基于信號經驗模態分解與分集合并的齒輪故障診斷

鄧博元，崔偉成，曾慶松，李晨瑄

(海軍航空大學，山東 煙臺 264001)

0 引言

齒輪傳動是各種工業設備中應用廣泛的機械傳動方式之一，具有結構緊湊，工作可靠等優點。但是，齒輪也是故障發生較多，故障檢測困難的零件之一。統計數據表明，齒輪箱中的齒輪發生故障的比例高達60%[1]。齒輪一旦出現故障，輕則會影響設備正常運轉，嚴重的甚至會危害操作人員的人身安全。所以對齒輪故障的及時檢測診斷具有十分重要的意義。

當前，通常使用振動信號分析的方法對機械設備進行故障診斷。齒輪發生故障時的振動信號可以看做多個調頻—調幅信號的疊加，具有非平穩，非線性的特點[2]。同時，由于機械設備運行時的背景噪聲以及振動信號傳輸路徑等因素的影響，從包絡譜中直接獲取齒輪故障的特征頻率較為困難，如何從復雜的齒輪振動信號中提取出故障特征信號成為了當下研究的熱門話題。

針對振動信號非平穩、非線性的特點，目前應用較多，效果較好的方法是信號自適應分解類方法，尤其是基于經驗模態分解(empirical mode decomposition，EMD)的故障診斷方法。該類方法的主要流程是首先對原始信號進行EMD分解，得到多個本征模態函數(intrinsic mode function，IMF)；之后依據某種準則(如峭度準則)選取一個最優IMF作為含有故障信息的有效分量；最后對選取的有效分量進行包絡譜分析，判斷齒輪是否存在故障以及故障類型[3-4]。

但是在使用過程中，發現此類方法存在4個問題，一是由于EMD算法存在模態混疊問題，即在對信號進行分解時有可能將一個分量分解成多個IMF[5-6]。發生模態混疊時分解出的單個IMF攜帶的有用信息較少且沒有物理意義；二是最優分量的選取準則不明確，多數情況下是利用以往經驗選取峭度準則作為信號分量的最優判據，但是依據峭度準則選出的最優分量不一定是攜帶有用信息最多的分量；三是含有故障特征的振動信號會將多個載波進行調制，其傳輸路徑也不盡相同，這就導致了即使未發生模態混疊，EMD分解也會產生多個含有故障信息的IMF；四是振動信號往往含有大量的背景噪聲，EMD分解得到的IMF中也會含有較多的噪聲，信噪比得不到顯著提高。基于EMD的齒輪故障診斷方法通常選取分解的最優分量作為分解得到的有效分量進行分析，這樣一來會丟失其他分量中所攜帶的故障信息，也無法有效降低噪聲。這就導致了采用這種方法得到的故障特征不明顯。

為了解決問題一、二，本文對EMD分解產生的IMF進行篩選、合并，在剔除不含故障信息或只含有極少故障信息的分量后，依據頻率相近，峭度相似的原則對有可能是過分解產生的IMF進行合并。

為了解決問題三、四，充分利用多個IMF中攜帶的故障信息，可以借鑒無線電通信中的信號分集合并技術。信號分集合并技術主要指接收機通過多個信道(時間、頻率或者空間)接收承載相同信息的多個副本，將這些副本中的信息合并后就可以比較正確的恢復出原信號[7]。由于振動信號經過EMD分解后，故障信息通常蘊含在多個IMF中，相當于有用信息經過多個不同的信道進行傳輸。此外，由于故障特征信號多為低頻信號，信號分集合并中的包絡疊加還可以過濾掉大部分高頻噪聲的影響，進一步提高信噪比。

本文提出了一種基于信號經驗模態分解和分集合并技術的齒輪故障診斷方法。首先，將原始信號進行EMD分解，在得到的IMF中依據某種準則(本文采用峭度準則)剔除不含有用信息的分量(如峭度較小的噪聲分量)后，將剩余的IMF作為有效分量，其次對有效分量進行合并，若相鄰有效分量峭度差別不大則認為是EMD分解時發生了模態混疊，對這兩個有效分量求和作為新的有效分量。之后對有效分量進行希爾伯特變換求取其信號包絡。最后將所有有效分量的包絡相加。分析包絡疊加后的頻譜，即可對齒輪是否發生故障以及故障類型做出判斷。

1 基本理論

1.1 齒輪故障振動信號數學模型

齒輪發生故障時，其振動信號為一組調頻—調幅信號的疊加，可用下式表示[8]：

(1)

其中：ai(t)>0為gi(t)的瞬時值，fi(s)>0為gi(t)的瞬時頻率，φi為gi(t)的相位。而實際中的信號通常由許多本征模態分量和噪聲信號組成，因此非平穩信號模型可以表示為：

(2)

其中:Q是本征模態分量的數量，n～N(0，σ2)表示均值為零，方差為σ2的高斯白噪聲。

1.2 EMD原理

EMD是一種適用于非線性、非平穩信號的自適應時頻處理方法[9]。EMD的特性使其在處理復雜的信號時有很大優勢，其典型應用就是對齒輪的振動信號進行處理用以進行故障診斷。原始信號通過EMD分解可以得到一組本征模態函數，各個IMF分量的成分與信號本身的變化及分析頻率相關。EMD分解的步驟如下[10]:

1)確定信號的極大與極小值點，將極大、極小值點分別用一條光滑的曲線相連，得到原信號的上、下包絡線，并求其平均值記為m1(t)，求出：

h1(t)=x(t)-m1(t)

(3)

若h1(t)滿足IMF的條件，則h1(t)就是x(t)的第一個分量。

2)如果h1(t)不滿足IMF的條件，則把h1(t)作為原始數據，重復進行步驟(1)K次，直到得到h1k(t)=h1(k-1)(t)-m1k(t)滿足IMF的條件,此時將h1k(t)作為一個IMF。記c1(t)=h1k(t)，則信號x(t)的第一個IMF為c1(t)。

3)將x(t)與c1(t)做差，得到：

r1(t)=x(t)-c1(t)

(4)

將r1(t)重復步驟(1)，(2)，得到c2(t)為第二個滿足IMF條件的分量，重復進行n次得到n個IMF，即：

(5)

直到rn(t)中無法再提取出滿足IMF條件的分量。則原信號可表示為：

(6)

因此，一個信號通過EMD可分解為n個IMF分量和一個殘量rn(t)，原信號為n個IMF分量和殘量rn(t)之和，其中，分量c1(t)、c2(t)、…、cn(t)分別表示從高到低不同頻率段的信息。

1.3 信號分集

信號分集是無線電通信領域對抗信道衰落，提高信噪比，降低誤碼率的常用方法之一，包括信號的分散傳輸技術和合并接收技術[11]。本文主要利用其中的分集合并技術對齒輪振動信號經EMD分解后得到的IMF中蘊含的故障信息進行整合分析。

信號分集的基本原理是是同一信息通過多個統計獨立的信道(又稱分集支路)到達接收機，由于接收機收到的信號的小尺度衰落是相互獨立的，所以接收到的信號同時處于深衰落的概率非常小，因此采用信號分集合并技術可以將兩條或多條分集支路上攜帶的有用信號副本采用不同的策略合并起來，增強有用信號的信號幅度，提高信噪比[12-14]。要想使得信號分集獲得最好的效果，就需要保證各分集支路場強(或功率)的聯合概率密度函數等于信道的邊緣概率密度函數之積，即分集支路之間是統計獨立的。分集支路之間的任何相關都會降低分集的效果。支路信號之間的相關性使用信號包絡和的相關系數表示，計算公式如下[15]：

(7)

對于兩個統計獨立的信號，相關系數為0，在實際的工程實踐中，當相關系數低于0.5時，一般認為已經被有效的去相關[11]。而EMD分解出的IMF通常滿足該條件，因而可以使用信號分集合并技術對多個IMF中攜帶的故障信息進行綜合分析。

2 基于EMD與信號分集的故障診斷方法

2.1 有效分量的選取與合成

齒輪振動信號在經過EMD分解之后會得到數個含有故障振動信息的IMF，但是并不是所有的IMF都包含故障信息，通常只有某幾個IMF包含故障信息。在進行后續處理前，首先要從EMD分解得到的IMF中剔除不含故障信息的IMF，篩選出包含故障信息的IMF。

1)無效分量的剔除：

峭度(Kurtosis)是一個描述波形尖峰度的無量綱參數，對于信號中的沖擊特性比較敏感。峭度的數學定義為[16]：

(8)

式中,E(x-μ)4表示信號的4階數學期望，σ為信號標準差，μ為信號均值，x為齒輪的振動信號。

當齒輪出現故障時，其振動信號的尖峰度會增大，相應的，峭度值也會增大。所以峭度值越大，說明齒輪越偏離正常狀態，此時信號中蘊含的故障信息越豐富[17]。因此，在篩選IMF時應將峭度值低于某一閾值(本文選取所有IMF峭度的平均值)的分量剔除，選取峭度值較高的IMF作為有效分量的備選，才能較好的提取出齒輪的故障特征信息。

2)有效分量的合成：

EMD算法是根據信號的局部極值畫出兩條包絡線，進而得到均值曲線。但由于間歇現象，導致信號中的局部極值點發生變化，包絡線中包含了間歇信號與原始信號的極值點。此時的均值曲線存在誤差，導致同一時間特征尺度會分布在相鄰的IMF中，即產生模態混疊現象。模態混疊現象會導致齒輪故障信息提取不充分，進而使齒輪的故障診斷達不到預期效果。

由于EMD易發生模態混疊，致使含有故障特征的一個分量可能被過分解成為多個IMF，但是峭度值較大分量由于過分解的相鄰分量也會擁有較大的峭度值，即蘊含豐富的故障信息。所以我們可以根據分量的峭度值，結合IMF在頻域上的分布，在第1步得到的有效分量的備選中選出峭度相似且頻率若干個IMF并進行合成，作為新的有效分量。這樣就能保證新的有效分量含有較多的故障信息，也是接下來的分析能夠得到正確結果的基礎。

2.2 信號分集合并

信號合并技術的合并方法主要有最大比合并、等增益合并、選擇合并、切換合并、混合合并5種。等增益合并能夠獲得接近最大比合并的性能的同時極大地簡化運算，成為了目前使用十分普遍的合并方法之一。本文使用等增益合并的方法對振動信號的有效分量進行合并。

1)等增益合并流程：

等增益合并的處理流程圖如圖1所示。

圖1 等增益合并流程圖

等增益合并只對信號包絡進行相位校正，不進行幅度加權。若輸入信號包絡為αi，則其輸出信號包絡αout為[18]：

αout=∑αi

(9)

以兩路信號為例，兩路信號進行等增益合并后的信噪比為[19]：

(10)

其中:P1，P2表示兩個分集支路的平均功率v1，v2表示支路的噪聲功率，當P1=P2=P，v1=v2=v，即兩個分集支路信噪比相等時，等增益合并后的總信噪比可表示為

(11)

可見，在分集支路信噪比相差不大的情況下，使用等增益合并對信號進行合并處理可以顯著提高信噪比。應用在齒輪故障分析中，使用等增益合并對篩選合成得到的有效分量進行合并可以顯著提高信號中故障信號的能量占比，對合成后的包絡和信號展開頻譜分析可以得到更為清晰的故障特征。

2)相位校正：

當兩個相位不同的信號疊加時，由于相位差的存在，部分分量會相互抵消，導致能量減小，所以直接相加得到的和信號的能量可能會小于兩個信號能量之和。為了提高和信號的信噪比，防止有用信息的能量受到損失，在進行包絡相加之前需要對有效分量進行相位校正。本文采取基于廣義互相關函數的相位校正方法。

以第一個有效分量x1(t)的相位為基準，計算其余有效分量xi(t)(i≠1)與x1(t)之間的相位差，再根據相位差對其他xi進行相位校正。

首先計算xi與x1之間的廣義互相關函數：

(12)

式中，Gx1 xi(f)為第一個有效分量與其他有效分量的互功率譜。

(13)

Wx1 xi(f)為權重，這里取互功率譜模的倒數：

(14)

(15)

(16)

3 故障診斷流程

本文提出的基于信號EMD與分集合并的齒輪故障診斷流程框圖如圖2所示。

圖2 齒輪故障診斷流程圖

主要流程為：

1)使用EMD對齒輪振動信號進行分解，得到多個IMF。

2)求各個IMF的峭度,剔除峭度低于平均值的IMF。

3)將頻率相近且峭度相似的IMF合并，與2)中留下的其它IMF一起作為有效分量。

4)利用希爾伯特變換對有效分量求包絡。

5)對各有效分量的包絡進行相位校正

6)將有效分量的包絡相加，使用快速傅立葉變換求包絡和的頻譜。

7)觀察頻譜在齒輪轉頻及其倍頻處是否存在明顯的譜峰，進而判斷齒輪的故障情況。

4 仿真數據分析

對如下仿真信號進行分析以驗證本文方法的有效性。

x(t)=x1(t)+x2(t)

(17)

其中:x1(t)=8-500mod(t,1/20)sin(1 000 πt)為特征頻率為20 Hz的周期性指數衰減的指數信號。x2(t)為高斯白噪聲，信噪比為1。

采樣頻率為2 048 Hz，采樣點數N=4 096，仿真信號的時域波形和包絡譜如圖3所示

圖3 仿真信號的時域波形和包絡譜

對信號進行EMD分解后得到9個IMF，其波形如圖4所示(按頻率從高到低排列)。

圖4 EMD分解后的IMF波形

分別求出所得9個IMF分量的峭度，如表1所示：

表1 信號IMF分量峭度值

從表1中可以看出信號的IMF5、IMF6、IMF8、IMF9分量峭度值小于平均值(3.43)，可以將其剔除，得到IMF1、IMF2、IMF3、IMF4、IMF7共5個有效分量，IMF2和IMF3兩個有效分量頻率相似且峭度相近，可將其合并成為一個有效分量。經過篩選與合并，總共得到4個有效分量。

計算有效分量之間的相關系數，如表2所示。

表2 各有效分量之間的相關系數

從表2中可以看出各有效分量之間的相關系數均在0.5以下，滿足信號分集合并的條件。

在使用希爾伯特變換得到所有的有效分量的信號包絡之和后再對其求和，并對和信號進行快速傅立葉變換求取瞬時頻率譜如圖5所示。

圖5 和信號的包絡譜

為了說明本文方法的有效性，圖6畫出了峭度最大的IMF1的包絡譜。通過圖6和圖5與圖3(b)進行對比可以發現，雖然直接展開包絡分析和只對IMF1展開包絡分析都可以獲得20 Hz及其倍頻處的譜峰,但是其20 Hz處的幅值都在0.4左右，而本文方法在20 Hz處的譜峰幅值在0.6以上，明顯高于直接對仿真信號進行包絡分析和選取最優信號進行包絡分析的方法。

圖6 IMF1的包絡譜

按照如下公式分別計算3種方法得到的包絡譜的信噪比。

(18)

其中:h(f)為包絡譜，f0為有效信號的特征頻率即20 Hz，n取正整數。計算得，直接進行包絡分析得到的包絡譜的信噪比為15.85 dB，IMF1的包絡譜的信噪比為16.02 dB，而本文方法得到的包絡譜的信噪比為18.43 dB，明顯高于另外兩種方法。由此可見本文方法占優。

5 試驗數據分析

試驗中的齒輪箱結構如圖7所示，試驗中所用齒輪2為從動輪，該齒輪存在一處斷齒故障，主動齒輪和從動齒輪的齒數均為37。電機的轉速n=720 r/min,主軸的轉動頻率fr=n/60=12 Hz,齒輪間的嚙合頻率fm=fr×37=444 Hz。振動信號由安裝在從動輪軸承處的加速度傳感器采集，信號的采樣頻率fs=2 048，采樣數據點N=1 024。

圖7 齒輪箱傳動結構

圖8給出了齒輪振動信號的時域波形圖、頻域波形圖(通過FFT方法求出)以及包絡譜。從時域波形圖中可以看出振動信號具有調幅-調頻特性，但其周期性沖擊不是特別明顯；在頻域波形中可以看到齒輪間的嚙合頻率444 Hz，以及被轉頻1倍頻、2倍頻調制的邊頻帶432 Hz和456 Hz；包絡譜中譜峰較為雜亂，無法展開有效分析。

圖8 原始信號時域波形、頻譜及包絡譜

通過EMD方法將原始振動信號進行分解得到9個IMF分量。如圖9所示，9個IMF分量所包含的頻率段依次由高到低。

圖9 EMD分解后的IMF波形

分別求出所得9個IMF分量的峭度，如表3所示。

從表中可以看出IMF1、IMF6、IMF8、IMF9分量峭度值小于峭度均值2.44，可以認為是無效分量從而將其剔除。在剩余的IMF2、IMF3、IMF4、IMF5、IMF7這5個有效分量中，IMF2和IMF3頻率相近，峭度相似，將這兩個分量加和作為新的有效分量進行分析。

求出有效信號之間的相關系數。如表4所示。

表4 各個有效分量之間相關系數

從表4中可以看出各有效分量之間的相關系數均在0.5以下，滿足信號分集合并的條件。

對所有有效分量求包絡之后相加，分析其和的頻譜，如圖10所示，為清晰展示低頻特性，僅僅截取低頻段(0～100 Hz)進行分析。圖中可以清晰的看出轉頻12 Hz及其倍頻的譜峰，由此可以判斷齒輪出現了斷齒故障。

圖10 有效分量包絡和的頻譜圖

為了進一步說明本文方法的有效性，選取峭度最大的IMF7進行包絡譜分析，如圖11所示。從圖中可以發現，譜峰出現在2 Hz的位置，而12 Hz位置并未出現譜峰。無法判定齒輪出現了斷齒故障。由此可見，本文方法處理結果優于依據峭度準則選取單一IMF進行包絡譜分析的方法。本文方法在實際齒輪故障診斷中是切實有效的。

圖11 IMF7的包絡譜

6 結束語

本文結合經驗模態分解(EMD)與信號分集合并技術，提出了一種新的齒輪故障診斷方法。對齒輪的振動信號，首先用EMD方法進行分解得到若干IMF，剔除峭度值較小的分量后依據剩余分量在頻域的分布及峭度值情況來篩選合成有效分量，通過希爾伯特變換得到有效信號的包絡，再通過等增益合并及傅立葉變換得到包絡和的頻譜，最后根據包絡和的頻譜進行齒輪故障診斷。通過對齒輪斷齒故障振動信號的處理，驗證了該方法的有效性。目前仍然需要進一步研究的問題有：

1)從EMD分解后得到的IMF中篩選合成有效分量的方法。

2)參與信號分集合成的IMF數量如何確定。

3)信號分集合成的具體方法。