學會欣賞高考試題，引領課堂教學方向

陶磊

2021年是新高考“3+3”模式、“3+1+2”模式在全國大范圍實踐的第一年. 新高考模式下的高考數學試題將數學素養的考查融入平淡無奇的背景之中，不僅充分體現了命題人的命題智慧，也為廣大的一線教師研究數學教學提供了寶貴的材料，為今后的課堂數學教學指明了方向. 本文是筆者研讀高考試題的一些心得體會.

一、重視基本概念，從課本中汲取營養

例1. 有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球. 甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則（? ?）

A. 甲與丙相互獨立

B. 甲與丁相互獨立

C. 乙與丙相互獨立

D. 丙與丁相互獨立

賞析：這道試題背景在課本中屢見不鮮，學生非常熟悉. 許多考生出考場后非常開心，都認為第8題很簡單，答案就是A. 因為事件甲和事件丙之間是否發生相互不受影響. 其實，這道試題的考點非常明確，就是考查事件的相互獨立性.

設A，B為兩個事件，若P（AB）=P（A）P（B），則稱事件A與事件B相互獨立. 顯然，要正確解答這道試題，首先是要計算出甲、乙、丙、丁等相關事件的概率，然后再根據事件的相互獨立性的定義做出判斷. 因此，相關事件概率的計算才是本道試題考查的核心. 這么多個概率值，如何能迅速、準確地計算出來？其實，課本上早已經給出了最有效的計算方法——列表法. 如下表所示，豎列數字表示第一次取出的球的數字，橫排數字表示第二次取出的球的數字，以坐標的形式表示隨機兩次取出的球的數字的所有情況. 從表中，我們可以很輕松地計算出甲、乙、丙、丁四個事件的概率分別是、、、. 由事件的相互獨立性的定義P（AB）=P（A）P（B）來判斷，只有答案B是正確的.

二、掌握基本方法，根據問題融會貫通

例2. 已知數列{an}滿足a1=1，

an+1=an+1，n為奇數

an+2，n為偶數 .

（1）記bn=a2n，寫出b1，b2，并求數列{bn}的通項公式;

（2）求{an}的前20項和.

賞析：本試題是利用分段函數的形式來給出數列{an}的遞推式，許多學生直接計算求出答案，這種解題方式缺少了“數學味”. 其實，我們將題目轉換成另一種表達方式就很容易看清題意.

當n為奇數時，記n=2k-1（k∈N+），則a2k=a2k-1+1. 當n為偶數時，記n=2k（k∈N+），則a2k+1=a2k+2. 由此，我們就很容易得出：a2k+1=a2k-1+3、a2k+2=a2k+3. 這也就是說：在數列{an}中，a1，a3，a5，…構成一個以1為首項、3為公差的等差數列;a2，a4，a6，…，an構成一個以2為首項、3為公差的等差數列. 看清了問題的本質，解答問題就等心應手了.

例3. 在平面直角坐標系xOy中，已知點F1（-，0），F2（，0）點M滿足MF1-MF2=2. 記M的軌跡為C.

（1）求C的方程;

（2）設點T在直線x=上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點和P，Q兩點，且TA·TB=TP·TQ，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

賞析：第（1）問是考查雙曲線的定義.根據雙曲線的定義，很容易求出軌跡C為雙曲線的右半支，其方程為x2-=1（x≥1）.

第（2）問是本道試題考查的重點和難點. 首先是如何利用數學表達式來表示TA·TB=TP·TQ;其次，就是計算問題. 弦長公式是高中學生最熟悉的公式之一，如弦長AB==. 其實，弦長公式就是由平面上兩點間的距離公式經推導變形而來的. 也就是說，TA·TB=TP·TQ也可以使用弦長公式來進行轉換運算.

如設點T（，n），直線AB的方程為：y-n=k1（x-），聯立y-n=k1（x-

），

x2

-=1，得（16-k12）x2+（k12-2k1n）x-k12-n2+k1n-16=0. 由韋達定理可以得到xA+xB=，xAxB=. 由于交點A、B均在直線x=的右側，所以TA=（xA-）、TB=（xB-），故TA·TB=（1+k12）（xA-）（xB-）=（1+k12）[xAxB-（xA+xB）+]. 同理也可以求出TP·TQ的表達式，再由TA·TB=TP·TQ得出等式，將所得到的等式化簡、整理、計算，可以求出直線AB的斜率k1與直線PQ的斜率k2之和為0.

三、加強數學實驗，用數學思維分析問題

例4. 某校學生在研究民間剪紙藝術時，發現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折. 規格為20dm×12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規格的圖形，它們的面積之和S1=240dm2，對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規格的圖形，它們的面積之和S2=180dm2，以此類推. 則對折4次共可以得到不同規格圖形的種數為? ? ? ? ;如果對折n次，那么Sk=? ? ? ? ?dm2.

賞析：這道試題的背景平凡普通，是希望通過考查學生的具體實驗操作，讓學生在思維層次上體驗從感性認識上升到理性認識的完美過程. 對稱折紙，在小學數學中就有這種實踐體驗，但是在高考試題中出現，主要的目的還是考查學生的抽象思維能力. 由于長方形是軸對稱圖形，沿對稱軸對折后得到的圖形依然是長方形. 對折1次共可以得到兩種規格的圖形，它們的面積之和S1=240×（）1×2=240dm2;對折2次共可以得到三種規格的圖形，它們的面積之和S2=240×（）2×3=180dm2. 以此類推，對折n次共可以得到n+1種規格的圖形，它們的面積之和Sn=240×（）n×（n+1）dm2. 顯然，計算Sk是考查數列求和的重要方法——錯位相減法. 將重要的考點不動聲色地藏于平凡普通的背景之中，這不能不讓人贊嘆命題人的命題智慧！這也真實、生動地闡釋了“數學來源于現實，但又高于現實”的內涵.

當然，讓學生在考場上做實驗、慢慢地研究其中的規律并歸納總結，顯然難度是極大的. 高考試題與其是說考查學生數學實驗的能力，倒不如說是考查學生“用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界”的良好習慣.

責任編輯 羅 峰