“創課導學”教學法在數學建模課中的應用

陳嘉穎 余莉

數學建模是高中數學六大核心素養之一，其意義在于利用數學語言、數學符號、數學式子等對現實問題進行抽象刻畫，構建數學模型以解決實際問題.數學建模課是以培育學生數學建模核心素養為目標的課型，當前這一課型越來越受到教師們的重視.不少學生對數學建模表現出濃厚興趣，但也有部分學生不知如何運用建模思維解決實際問題，教學中仍然存在著“教師出題，學生解題”的刻板化教學行為.

“創課導學”教學法借助“e-數學實驗室”平臺，創設了“問題導向、實驗導學、目標解惑”的教學路徑，能夠有效突破這一教學困境.這一教學法使學生從知識的被動接受者轉變為主動獲取者，轉變為基于“創課導學”的小組合作學習者，轉變為基于重點問題展開的教學活動的積極參與者，充分體現了學生的學習主體地位，激活了學生的數學思維.

本文將以“線性相關與回歸分析”教學為例，根據數學建模課的“創課導學”策略（如圖1），講解如何運用“創課導學”教學法設計與實施數學建模課.

一、基于學情的教學內容及教學目標分析

“線性相關與回歸分析”是歷年高考數學試題中的熱門考點.本課教學內容安排在人教A版高中數學必修3 “2.3.1 變量間的相關關系”之后，為選修2—3第三章“回歸分析的基本思想及其初步應用”的第二課時.本課教學的重點是引導學生利用已經學過的散點圖、相關系數、直線回歸方程等知識進行回歸分析，培養數學建模意識與能力.

課前，學生已系統學習了收集、整理、描述和分析等數據處理方法，以及回歸分析的基本思想.本課將進一步引導學生認識現實中存在的不能用函數模型描述的變量，然后通過體會樣本、探究變量間的相關關系等獲取線性回歸方程，描述、刻畫隨機現象.這是一種用樣本估計總體的數學思想，是一個數學建模的過程，能夠有效發展學生的建模素養，培養學生運用線性回歸方程解決問題的意識，提升運用數學知識解決實際問題的能力.

根據學情和本課授課意圖，我們設計了如下學習目標：①通過隨機現象實例理解生活中存在的變量的相關關系，并能判別兩個變量是否存在相關關系;②通過探究兩個變量的線性回歸方程，體會最小二乘法的思想，發展數學建模素養;③利用信息技術求出兩個變量的線性回歸方程，利用所得線性回歸方程進行估計和預測，發展數據分析素養.

目標①是目標②、目標③的基礎.設計目標①的目的，是將隨機現象與變量的相關關系結合起來，讓學生在認知隨機現象的過程中體會變量的相關關系.教學中，教師不僅要給學生提供或引導學生尋找理解變量的相關關系的實例，還要創造合適時機讓學生自主辨別變量的相關關系，進而理解“變量間的關系并不都是確定的函數關系，更多情況下是相關關系”這一知識點.

在學生達成目標①的基礎上，我們設計了目標②，進一步引導學生利用線性回歸方程近似刻畫變量的相關關系.教學中，教師可利用信息技術，幫助學生從圖象中直觀認識“從整體上看，當各點與此直線的距離最小時，用直線方程能最好地表示兩個變量的相關關系”，從而較深入地理解最小二乘法思想.

目標③的設計是為了提高學生運用線性回歸方程進行估計與預測的能力，讓學生進一步體會“用樣本估計總體”的思想和數學建模的過程.教學時，教師需要借助信息技術工具，引導學生利用從具體實例中得到的樣本數據建立線性回歸方程，然后用線性回歸方程進行估計、預測.

這三個目標的設計，充分體現了“創課導學”教學法的三大策略：設計有層級、有梯度的問題，以問題為線索推進課堂教學，體現“問題導向”;通過隨機現象的引入，激發學生主動探究、動手實操的積極性，讓學生在實驗過程中學習和理解知識，體現“實驗導學”;通過設計符合學生學情的梯度目標，讓學生在達成目標的過程中逐步解決心中疑惑，體現“目標解惑”.

根據這三個目標，我們應用“創課導學”教學法展開了“線性相關與回歸分析”數學建模課教學.

二、教學實施過程

（一）問題導向：從實際情境中發現問題，從數學角度提出問題

數學建模課的宗旨，是讓學生學會用數學的知識、思想方法和思維方式建立數學模型，從數學的角度解決有意義的現實問題.因此，數學建模所面對的問題，應該是真實、具體且能激發學生研究興趣的現實問題.這正是“創課導學”教學法所倡導的，從現實生活中挖掘教學素材、發現問題，然后根據素材設計教學問題、創設情境，引導學生觀察、分析、思考并解決相關問題的“問題導向”.

2020年，新冠肺炎疫情來襲，社會正常生活受到很大影響.從這場疫情中，我們發現了蘊藏其中的數學教學資源，并據此設計了“線性相關與回歸分析”一課的教學.

師：2020年春節前夕，一場突如其來的新冠肺炎疫情打亂了我們的生活節奏.在黨和國家的領導下，全國人民齊心協力，社會生活秩序逐漸恢復正常，新冠肺炎疫情防控工作從應急狀態轉為常態化.在常態化抗疫階段，我們應該怎樣進行自我防護呢？

生：戴口罩，勤洗手，少聚集，保持安全社交距離.

師：僅僅做到這些還不夠，新冠肺炎疫情在全球范圍內的流行還沒有結束.為了鞏固這來之不易的抗疫成果，最有效的辦法是什么？

生：接種新冠疫苗.

師：對的，通過科學有序地接種新冠疫苗，逐步建立人群免疫屏障，才能阻斷新冠肺炎的繼續傳播.關于我國的新冠疫苗接種的問題，大家最關心的是什么？

生1：我國新冠疫苗接種的總體情況是怎樣的？

生2：接種劑數呈現什么樣的變化趨勢？

生3：我國疫苗接種劑數什么時候能達到10億？

師：看來同學們的關注點都很有現實意義.我們要怎樣用學過的數學知識和方法來解決大家剛才提出的問題呢？

生：需要收集相關的數據，比如現在全國接種疫苗的劑數.

師：只需要知道今天接種疫苗的劑數就夠了嗎？

生：不夠，需要知道一段連續時間內每一天的接種劑數，然后求出一個函數解析式.

師：你的想法非常好，可以試一試.老師想提醒大家的是，數據來源一定要科學準確、具有權威性.（師組織學生登錄國家衛生健康委員會官網，收集最近75天新冠疫苗接種劑數的數據，輸入Excel表格.）

將現實問題轉換成數學問題，是進行數學建模的第一步.教師選擇當前社會熱點新聞作為教學的切入點，貼近學生實際生活，容易引發共鳴.教學中，教師創設基于現實生活的實驗情境，引導學生從數學角度提出新的問題，指導學生收集資料、整理數據，在解決問題過程中感受數學建模的意義和學習的樂趣，正是“創課導學”教學法之“問題導向”的意義所在.

（二）實驗導學：用變量思想確定參數，用建模思維模擬實驗

用貼近生活實際的問題，為學生創設生動的學習情境，較好地完成了課堂導入環節，并且讓學生形成了問題意識，為在下一個教學階段中有效引導學生進行數學建模打下了基礎.

師：觀察Excel表格中的數據，你能了解我國新冠疫苗接種的總體情況嗎？

生：數據太多，只看得出接種劑數每天都在增加，應該是累計接種劑數隨著累計接種天數的增加而遞增.

師：你說得非常棒，老師覺得你已經對這個規律性有了猜想.具體是什么呢？請你大膽說出來！

生：也許是一次函數關系吧，不太確定.

師：順著你的思路，如果是一次函數，應該怎么設置變量呢？

生：設置兩個變量，累計接種天數和累計接種劑數.

師：回想一下我們學過的統計知識，應該怎樣操作才能直觀感受兩個變量是否具有線性相關關系？

生：繪制散點圖.

師：非常精彩！那我們還等什么！（展示問題一：累計接種天數與累計接種劑數之間是否存在線性相關關系？如何判斷？）

根據問題一，學生進行分組合作，分別選取累計接種15天、30天、45天的數據，使用計算機Excel軟件繪制散點圖（如圖2），然后進行小組討論、展示.

生：3個圖中的點都是散布在從左下角到右上角的區域內，而且大概能連成一條線，所以累計接種天數與累計接種劑數之間存在線性相關關系，為正相關關系.

師：能求出線性回歸方程嗎？（展示問題二：如果累計接種天數與累計接種劑數之間存在線性相關關系，如何運用線性回歸方程進行刻畫？）

學生運用Excel工具，按照“選定散點圖→添加趨勢線→選定‘線性選項→勾選‘顯示公式”的步驟進行實驗，最終寫出了線性回歸方程式，如圖3.

師根據學生作圖和所列線性回歸方程，展示問題三：所建立的線性回歸方程是否有效、可靠？用什么方法判斷？

生借助Excel軟件，在求線性回歸方程的操作步驟中增加勾選“顯示R平方值”，利用樣本相關系數來刻畫線性相關的程度，如圖4.

生：由圖4可以看出，這3個線性回歸方程的相關系數已經逼近1，說明累計接種天數與累計接種劑數之間具有很強的正相關關系，也說明我們選擇的線性回歸模型是恰當的.

師：解釋得很到位！隨著累計接種天數的增加，我們建立的線性回歸方程也在不斷修正.如果將累計接種天數增加到60天、75天，累計接種天數與累計接種劑數之間還存在線性相關關系嗎？（展示問題四：如何修正已經建立的回歸模型？）

生根據已建立的線性回歸方程，進一步增加觀察天數，對原有的線性回歸方程進行修正，如圖5.

生1：我們小組通過散點圖對比，發現散點與直線擬合的程度沒有那么好了，更像是曲線，像是底數大于1的指數函數圖象.

生2：也像開口向上的對稱軸在右側的二次函數圖象.

生3：還像冪函數圖象.

師：大家的猜想都很有意思，這種數學直覺特別珍貴！數學是一門理性的科學，猜想只是起點，還需要用我們已經學過的數學知識和方法去驗證.星星之火能否熊熊燃燒，就看你們的了！

生利用Excel軟件操作繪圖，驗證猜想，如圖6.

生：當累計接種天數為75天，擬合成線性回歸模型時，相關系數是0.906 3，說明線性相關關系仍然很強;擬合成指數模型、多項式模型時，相關系數分別是0.995 4、0.991，說明這兩個模型比線性回歸模型更符合實際情況;擬合成冪函數模型時，相關系數是0.822 3，也超過了0.75，但與實際有所偏離.

師：分析得很全面！除了建立線性回歸模型，我們還可以建立其他類型的回歸模型，并通過這些模型的相關系數來比較孰優孰劣.

數學建模的順利完成離不開信息技術的支持，信息技術與課堂教學的深度融合提升了課堂教學效果.因此，教師必須熟練掌握GeoGebra、幾何畫板、Excel等軟件的操作，才可以在建?；顒又羞m時對學生進行應用指導.在本課教學中，我們通過設計4個有梯度的問題，引導學生利用Excel軟件完成觀察、猜想、操作、對比、推理、修正的建模過程，提高了學生的建模意識和能力.

在“實驗導學”過程中，教師通過有效的問題引導學生進行多樣化實驗，并在實驗過程中不斷改進、提升.這樣的教學設計讓學生經歷了上述數學建?；顒拥娜^程，且能夠在“做中學”、在“學中會”，發展了學生的合作意識、創新能力.

（三）目標解惑：借量化思想計算求解，借檢驗結果梳理思路

建模的最終目的是發展學生的核心素養，提高其解決實際問題的能力.為此，我們對本課進行了適當延伸.

師：你們會選擇哪種線性回歸模型來預測我國疫苗累計接種劑數什么時候能達到10億？（展示問題五：如何利用模型幫助我們做出預測？）

生根據此前建立的線性回歸方程進一步進行預測、驗證，如圖7.

生：在Excel軟件里，先選定累計接種75天的散點圖，然后在菜單中選定“設置趨勢線格式”選項，接著選定“指數”選項，在“趨勢線預測”標簽下，將“前推”周期分別設置為10、11、12、13.通過觀察比較，可發現當周期值為12時，縱軸的取值約為10億.按照線性回歸模型預估，在6月17日，全國疫苗累計接種劑數有望達到10億.

師：非常棒！你能夠很好地利用線性回歸方程和Excel對問題做出合理的預測.除了上面的問題，老師還有一些問題需要同學們在課后解決.

師課件呈現問題：①相關關系與函數關系有什么區別與聯系？②在什么情況下用線性回歸方程刻畫兩個變量的相關關系可以獲得較好結果？③用線性回歸方程進行估計和預測的基本步驟是什么？④你現在會如何判斷兩個變量的相關程度了嗎？

本節基于“創課導學”的數學建模課，按照“問題導向、實驗導學、目標解惑”的教學策略組織教學，體現了3個層次的設計意圖：一是用實際問題導入，創設生動的問題情境，激發學生興趣;二是設計有層次的問題，采用實際案例，引導學生經歷整個建模過程，學習建模方法，增強其分析和解決問題的能力;三是小組合作探究解決問題，提高合作意識和探究能力，培養開放包容、敢于創新的精神.（題圖左為作者余莉，右為作者陳嘉穎）

（責編 蒙秀溪）