玻色-愛因斯坦凝聚體中的淬火孤子與沖擊波*

賈瑞煜 方乒乒 高超 林機

(浙江師范大學物理系,金華 321004)

系統性地探討了通過淬火相互作用在初態包含暗孤子的玻色-愛因斯坦凝聚體中產生量子沖擊波的可能性及其內稟機制.在淬火至無相互作用極限下,解析得到了初始靜止孤子的后續動力學,發現了沖擊波的存在,并通過量子相干效應加以解釋.在淬火至有限相互作用下,通過數值求解Gross-Piatevskii方程也發現了沖擊波現象,并且分析了不同情形:往弱相互作用側淬火時得到的沖擊波與無相互作用情形類似;往強相互作用側淬火時得到的沖擊波伴隨著孤子的劈裂,且兩者存在同步變化關系.進一步探究了沖擊波的特性,包括其振幅、速度,并得到了其隨淬火相互作用強度變化的全景圖譜.這一工作為實驗上實現和觀測沖擊波提供了理論指導.

1 引 言

自1995 年玻色-愛因斯坦凝聚體(Bose-Einstein condensate,BEC)在實驗中實現以來,BEC為研究各種量子物理現象提供了理想平臺[1?3].在此平臺上,人們已深入探究了諸如超流、渦旋[4]、孤子[5?13]等重要的平衡態和穩態現象,近年來又開始探索非平衡態問題.在經典系統中,非平衡問題例如爆炸常伴有沖擊波.沖擊波又被稱為激波,它是一種特殊的非線性現象[14].沖擊波是屬于紊流的一種傳播形式,其可觀測的主要物理特征包括:介質特性(如壓力、溫度或速度)在沖擊波前后發生了一個像正的階梯函數般的突然變化[15];其前后沿傳播速度都大于局域聲速;在傳播過程中沖擊波的前沿速度大于后沿速度,所以沖擊波會呈現出伸展的趨勢,與孤子等非線性波不同的是,沖擊波會隨距離的增加而快速耗散;當沖擊波穿過物質,能量會守恒但熵會增加.沖擊波在耗散流體中被稱為耗散沖擊波,而在色散流體中稱為色散沖擊波.沖擊波在許多領域被廣泛地研究,比如黑洞宇宙學的演化[16]、熱波現象[17,18]、切倫科夫輻射[19]等.不僅如此,沖擊波最近在光學介質[20?30]和超低溫原子氣體[31?41]研究中取得突破性實驗進展而引起了人們的關注.在足夠短的時間尺度下,甚至在強電子束下[42]和稀薄的等離子體[43]中也能觀察到沖擊波.在平均場近似下,可以用Gross-Piatevskii(GP)方程[44?46]去描述BEC 量子流體動力學.該方程所描述的系統包含色散效應,因此其中的沖擊波也被稱為色散沖擊波[47].

對于各種沖擊波現象,不同情形存在的解釋機制尚有討論空間.目前在BEC 中對沖擊波的產生機制有兩種解釋:一是密度堆積,含背景的高斯波包在GP 方程所描述的玻色系統中演化時,高斯波包會分裂成兩個波包,且密度高處的粒子運動得快,所以在一段時間后密度就堆積在高處直至臨界點,隨后產生沖擊波[37,48];二是量子相干,在無相互作用強度的稀薄氣體BEC 里,含背景的高斯波包演化過程中并沒有觀察到密度堆積的情況,但通過解析的演化過程發現沖擊波的形成來自于背景與波包的量子相干效應[49].

2 含背景高斯波包產生沖擊波

含背景的高斯波包在一維無相互作用的BEC中演化產生沖擊波的過程,如圖1 所示.在本文的數值計算中取m=?=g1=1 ,其中m為原子質量,?為普朗克常數,g1為淬火前的相互作用強度(詳見(1)式后的說明),并使用無量綱化后的參數.其中沖擊波的產生原理是量子相干效應[49],即局部的波包與背景的相互干涉產生沖擊波.以隆起的波包為例,波包頂部先下降,波包的寬度逐漸變寬,接著頂部趨于平穩并從正中間開始向下凹陷,呈現出由1 個波包變成兩個波包的趨勢.同時在與背景交界處先產生下凹,在波包分裂過程中與背景的相干效應愈加強烈,出現不穩定,沖擊波隨之產生.不僅對于隆起的波包,1 個向下凹陷的波包同樣也能與背景相干產生沖擊波,其產生過程大致相似.根據下凹的高斯波包與暗孤子在初態時有一定的相似程度,可以預測原本穩定于系統中的暗孤子在淬火后也可與背景相干產生沖擊波.

圖1 一維BEC 中初始高斯波包的演化過程,縱軸是密度 ρ(x,t)=|Ψ(x,t)|2 (a) Ψ(x,0)=Ψ0+2 exp(-x2/α2) ;(b) Ψ(x,0)=Ψ0-2 exp(-x2/α2) ,其 中 Ψ0=3,高斯波包的寬度α=2Fig.1.Evolution of an initial Gaussian packet in a one-dimensional BEC. The vertical axis is density ρ(x,t)=|Ψ(x,t)|2 :(a) Ψ(x,0)=Ψ0+2 exp(-x2/α2) ;(b)Ψ(x,0)=Ψ0-2 exp(-x2/α2) . Ψ0=3 and the width of Gaussian wave packet α =2 .

3 暗孤子淬火產生沖擊波機制

根據含背景波包產生沖擊波的圖像猜測對暗孤子淬火后也會有沖擊波形成,并對此猜想進行了數值模擬驗證.對淬火暗孤子產生沖擊波的機制進行深入探究發現,其也為背景與波包的相干效應.為確保結果的真實性與有效性,分別用數值與解析演化兩種方法進行互相驗證,并且給出了在暗孤子淬火下相干產生沖擊波的解析表達式.

在平均場近似的情況下,可以用一維GP 方程[44?46,50]來描述一維BEC的動力學:

其中m是原子的質量,g是一維體系中有效的相互作用強度.在實驗上可以通過施加很強的橫向諧振子勢阱使得三維系統變為有效的一維系統.當橫向諧振子勢阱的特征長度a⊥與三維的 s 波原子散射長度as不可比時,,其中U0為三維相互作用強度,U0=4π?2as/m.當a⊥足夠小乃至與as可比時,系統會發生束縛誘導共振,g不再簡單依賴于as(詳見文獻[51]).由于可以通過Feshbach共振技術用外加磁場來調節[52],g可相應得到有效調控.本文研究淬火相互作用強度帶來的效應,即將g的值從g1突然改變為g2.

當凝聚體囚阱在無限深勢阱,若粒子相互作用呈現排斥性狀(即g>0) 時,存在GP 方程的灰孤子解[50]:

其中n是背景密度;聲速s=,與相互作用強度以及背景密度相關聯;孤子寬度ξ=所描述的是灰孤子的尺度;u是孤子速度;μ為化學勢.當孤子速度u取為0 時,灰孤子變成黑孤子.本文所淬火的孤子都是靜止的暗孤子.

將暗孤子所在的一維BEC 系統中的相互作用強度參數進行淬火.淬火至無相互作用極限時,可以得到沖擊波,如圖2 所示.通過觀察數值模擬結果可以發現,其產生沖擊波過程與含背景下凹的高斯波包類似,因此我們猜測其產生機制也是背景與暗孤子的相干作用.與高斯波包不同之處在于,暗孤子在產生沖擊波后還可以穩定傳輸.在產生沖擊波過程中其寬度會發生變化,但是在產生沖擊波后,暗孤子會依舊保持穩定.

圖2 從t=-10至t=0,暗孤子在凝聚體中穩定演化,其中背景密度n=10,相互作用強度 g1=1 .而在t=0時刻對系統進行了淬火,將相互作用強度突變至 g2=0,此后在暗孤子兩側出現對稱的激發,這些激發以恒定速度向兩側運動,中間孤子寬度變大Fig.2.From t =-10 to t =0,the dark soliton evolves stably in the condensate,in which the background density is n =10 and the interaction intensity g1=1 .At t =0,the system is quenched,and the interaction intensity suddenly changes to g2=0 .After that,symmetric excitations appear on both sides of the dark soliton,which move to both sides at a constant speed,and the width of the intermediate soliton increases.

可以看到暗孤子的演化結果:

其中沖擊波的振蕩是由后三項疊加造成的.同樣,從圖3(b)可以觀察到,通過解析演化,消除背景后沖擊波不再產生.進一步證明暗孤子淬火中沖擊波的產生機制是背景與暗孤子的相干效應.

圖3 (a)淬火后暗孤子演化至 t =π/20 時刻數值與解析對照圖,可以發現兩 者完全 符合;(b) t =π/20 時刻,除去背景暗孤子淬火后的演化與不除去背景的比較,在除去背景后沖擊波消失Fig.3.(a) When the dark soliton evolves to t =π/20 after quenching,it can be found that they are completely consistent with the analytical comparison chart;(b) at t =π/20,the evolution of dark soliton after quenching with background removed is compared with that without background removed,and the shock wave disappears after background removed.

4 不同強度淬火

4.1 弱相互作用側淬火

上文探究了在無相互作用情況(g2/g1= 0)下生成沖擊波的機制.在淬火比值 0

選取g2/g1=0,g2/g1=0.1,g2/g1=0.9 三個不同的淬火值進行對比.數值演化結果如圖4 所示,可以看出,三者形成沖擊波的過程類似,并沒有出現密度堆積情況.在產生沖擊波的過程中都先在背景平面上隆起一個波包,波包不斷升高,與此同時高起的波包與背景相互干涉,隨之產生沖擊波.比較這三者可以發現,淬火前后比值越大其沖擊波振幅越小.特別關注g2/g1=0 與g2/g1=0.1的情況,從數值模擬上看,兩者形成過程幾乎沒有差異,只是在沖擊波的振幅上有所差異.由此可以推斷出它們形成沖擊波的機制是相同的,即均為背景與波包的相干.

圖4 淬火強度在 0 ≤g2/g1 <1 范圍時 沖擊 波的形成對比 (a)淬火至無相互作用強度下,即 g2/g1=0,可以觀察到在背景之上有波包的隆起,并且伴隨著與背景的振蕩;(b)相互作用強度淬火前后比值 g2/g1=0.1,除了淬火比值不同外其他都與圖(a)相同(n =10,g1=1);(c)相互作用強度淬火前后比值 g2/g1=0.9,其他參數與(a),(b)兩圖相同Fig.4.Comparison of shock wave formation when quenching strength is 0 ≤g2/g1 <1 :(a) For quenching to the strength without interaction,that is g2/g1=0,it can be observed that there is a bump above the background,accompanied by oscillation with the background;(b) ratio of interaction strength before and after quenching is g2/g1=0.1,values of other parameters are the same as those in panel(a)(n =10,g1=1,m=1,? =1);(c) ratio of interaction strength before and after quenching is g2/g1=0.9,and values of other parameters are the same as those in panels(a) and(b).

淬火參數在 0 ≤g2/g1<1 范圍內,沖擊波的產生機制相同,但是在沖擊波的振幅與速度方面存在差異,在后面的討論中會再次進行分析.當淬火比值從g2/g1=0 變到g2/g1=0.1,描述系統所用的薛定諤方程增加了非線性項.而在考慮非線性項的情況下,淬火暗孤子產生沖擊波的機制還是背景與波包的相干,這證明了沖擊波的生成與非線性項并沒有決定性的關系.

4.2 強相互作用側淬火

在前面的討論中已經知道,在暗孤子淬火比值在 0 ≤g2/g1<1 范圍內會有沖擊波生成,這些都是將相互作用強度向小淬火的結果.同樣地,作為非平衡態演化,可以將相互作用強度向大淬火.可以對比g2/g1>1 與 0 ≤g2/g1<1 時的現象,在此范圍內所產生的激發為沖擊波,并且產生的沖擊波在左右兩側是對稱的.

暗孤子在此范圍內淬火時會劈裂出孤子,并在孤子與背景的交接處產生一個隆起的波包,隨后產生沖擊波,如圖5 所示.與之前情形(0 ≤g2/g1<1)比較可以發現,沖擊波產生過程類似,這兩種淬火情形下產生的沖擊波應屬于同一類型.在區間1

圖5 淬火強度 g2/g1 >1 時 沖擊波的形成對比 (a)淬火相互作用強度為 g2/g1=2 ;(b)淬火相互作用強度為g2/g1=8,其他參數與4.1 節相同Fig.5.Comparison of shock wave formation when quenching strength is g2/g1 >1 :(a) Quenching interaction strength is g2/g1=2 ;(b) quenching interaction strength is g2/g1=8,and other parameters are the same as those in the section 4.1.

在淬火比值在 1 ≤g2/g1<4 范圍內,分別在原孤子左右兩邊劈裂出1 個孤子,并伴隨著沖擊波,而在 4 ≤g2/g1<9 范圍內,除了沖擊波產生,左右兩側劈裂出孤子變為2 個.沖擊波產生處都在最外側孤子與背景相交處.

可以發現,在整個范圍內存在著兩個特殊值:g2/g1=4和g2/g1=9,見圖6.當淬火至此二值時,沖擊波消失只存在孤子的劈裂,并且淬火比值越接近這兩個值時,所產生的沖擊波振幅越小.此結果與Gamayun 等[53]對BEC 中的灰孤子進行淬火的探究不謀而合,他們提出了在相互作用強度為整數的平方倍g2/g1=n2,n=2,3,4···時可以完美地劈裂出孤子.所謂完美劈裂是指一個暗孤子在淬火后在原暗孤子兩側各產生一個帶速度的灰孤子,而沒有伴隨著其他的激發.孤子的劈裂并非只在這些特殊的值上,在非整數的平方倍時也可以劈裂出孤子但是會伴隨著其他激發,稱為不完美劈裂.

圖6 淬火強度g2/g1=4與g2/g1=9時孤子完美劈裂 (a)淬火相互作用強度為 g2/g1=4 時在原孤子兩側各完美劈裂出1 個灰孤子;(b)淬火相互作用強度為g2/g1=9時在原孤子兩側各完美劈裂出兩個灰孤子.可以觀察到完美劈裂情況下除了孤子并沒有其他激發Fig.6.When the quenching strength is g2/g1=4 and g2/g1=9,the soliton splits perfectly:(a) When the quenching interaction intensity is g2/g1=4,a gray soliton is perfectly split on both sides of the original soliton;(b) when the quenching interaction intensity is g2/g1=9,two gray solitons are split perfectly on both sides of the original soliton.It can be seen that in the case of perfect splitting,there is no excitation except soliton.

4.3 淬火暗孤子全景圖

我們發現在不同的淬火參數下沖擊波的速度與振幅是不同的,為此進行了探究.如圖7 所示,在 0 ≤g2/g1<1 范圍內沖擊波振幅有劇烈的變化,g2/g1的比值越接近0,沖擊波的振幅越大,比值越大振幅越小,在g2/g1=1 時不會有沖擊波產生;而在此范圍內所產生的沖擊波速度變化情況與振幅相反.在g2/g1=0 時速度最小,比值越接近1,速度越大,當比值到達1 時刻突變為0.

淬火參數在 1 ≤g2/g1≤4 范圍內,沖擊波的振幅從0 開始有小幅增大然后減小直至變為0,其中有特殊比值g2/g1=4,由于沖擊波的消失振幅會變為0;沖擊波的速度在整個區間內都不斷增大,且與前一區間(0 ≤g2/g1<1) 是連續變化的.通過速度變化的連續性亦可證明在不完美劈裂時所存在的激發是沖擊波.而在區間 4 ≤g2/g1<9 內,沖擊波的振幅與前兩個區間內相比更小,變化過程與 1 ≤g2/g1<4 相似,先增大后減小;沖擊波速度在此范圍依舊不斷增大.圖7(b)中,在忽略g2/g1=1,4,9特殊值不存在沖擊波情況下(在圖中已用灰色虛線抹去),紅線所描述的沖擊波速度變化在所有區間內有統一的連續性.

在之前的淬火圖像中發現,在淬火孤子兩側都有沖擊波生成,兩者處于對稱關系.為驗證此現象,進行了具體的數據對比:在圖7(a)中分別用粉紅色、藍色、綠色的虛線與實線代表在孤子兩側產生的沖擊波、第1 次劈裂出的孤子、第2 次劈裂出的孤子.整個區間內因為淬火而產生的沖擊波和孤子都是關于原孤子左右對稱的.圖7(b)中實線與虛線對應的是原孤子左右兩側沖擊波的速度,其中左側為負,右側為正.在同一淬火參數下在兩側所產生的沖擊波與劈裂出的孤子速度大小都相等.

圖7 淬火后孤子與沖擊波的振幅、速度隨淬火強度的變化 (a)沖擊波最高點振幅以及劈裂出的孤子深度與相互作用強度淬火比值關系,虛線為左側,實線為右側,兩者完全重合;(b) 速度與相互作用強度淬火比值關系,紅色線所描述的是沖擊波,綠色和粉絲的線是劈裂出的孤子.在原孤子的左側為負,右側為正Fig.7.Changes of amplitude and velocity of soliton and shock wave after quenching:(a) Quenching ratio relationship between the peak amplitude of shock wave,the depth of split soliton and the interaction strength.The dashed line is on the left side and the solid line is on the right side,which are completely coincident;(b) quenching ratio relationship between velocity and interaction strength.The red line describes shock wave,and the green and vermicelli lines are split solitons.It is negative on the left side and positive on the right side of the original soliton.

從圖7 還可得到一些其他的信息:沖擊波的速度在任意時刻都大于局域聲速,且隨著淬火參數的增加,速度愈發接近于線性.對于在1

5 總 結

本文主要探究了在玻色-愛因斯坦凝聚體中原本穩定的暗孤子在淬火后會有沖擊波產生這類有趣的物理現象,并分析了產生此現象的原因,以及對不同情形下的淬火暗孤子進行了分析.

首先介紹了玻色-愛因斯坦凝聚體系統中存在著孤子與沖擊波,并闡明了沖擊波的一些形成機制,發現將暗孤子進行粒子間相互作用強度淬火后可以得到沖擊波,因此對該情況下沖擊波的產生機制進行了探究.接著研究了將含有靜態暗孤子的系統淬火至無相互作用的情形,利用數值與解析兩種方法說明了沖擊波的形成機制為背景與波包的量子相干效應,并且給出了兩者相干的解析表達式.

在此基礎上,發現在其他淬火參數下同樣有沖擊波的產生.對此現象進行了深入的探究,發現它們的產生機制同樣來自于背景與波包的量子相干效應,且不同的參數下沖擊波的振幅、速度都有所差異.因此做了1 個關于不同淬火比值產生沖擊波的全景圖,可以較為系統和完整地了解該種淬火下沖擊波的變化情況.在玻色-愛因斯坦凝聚體中還存在著許多其他非線性波,如lump 波、怪波等,它們都是自帶背景的,因此同樣可以探究在淬火后是否有沖擊波產生.