新高考數學解析幾何試題分析及教學建議

嚴運華

2021年是廣東省實施新高考改革的第一年，高考數學不再分文理科，不同選科（3+1+2）的考生都采用同一套試題. 新高考仍然堅持中國高考評價體系“一核、四層、四翼”的命題指導思想，試題將“四層”的考查內容及學科關鍵能力的考查與思想道德的滲透有機結合，通過科學設置“學科核心素養”考查的總體布局，實現融知識、能力、價值的綜合測評，從而使“立德樹人”真正在高考評價實踐中落地. 新高考數學試卷呈現新的特點：首先表現在試卷結構上，全卷共22道試題，其中選擇題（單選）8道，選擇題（多選）4道，填空題4道，解答題6道;其次在試卷的考查內容上，依據課程標準的要求，取消了原來高考數學試題中的選做題（坐標系與參數方程、不等式選講）;在具體題目的設計上也有新的變化. 本文對2021年新高考全國數學Ⅰ卷解析幾何試題進行分析并提出教學建議.

一、2021年新高考數學解析幾何考查的知識點和核心素養情況

由右上表可知，2021年新高考全國卷解析幾何試題特點為：從內容來看，覆蓋了直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線等知識，著力于圓錐曲線的定義、方程、幾何性質等主干知識的價值和考查力度;從思想方法來看，突出對數形結合、函數與方程、化歸與轉化、分類與整合等數學思想、方法的理解與應用;從核心素養來看，試題體現對數學運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養的考查. 其中，特別凸顯直觀想象與數學運算素養的考查，解析幾何中的邏輯推理可利用“形”的特征，結合曲線的定義與平面幾何的有關性質予以證明或轉化為代數運算來證明. 也就是說，邏輯推理核心素養的考查一般寓于直觀想象和數學運算之中. 由于每道試題的解法多樣，不同的解法體現不同的數學核心素養，同一解法中也不只涉及一種核心素養. 一道試題的完成需要學生具有良好的數學素養，要綜合運用多方面的核心素養分析問題并解決問題. 上表中試題體現的數學核心素養的水平判斷，是依據《普通高中數學課程標準（2017版2020年修訂）》中核心素養水平的界定原則而確定的.

二、2021年新高考數學解析幾何典型試題分析

新高考數學解析幾何試題解法入口寬，且隱含著一般性結論. 也就是說，命題者是將一般化的結論特殊化處理后得到了高考試題.

例1.（2021年新高考全國數學Ⅰ卷第5題）已知F1，F2是橢圓C：+=1的兩個焦點，點M在C上，則MF1·MF2的最大值為（? ）

A. 13? B. 12? C. 9? D. 6

分析：這是一道單選題，解題方法多，既可用基本不等式也可用二次函數最值進行求解.

解法1：由橢圓定義得MF1+MF2=2a=6，再根據基本不等式

MF1·MF2≤（）2（等號當且僅當MF1=MF2=3時成立），故選C.

解法2：設MF1=t，則MF2=6-t，則MF1·MF2=-（t-3）2+9，由二次函數性質知，MF1·MF2的最大值為9，故選C.

此題隱含的一般結論為：

定理1：已知F1，F2是橢圓C：+=1（a>b>0）的兩個焦點，點M在C上，則MF1·MF2的最大值為a2，最小值為b2.

證明：設MF1=t，則MF2=2a-t，且a-c≤t≤a+c，c為半焦距.

則MF1·MF2=-（t-a）2+a2，而a-c≤t≤a+c，當t=a時，MF1·MF2的最大值為a2，當t=a+c或t=a-c時，MF1·MF2的最小值為a2-c2，即為b2.

例2.（2021年新高考全國數學Ⅰ卷第21題）在平面直角坐標系xOy中，已知點F1（-，0），F2（，0），點M滿足MF1-MF2=2. 記M的軌跡為C.

（1）求C的方程;

（2）設點T在直線x=上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點和P，Q兩點，且TA·TB=TP·TQ，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

分析：本題第1問，利用雙曲線的定義即可求解，但要注意雙曲線定義的嚴謹性，由于MF1-MF2=2<2=F1F2，故只能是雙曲線的右支;

第1問還可以直接建立動點M的方程，然后通過化簡得出所求的軌跡.當然，這種方法在化簡方程時較為繁瑣. 第一種方法比較快捷.

（1）因為MF1-MF2=2<2=F1F2，所以軌跡C是以F1，F2為焦點，實軸長2a=2的雙曲線的右支，則a=1，c=，所以b2=c2-a2=16，所以C的方程為x2-=1（x≥1）.

第2問可根據兩點間的距離公式，直接求出TA·TB以及TP·TQ，從而得出直線AB的斜率與直線PQ的斜率關系;也可利用平面幾何知識轉化為A，B，P，Q四點共圓問題，從而找出經過A，B，P，Q四點的曲線方程，根據圓的方程特征，確定直線AB的斜率與直線PQ的斜率關系.

（2）解法1：用直線的點斜式方程和弦長公式求解.

設點T（，t），若過點T的直線的斜率不存在，此時該直線與曲線C無公共點，不妨設直線AB的方程為y-t=k1（x-），即y=k1x+t-k1，

聯立y=k1x+t-

k1，

16x2-y2=16，消去y并整理可得：

（k12-16）x2+k1（2t-k1）x+（t-k1）2+16=0

設點A（x1，y1）、B（x2，y2），則x1>且x2>. 由韋達定理可得x1+x2=，x1x2= 所以：

TA·TB=（1+k12）·x1-

·x2-

=（1+k12）·（x1x2-+）=.

設直線PQ的斜率為k2，同理可得TP·TQ=，

因為TA·TB=TP·TQ，即=，整理得k12=k22，即（k1-k2）（k1+k2）=0，顯然k1-k2≠0，故k1+k2=0. 因此，直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

解法2：用圓的方程特征求解.

因為點T在直線x=上，故設T（，n），設過點T的直線AB的方程為y-n=k1（x-），設過點T的直線PQ的方程為y-n=k2（x-），則直線AB，PQ的方程為（k1x-y+n-k1）（k2x-y+n-k2）=0.

又A，B，P，Q四點在曲線C上，即x2-=1，所以A，B，P，Q四點在如下的曲線上，（k1x-y+n-k1）（k2x-y+n-k2）+x2--1=0.

因為TA·TB=TP·TQ，根據圓的切割線定理的逆定理，知A，B，P，Q四點共圓，所以上面這個方程表示過A，B，P，Q四點的圓，所以左邊展開后x2，y2項的系數相等，且xy項的系數為零. 而xy項的系數為-（k1+k2），故 k1+k2=0.

解法2充分利用了曲線與方程的關系，結合圓的方程的特征得出結論.

此題第2問隱含的一般結論為：

定理2：過點T的兩條直線分別交曲線C：ax2+by2=c（a≠b）于A，B兩點和P，Q兩點，且TA·TB=TP·TQ，則直線AB的斜率與PQ直線的斜率之和為零.

定理3：設兩條直線y=kix+bi（i=1，2）與曲線ax2+by2+cx+dy+e=0（a≠b）有四個不同的交點，若這四個交點共圓，則k1+k2=0.

定理2與定理3本質相同，因為由平面幾何切割線定理的逆定理知：TA·TB=TP·TQ等價于A，B，P，Q四點共圓.

證明：兩直線組成的曲線方程為（k1x-y+b1）（k2x-y+b2）=0，

則過四個交點的曲線方程可設為：

（k1x-y+b1）（k2x-y+b2）+λ（ax2+by2+cx+dy+e）=0……①

若四點共圓，則方程①表示圓，那么①式左邊展開式中xy項的系數為零，即有k1+k2=0.

顯然，例2是定理2、定理3的一個特例，近年高考命題常以一般結論為源，將其特殊化而得. 由于將一般命題特殊化的題目往往有多種解法，為不同水平的考生提供展示才能的機會.

三、新高考數學解析幾何的教學建議

解析幾何是高中數學的重要內容，也是高考數學的重點和難點，學生得分一直不太理想. 教師要加強研究，明晰高考解析幾何的試題特點，調整教學策略，提升學生數學核心素養.

（一）注重通性通法，強化四種意識

解析幾何的教學要狠抓基礎，熟練方法. 對定義法、待定系數法、數形結合、求軌跡的幾種常見方法、定點、定值、最值等基本方法要牢固掌握;解析幾何教學與復習要強化四種意識.

1. 回歸定義的意識

圓錐曲線定義體現了圓錐曲線的本質屬性，運用圓錐曲線定義解題是一種最直接、最本質的方法，往往能收到立竿見影之效. 回歸定義與數形結合相得益彰，成為解題中最美的風景，體現幾何直觀與數學推理的素養. 教師要提醒學生千萬不可“忘本忘形”. 波利亞說：“當你不能解決一個問題時，不妨回到定義去.”定義是解決問題的原動力. 不可忽視定義在解題中的應用. 凡涉及圓錐曲線焦點、準線、離心率與曲線上的點的有關問題，可考慮借助圓錐曲線定義來轉化.

2. 數形結合意識

華羅庚先生曾這樣描述數形關系：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛. 數缺形時少直覺，形少數時難入微. 數形結合百般好，隔裂分家萬事非. 切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離！”數形結合是解析幾何的基本方法， 是直觀想象與數學運算、邏輯推理的具體體現.

3. 設而不求的意識

用解析法處理幾何問題， 常常設出點的坐標而不具體求出. 根據點在曲線上，坐標是有關方程解的代數特征，靈活運用方程理論，通過整體思想處理坐標關系，是設而不求的實質. 如果涉及曲線交點的問題，可不求出交點的坐標，而是轉化為利用韋達定理或“點差法”的形式，可快速做出正確的解答.

4. 應用“韋達定理”的意識

如果直線與二次曲線的位置關系， 聯立直線方程和二次曲線方程，消去一個變量后得到一個一元二次方程，利用判別式和韋達定理. 其中判別式是前提，通過判別式確定參數范圍，應引起重視.

（二）活用四種思想，加強知識聯系

高考解析幾何解答題綜合性強，需要綜合運用多種數學思想，對學生的數學素養要求高. 函數思想、方程思想、不等式思想以及化歸與轉化思想等在解析幾何中有著廣泛的應用.? 解析幾何中的參數范圍、圓錐曲線的幾何性質以及直線與圓錐曲線的位置關系，一直是高考考查的熱點. 求解的關鍵是根據圓錐曲線的有關性質，構造方程或不等式，根據直線與圓錐曲線的位置關系確立目標函數，將問題化歸為目標函數的最大值或最小值等問題. 這些都需要靈活運用函數、方程、不等式以及化歸與轉化等數學思想.

注：本文系廣東省教育科研“十三五”規劃課題“高中數學核心素養的培養及評價研究”（課題批準號：2017 YQJK023）的階段性成果.

責任編輯 羅 峰