂移均小于5×10-15/d。因此，在實際工程應用中，氫鐘與銣鐘雖然具有相當的隨機噪聲，但控制段對星鐘頻率漂移率的估算和補償無法做到完美的程度，頻率漂移率的優勢使氫鐘比銣鐘能夠獲得更好的鐘差指標。

3 結論

本文針對原子鐘性能與衛星導航定位精度的關系，從原理和GNSS的工程驗證結果兩方面進行了分析，結果表明：

1)星載原子鐘對導航定位系統的誤差影響包括兩方面：偏差和隨機誤差，分別對應于原子鐘的準確度和穩定度。

2)針對偏差，控制段可對星載原子鐘進行同步校準、漂移率補償以及工作溫度和磁場變化補償，但補償和同步存在系統誤差，無法完全消除偏差，且無法消除的偏差會直接引起定位的偏差。

3)對于星載原子鐘穩定度引起的隨機誤差難以直接消除，目前最有效的方法仍是提升穩定度指標來減小該誤差。根據分析，在不考慮其他誤差的情況下，當數據齡期為1d，原子鐘天穩定度為2×10-14時，由此因素引起的時鐘誤差小于2ns，即對URE的貢獻小于0.6m；未來若將原子鐘天穩定度提升至優于3×10-15，則穩定度引起的定位誤差將在0.1m以內。