基于K-SVD的星載GPS觀測數據壓縮方法

劉迎娜，趙里恒，李宏剛，董娟娟，李偉超

(航天恒星科技有限公司，北京 100095)

0 引言

隨著衛星對地觀測技術的發展，低軌空間飛行器已應用于資源遙感、大氣探測、重力場精化、地磁探測和海洋動力環境研究等領域，并且低軌飛行器大部分應用領域，對衛星軌道精度有較高要求，例如海洋測高衛星TOPEX要求軌道徑向精度優于 5cm[Melbourne,1994]等[1-2]，促使低軌空間飛行器精密定軌技術[3]得到快速發展。精密定軌技術需空間飛行器事先對星載GPS導航系統的觀測數據進行存儲，再分時下傳到測控站，考慮到星載GPS觀測數據存在數據量大的特點，為星載固存[4]的存儲資源增加負擔，提出了GPS觀測數據壓縮處理的工程應用需求。

目前相關方面研究主要面向地面Rinex格式GPS觀測數據的壓縮[5-6]，根據數據中字符出現的冗余情況，對其進行熵編碼實現數據壓縮，為無損壓縮方法，此類方法對文本文件壓縮具有應用優勢，但對于星上實時產生的二進制GPS觀測數據時間序列，壓縮效果不明顯，且計算復雜度高，無法滿足在軌使用。除無損壓縮方法外，基于信號變換的有損壓縮方法在聲波、地震時間序列以及圖像等應用研究中取得了顯著成果，該方法主要利用信號處理中存在某些頻率成分不敏感特征，允許壓縮過程中損失一定的信息，雖然不能完全恢復原始數據，但所損失的部分特征需不影響信號處理應用，從而達到高的數據壓縮比(壓縮前數據量與壓縮后數據量的比值)，較為常用的方法有傅里葉變換、DCT變換以及小波變換等。星載GPS觀測數據屬于精密測量信息，在高壓縮比條件下使用上述方法，將大量丟失GPS觀測數據的內部結構信息，無法滿精密定軌處理要求。

信號稀疏表示理論在信號處理應用中是一個非常引人關注的研究領域，其目的就是在給定的完備字典中用盡可能少的原子來表示信號，獲得信號更為簡潔的表示方式，利用信號的稀疏性，可實現信號壓縮應用，并成功應用于圖像[7-8]、地震[9]等數據壓縮。

本文對稀疏表示理論在GPS觀測數據的壓縮應用進行研究，提出了基于K-SVD的GPS觀測數據壓縮方法。利用一個通過訓練樣本訓練獲得的K-SVD壓縮字典，對GPS觀測數據時間序列進行稀疏表示，并對表示系數中非零元素位置和數值進行存儲和傳輸，從而實現GPS觀測數據壓縮。

1 稀疏表示理論

通常，有限維空間RN中的一維離散信號y可以線性表示為：

y=Dξ

(1)

稀疏表示問題可分為稀疏編碼和字典學習兩部分。給定信號y和字典D，稀疏編碼就是尋找稀疏解ξ的過程，它可以表示為如式(2)所示的優化問題：

(2)

式(2)為l0范數最小化問題，通常采用貪心算法近似求解該問題，如正交匹配追蹤[10](Orthogonal Matching Pursuit,OMP)。與稀疏編碼不同，字典學習用于估計基函數字典D。給定一個包含P個信號的訓練樣本集合Y={yi|yi∈RN},1≤i≤P，字典可以通過求解公式(3)的優化問題獲得。

(3)

其中：‖dk‖2=1，1≤k≤K；ξi為信號yi在字典D中線性表示的系數；S為ξi中非0元素的個數。

2 GPS觀測數據壓縮方法

星載GPS導航系統通過接收處理GPS L1、L2雙頻點導航信號[11-12]，計算獲取表征GPS導航接收機與GPS星座相對位置關系的偽距、載波相位等測量量，統稱為GPS觀測數據，如圖1所示。

圖1 低軌衛星與GPS星座空間位置關系圖

那么GPS觀測數據組成的時間序列為描述GPS導航接收機與GPS星座之間相對運動關系的離散采樣信號，具體實例見圖2所示。

圖2 對GPS_ 25號星的偽距觀測數據時間序列

不同時間段對同一顆GPS星號、相同時間段對不同GPS星號的觀測數據時間序列的內部結構相似、且簡單，存在信息冗余，能夠通過稀疏表達方式，實現GPS觀測數據時間序列壓縮。

具體壓縮流程如圖3所示。

圖3 GPS觀測數據時間序列壓縮方法框圖

2.1 訓練樣本選取

將GPS觀測數據時間序列裁剪成短時長時間序列集Y={y1,y2,...,ym,...,yP}∈RN×P，作為字典學習樣本集合，其中ym={a1,a2,...,ai,...,aN}T∈RN×1，ai表示GPS觀測數據時間序列ym中第i個觀測點，具體裁剪實例如圖4～5所示。

圖4 時長為1 800 s的偽距觀測數據時間序列變化曲線

圖5 偽距組成的時間序列集合(N=200 s)

2.2 字典D初始化方法

主成分分析[13](PCA，principal component analysis)是基于變量協方差矩陣原理完成對信號的邏輯處理和特征提取的科學方法，同時也是一種最基本的數據降維方法，被廣泛用于圖像去燥[14]、圖像分類[15]等，同時也被用于數據處理中參數初始化操作，提高優化處理收斂速度[16]。本文引用PCA方法初始化公式(3)中的矩陣D，將縮短最優字典D的求解時間。

GPS觀測數據時間序列樣本集合Y={y1,y2,...,yP}∈RN×P為數據集合，通過優化求解公式(4)目標方程獲取主成分矩陣U=WTY。

maxWTYYTWs.t.WWT=1

(4)

需計算數據矩陣Y的協方差矩陣，對計算帶來困難，引入了奇異值分解(SVD,singular value decomposition)方法，即Y=UΣV。其中，V等價于PCA算法中W投影矩陣；U即為主成分矩陣；Σ為對角陣，表示Y投影到新坐標系下的權值系數。

2.3 字典學習方法

K-SVD[17]是 K-均值聚類(K-means)的一般形式，通過字典更新、稀疏編碼交替應用，實現對字典的自適應調整。稀疏編碼過程，使用OMP編碼方法；字典更新過程使用奇異值分解(SVD)。

參數初始化：給定GPS觀測數據組成的時間序列數據集合Y={y1,y2,...,ym,...,yP}∈RN×P，對其進行主成分分析獲取主成分矩陣U，作為字典D(0)∈RN×K，最大迭代次數為Iter，稀疏編碼中非零個數懲罰項為S。

1)稀疏編碼階段，使用OMP對目標函數公式(2)進行稀疏分解，得到稀疏系數矩陣ξ={ξi},i=1,2,...,P。

2)字典更新階段，固定稀疏系數矩陣ξ，逐列更新字典D中的原子。

(1)假定當前正在更新的字典原子為dk，記Ik={i|ξi(k)≠0,1≤i≤P}，其中ξi(k)為ξi中的第k個元素，Ik表示全部訓練樣本中用到原子dk的索引集；

(4)計算K次，對D所有原子更新一遍，獲得D(n+1)。

網絡課程資源建設和完善，不僅會為成人高等教育的學生提供優質的學習資源，還能夠補齊學校校外、課外學習資源的短板。它能夠全面覆蓋學生的自由學習時間，也能為廣大學生提供高質量的教育和學習資源服務，為高校節約辦學成本。網絡課程資源必將以其便捷性、豐富性、自主性、個性化的服務，為廣大學生的專業學習和素質拓展提供更加堅實的基礎和有力的保障。

3)終止條件判斷階段，令n=n+1，判斷是否滿足n>Iter，若滿足，停止迭代，否則，繼續執行1)～3)。

2.4 GPS觀測數據壓縮

導航接收機積累N時長的GPS觀測數據時間序列后，使用K-SVD對其進行稀疏編碼，并將獲取表示系數中的非零數值、非零位置存儲到星上固存單元，達到GPS觀測數據壓縮目的，數據壓縮比近似為N與稀疏度S的比值。

3 實驗驗證

通過仿真軟件獲取理論GPS觀測數據時間序列，生成訓練樣本集合，使用文中提到的方法訓練獲得K-SVD字典。通過地面仿真，獲取不同軌道高度場景下雙頻GPS導航接收機生成的壓縮前/后觀測數據，對觀測數據重構精度進行分析，并對比GPS觀測數據壓縮前后的數據質量、精密定軌精度；同時引入實際在軌GPS觀測數據，對其進行壓縮重構后精密定軌精度進行分析，檢驗方法的有效性。

3.1 壓縮字典獲取

3.1.1 參數設置

使用SimGEN軟件仿真獲取650 km軌道高度的無測量噪聲的星載GPS觀測數據，仿真軟件界面、軟件參數設置詳見表1所示。

表1 SimGEN軟件參數設置

將GPS觀測數據時間序列長度N設置為30 s；稀疏度S設置為4；字典迭代次數Iter設置為800。那么數據壓縮比即為ρ≈N/S≈7.0。

3.1.2 字典訓練收斂性分析

對K-SVD壓縮字典進行迭代更新，并按照公式(5)評估字典優化過程收斂情況。

(5)

通過誤差收斂曲線分析可知，使用PCA初始化壓縮字典后的第一次字典更新完成獲得的字典已具有高精度稀疏稀疏表達訓練樣本的能力，經過多次調整，最終在第600次迭代更新后完成收斂，獲得最優K-SVD壓縮字典，如圖6所示。

圖6 K-SVD學習過程誤差收斂曲線

3.1.3 字典結構分析

對K-SVD字典中的原子分別進行分析可知，訓練獲取的K-SVD字典為表征信號運動規律(一次、二次、三次曲線變化規律)的基函數集合，與GPS觀測數據組成的時序信號內在結構信息一致，具體基函數變化規律如圖7所示。

圖7 字典中基函數變化曲線圖

隨機選擇100個測試樣本，按照不同稀疏度約束，使用K-SVD字典對其進行稀疏分解，按照公式(5)計算稀疏重構誤差，具體誤差值如表2所示。

表2 重構誤差統計表

由表可知，當稀疏度>4時，稀疏表達精度無明顯提升，因此GPS觀測數據時序信號在上述訓練獲取的K-SVD字典中是稀疏的，且稀疏度為4。

稀疏度固定后，相應壓縮比將固定。實際工程應用中，雙頻GPS接收機每秒產生560字節的GPS觀測數據，使用K-SVD字典稀疏表達方式，可對連續觀測24小時共48.38兆字節觀測數據壓縮到6.912兆字節，具有顯著的壓縮效果。

3.2 地面設備仿真驗證

使用雙頻GPS導航系統、思博倫GPS信號模擬源、上述訓練獲取的K-SVD壓縮字典以及4種不同軌道高度的軌道參數等，開展地面仿真測試。

具體仿真軌道參數如表4所示。

表4 仿真軌道信息

3.2.1 重構精度分析

考慮到信號處理射頻電路中帶電粒子的熱運動形成熱噪聲等，雙頻GPS接收機實際觀測的GPS數據中將存在噪聲，使用K-SVD字典對其進行壓縮重構，重構誤差將大于字典學習誤差收斂值，但重構誤差需控制在<5 cm范圍內，才可滿足厘米級精密定軌應用需求。

對實驗獲取的L1、L2載波相位測量數據重構精度進行分析，使用相同的K-SVD壓縮字典對不同軌道高度GPS觀測數據壓縮后的重構誤差均<5 cm，壓縮重構后數據滿足厘米級精密定軌要求，具體詳見圖8～11所示。

圖8 ZIYUAN 3-1載波相位測量值壓縮重構精度

圖9 HAIYANG-2A載波相位測量值壓縮重構精度

圖10 GAOFEN 2載波相位測量值壓縮重構精度

圖11 ZIYUAN1-02C載波相位測量值壓縮重構精度

3.2.2 觀測數據質量分析

使用偽距相位差(code minus phase combination ，CC)組合法[18]評估壓縮前后GPS觀測數據的噪聲水平，可知相同K-SVD字典壓縮重構出的不同軌道高度GPS觀測數據的噪聲水平均明顯低于壓縮前GPS觀測數據，說明K-SVD字典在GPS觀測數據壓縮應用中表現出顯著的降噪效果，具體詳見圖12～15所示。

圖12 ZIYUAN 3-1軌道GPS觀測數據質量

3.2.3 精密定軌處理仿真

使用精密定軌技術[3]，對GPS觀測數據進行精密定軌處理，并與理論軌道做差，獲取X、Y、Z軸方向的軌道位置誤差，誤差曲線的標準差統計即為精密定軌精度。

通過精密定軌處理分析可知，使用K-SVD字典壓縮后GPS觀測數據的精密定軌精度優于壓縮前觀測數據，具體精密定軌精度比對如表5所示，精密定軌誤差曲線圖如圖16～19所示。主要由于K-SVD字典的壓縮方法，可通過降低GPS觀測數據的噪聲水平提升了觀測數據的質量，從而提升了精密定軌精度。

表5 精密定軌誤差結果(軌道仿真) m

具體精密定軌精度曲線見圖16～19所示。

圖13 HAIYANG-2A軌道GPS觀測數據質量

圖14 GAOFEN 2軌道GPS觀測數據質量

圖15 ZIYUAN1-02C軌道GPS觀測數據質量

圖16 ZIYUAN 3-1精密定軌精度

圖17 HAIYANG-2A精密定軌精度

圖18 GAOFEN 2精密定軌精度

圖19 ZIYUAN1-02C精密定軌精度

3.3 在軌實測GPS觀測數據壓縮效果驗證分析

對資源一號02D衛星[19]下傳到地面的GPS觀測數據進行壓縮重構試驗，并對其進行精密定軌處理，計算壓縮前后精密定軌數據差值可知，壓縮后與壓縮前相比X方向軌道位置相差0.014 6 m、Y方向軌道位置相差0.021 8 m、Z方向軌道位置相差0.011 2 m，具體詳見圖20所示。

圖20 資源一號02D衛星在軌數據壓縮后觀測數據精密定軌精度

通過對在軌實測數據進行壓縮前后精密定軌結果進行比對(誤差≤0.022 m)，可說明壓縮后觀測數據重構精度高，使得壓縮前后精密定軌結果相差較小。因此，文章提出的壓縮方法可實際在軌應用。

4 結束語

通過實驗仿真，文中提到的壓縮方法能夠對不同軌道高度的低軌衛星GPS觀測數據進行高壓縮比壓縮，壓縮比可達到7.0，并且能夠降低觀測數據的觀測噪聲，從而提升精密定軌精度。

由于星載GPS觀測數據不僅可以應用于精密定軌，還有相對定位、大氣層厚度反演[20]、土壤濕度反演等工程應用，而文中只針對精密定軌應用進行了實驗仿真，后續將針對其他應用進行研究。