二次函數(shù)易錯點剖析

王進軍

二次函數(shù)是中考數(shù)學中的“常客”，許多同學在計算中常會出現(xiàn)各種錯誤，導致失分.本文就二次函數(shù)常見易錯點剖析如下，以供同學們參考.

一、忽視二次項系數(shù)不等于零

例1 已知二次函數(shù)y = ax2 - 6x + 3的圖象與x軸有交點，則a的取值范圍是（ ）.

A. a<3? ? B. a<3 且a ≠ 0? C. a ≤ 3? D. a ≤ 3 且a ≠ 0

解析：由題意得Δ = （-6）2 - 4a × 3 ≥ 0且a ≠ 0，即a ≤ 3 且a ≠ 0.

故選D.

易錯點剖析：欲求a的取值范圍，須同時滿足函數(shù)是二次函數(shù)和圖象與x軸有交點. 解題時尤其注意不要遺漏第一點.

二、忽視根的判別式

例2 已知拋物線y = [-12x2]? + （6 - [m2]）x + m - 3與x軸有兩個交點A，B，且A，B關于y軸對稱，求m的值.

解析：因為A與B關于y軸對稱，所以拋物線的對稱軸為y軸，

即直線 - [6-m22×-12=0]，解得m = 6或m = - 6.

當m = 6時，拋物線的解析式為y = [-12x2] + 3，

此時Δ = b2 - 4ac = 02 - 4 × [-12] × 3 = 6 > 0，方程[-12x2] + 3 = 0有兩個不相等的實數(shù)根，

即拋物線y = [-12x2] + 3與x軸有兩個交點，符合題意.

當m = - 6時，拋物線解析式為y = [-12x2] - 9.

此時，Δ = b2 - 4ac = 02 - 4 × [-12]? × （-9） =? -18 < 0，

方程[-12x2] - 9 = 0沒有實數(shù)根，

即拋物線y = [-12x2] - 9與x軸沒有交點，不符合題意，舍去.

綜上所述，m的值為6.

易錯點剖析：拋物線與x軸有兩個交點，也就是它對應的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以Δ = b2 - 4ac > 0.如果忽視根的判別式在解題中的作用，可能會擴大解的范圍，導致錯誤.

三、忽視隱含條件

例3 若y關于x的函數(shù)y = （a - 2）x2 - （2a - 1）x + a的圖象與坐標軸有兩個交點，則a可取的值是多少？

解析：當a = 2時，函數(shù)的解析式為y = - 3x + 2，

函數(shù)圖象與y軸的交點坐標為（0，2），與x軸的交點坐標為[23，0] .

當a ≠ 2且a ≠ 0時，函數(shù)y = （a - 2）x2 - （2a - 1）x + a的圖象與y軸有一個交點（0，a），

此時函數(shù)圖象與x軸只有一個交點，

則關于x的一元二次方程（a - 2）x2 - （2a - 1）x + a = 0有兩個相等的實數(shù)根，

所以Δ = [- （2a - 1）]2 - 4 × （a - 2）a = 0，解得a = [-14].

當a = 0時，函數(shù)解析式為y = -2x2 + x，其圖象與y軸的交點為原點，與x軸的交點為[12，0] .

綜上可得，a = 2或[-14]或0.

易錯點剖析：題中只提到“y關于x的函數(shù)”，并沒有指明是二次函數(shù)，所以需要分一次函數(shù)和二次函數(shù)兩種情況進行討論. 另外要注意在二次函數(shù)的情況下要分圖象與y軸的交點在原點和不在原點兩種情況.

能力提升

1. 若二次函數(shù)y = mx2 + x + m（m - 2）的圖象經(jīng)過原點，則m的值為（ ）.

A. 0或2? ? ? B. 0? ? ? C. 2? ? D. 無法確定

2.已知拋物線y = -2x2 +（4 - a2）x + a - 1與x軸有兩個交點A，B，且A，B關于y軸對稱，則a的值為（ ）.

A. -2? ? ? ? B. -2或2? ? ? C. 2? ? ? D. 4

3.已知y關于x的函數(shù)y = kx2 - 2（k + 1）x + k + 3的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是（ ）.

A. k ≤ 1? ? B. k ≤ 1且k ≠ 0? C. k ≠ 0? ? D. 無法確定

參考答案：1. C（提示：函數(shù)y = mx2 + x + m（m - 2）是二次函數(shù)，故二次項系數(shù)不等于0.）

2. C（提示：注意Δ = b2 - 4ac > 0. ）

3. A（提示：當k = 0時，函數(shù)為一次函數(shù)y = -2x + 3，其圖象與x軸有一個交點.）