非局域非線性耦合器中暗孤子的傳輸*

李森清 張肖 林機

(浙江師范大學物理系,金華 321004)

研究了空間暗孤子在非局域非線性耦合器中的新解和傳輸穩定性.發現非局域非線性耦合器中存在穩定的基態暗孤子和多極暗孤子的束縛態.分析了非局域程度、非線性參數、傳播常數和耦合系數變化對基態暗孤子的峰值、束寬和功率的影響.討論了基態暗孤子和多極暗孤子的傳輸穩定性,發現基態暗孤子在其存在的區域總是穩定的,偶極以及多極暗孤子存在不穩定區間,穩定區間取決于傳播常數和介質的非局域程度,并且多極暗孤子的穩定傳輸還受孤子間距的影響.

1 引 言

由于光學耦合器的特殊性質及其潛在的應用前景,對其作為光波導的研究一直是物理科學研究中重要的研究方向之一.光學耦合器主要的工作原理是光波的分布式耦合,導致光波導模式之間的能量傳遞和再分配.光學耦合器主要應用于全光開關[1]、邏輯門[2]、波分復用[3]以及非線性光放大[4].這種類型的光學耦合器有眾所周知的雙芯光纖[5]和光柵耦合器[6].早期的耦合器結構簡單、功能單一,主要用于從傳輸線路中獲取部分能量進行監控.而今光學耦合器在結構和功能上有很大的突破,如光纖耦合器已應用于光纖通信、光纖傳感、光纖監測技術和信息處理系統.光學耦合器的應用主要集中在非線性光學系統中,如光的正交偏振[7]、等離子體[8]、三次五次非線性[9,10]、玻色-愛因斯坦凝聚體[11,12]以及非局域非線性[13]等非線性系統中都有非線性耦合器的提出.

非線性耦合器中的1 個基本的物理效應是非線性響應,而有些光學介質中的非線性響應具有空間非局域性,這意味著光束引起的折射率的局部變化取決于光強在給定點附近的分布[14].當非線性光學響應涉及到原子或分子的擴散、液晶中的分子再取向、熱傳導等非線性機制時就會產生非局域性.非局域性普遍存在于各種非線性光學材料中,包括向列相液晶[15]、克爾非線性介質[16?18]和光折變晶體[19].非局域性可以顯著地改變孤子之間相互作用的性質[20?23],避免有限尺寸光束的塌陷來穩定非線性介質中的多維孤子[24,25].此外,非局域還可以解釋新型孤子模式的形成[26?33].因此,非線性耦合器的非局域效應研究引起很多學者的興趣,如非局域性能顯著影響非線性耦合器中孤子的對稱性破缺相變,破壞孤子的對稱模式,產生不對稱孤子[34].葉芳偉小組[35]研究了非局域性對非線性耦合器性能的影響,發現在非局域非線性耦合器中存在3 種類型的孤子,即對稱孤子、反對稱孤子和不對稱孤子;黨亞琳等[36]研究表明非局域性不僅改變非線性耦合器中能量流的大小,而且影響非線性耦合器中孤子的穩定性和類型.考慮到非線性耦合器在光子學中潛在的應用價值,在這些系統中通過非局域性來控制孤子動力學行為將有助于擴大耦合器的應用范圍.

最近幾年,非局域非線性耦合器中的空間孤子一直是研究的熱點.在文獻[37]中,作者系統地研究了共傳輸的布拉格光柵孤子在雙芯光纖中的相互作用,發現兩個分開的同相孤子相互作用導致3 個孤子的形成.此外,在非局域非線性耦合器中,利用李群約化方法給出了多種類型的光孤子的解析解和Airy 數值解[36].Gao 等[38]在非局域非線性的熔錐型耦合器中發現了對稱、反對稱和不對稱的亮孤子對和偶極孤子對,并研究了這些孤子的穩定性.隨后,在非局域非線性耦合器中發現了多極亮孤子,得出在較強的非局域響應誘導下,兩孤子會相互吸引融合成一個孤子[39].Mahato 等[40]演示了在三階色散和共模色散存在下,P-T 對稱非線性方向耦合器中暗孤子的動力學行為,得出在非常低的臨界功率下,暗孤子作為全光開關比亮孤子更易觀察到,并且效率高.Malomed 課題組[41]在2015年提出在色散耦合存在的雙芯波導模型中,零頻背景支持的是灰孤子,而非零頻背景支持的是黑孤子.還有關于相位對P-T 對稱非線性方向耦合器中暗孤子穩定性的影響[42]和暗孤子作為全光開關的研究[43,44].然而,在非局域非線性耦合器中,不同類型的暗孤子以及耦合器中暗孤子之間的相互作用的報道很少.本文的主要任務是研究非局域非線性耦合器中不同類型的暗孤子和暗孤子的特性.

2 非局域非線性耦合器中暗孤子的物理模型

光束在克爾非線性平面雙芯波導中沿z軸傳播可以用耦合非線性薛定諤方程描述:

其中Uj代表光束的振幅;x和z分別表示光束寬度的橫向坐標和光傳播方向的縱向坐標;光場誘導折射率mj可以用公式

來描述;折射率mj可以通過改變入射光的強度來控制,其中

是一個實對稱的非局部響應函數;參數d表示非局域程度(d→0 對應局域,d→∞對應強非局域).αj是耦合系數,它反映了兩個光束之間的相互作用程度.βj是克爾非線性項的系數.具有傳播常數b的方程(1)和方程(2)的靜止解為Uj(x,z)=Wj(x)exp(ibz),mj(x,z)=Mj(x),將它們代入方程(1)和方程(2),實函數Wj和Mj滿足以下常微分方程:

3 基態暗孤子及其穩定性

3.1 基態暗孤子

假設方程(3)和方程(4)的初解形式為Wj=Ajtanh(x),Mj=Bjexp(?x2) ,其中Aj(j=1,2)是復合光場的振幅;Bj(j=1,2)是誘導折射率的振幅;選擇合適的參數α1=1,α2=2,β1=–2,β2=–1,A1=1,A2=2,B1=1,B2=1和d≤12的非負數,把Wj和Mj的初值代入方程(3)和方程(4)中作為初始迭代解,采用牛頓迭代的方法對方程(3)和方程(4)進行求解可以得到基態暗孤子(見圖1).圖1(a)表明在其他參數不變的情況下,非局域程度d=2.0,4.5,7.5 時,不同形狀的暗孤子在非局域程度d增大時,暗孤子的兩個凸出的駝峰也相應增大,而折射率隨之減小且m1和m2相等.暗孤子的幅值和束寬隨非局域程度的增大而增大.隨著非局域程度的增大,介質的非線性效應減弱,光束的衍射效應增強,導致孤子的寬度增大.當非局域程度d分別為 2.0 ,4.5 ,7.5 時,相應的功率P與傳播常數b的關系如圖1(b)所示.可以看出,b取不同的負值時,基態暗孤子功率隨b的增大而減小.當b固定時,非局域性程度d越大,功率越大,在這樣的區間內,基態暗孤子都是存在的.在圖1(c)中,d=2 和其他參數不變的情況下,非線性參數β1=–2,–5,–7 時,隨著非線性參數β1減小,基態暗孤子的束寬增大,幅值減小,即增強非線性效應可以提高光束的振幅.而相應的折射率mj的分布因非線性參數βj的變化存在一定的差異.當β2固定時,m1隨著β1的 減少而減少,而m2隨著β1的減少而增大.類似地,當β1固定時,m1隨著β2的減少而增大,而m2則隨著β2的減少而減少.從圖1(d)可以看出,隨著傳輸常數b的減小,光束寬度減小,幅值增大,相應的折射率減小并且m1和m2相等.為了研究耦合系數αj對孤子的影響,引入耦合系數之比G=α1/α2.當G<1 時,基態暗孤子U2的振幅包絡隨G的增大而迅速減小,并大于基態暗孤子U1的振幅包絡.基態暗孤子U1的振幅包絡緩慢減小,直到G=1.當G=3.125 時,兩分量基態暗孤子的振幅相等.當G>1 時,基態暗孤子U2的振幅包絡變化趨于平緩,而孤子U1的振幅包絡隨G的增大而增大(見圖1(e)).可以推斷,耦合系數越大,對自身暗孤子的幅值的影響越大,而對耦合孤子振幅的影響相對較小.

圖1 基態暗孤子數值解 (a)不同d 對應的波形(d 分別取2.0(藍線),4.5(紅線)和7.5(綠線));(b)功率與傳播常數的關系圖;(c) b =-1,d =2 ,β2=-1 時,不同 β1 對應的波形(β1 分別取–2(藍線),–5(紅線)和–7(綠線));(d) d =2 時,不同 b 對應的波形(b 分別取–0.2(藍線),–0.5(紅線)和–1.0(綠線));(e)不同耦合系數比值下,U1 和 U2的幅值圖Fig.1.Numerical solution of the ground state dark soliton:(a) Waveform corresponds to different d(d selected as 2.0(blue lines),4.5(red lines) and 7.5(green lines),respectively);(b) the power versus the propagation constant;(c) waveform corresponds to different β1 when b =–1,d =2,β2=-1 (β1 selected as–2(blue lines),–5(red lines) and–7(green lines),respectively);(d) waveform corresponds to different b(b selected as–0.2(blue lines),–0.5(red lines) and–1.0(green lines),respectively);(e) amplitude diagram of U1 and U2 for different coupling coefficient ratios.

3.2 基態暗孤子的線性穩定性分析

為了進一步探究基態暗孤子的動力學行為,對基態暗孤子的傳輸進行穩定性分析.最簡單的方法是在初值的基礎上加隨機白噪聲,并用分步傅里葉方法進行數值演化.改變傳播常數和非局域程度得到的基態暗孤子可以穩定地進行長距離傳播,如圖2(a)所示.此外,進一步證實基態暗孤子的穩定性是對其解做線性穩定性分析.為此引入方程(1)和方程(2)的基態暗孤子的擾動解:

圖2 基態暗孤子的傳輸特征及穩定性 (a) d =2,b =–1 時,U1的加噪傳輸圖;(b)穩定性圖譜Fig.2.Propagation characteristics and stability of the ground state dark soliton:(a) Propagation of U1 with the white noise when d=2 and b =–1;(b) stability profile.

根據文獻[45,46]中的線性穩定性分析方法,可解決線性特征值問題.如果λ的實部為零,反映了基態暗孤子解是線性穩定的,否則就是不穩定的.圖2(b)是圖2(a)對應的基態暗孤子的線性擾動增長率實部和虛部,兩圖很好地驗證了基態暗孤子的傳輸穩定性.通過線性穩定性分析和在初值的基礎上加微擾進行數值模擬,發現基態暗孤子在其存在的區域均是穩定的.

4 多極暗孤子及其穩定性

4.1 偶極暗孤子及其穩定性

通過改變試探解和選擇合適的參數,可以得到偶極、三極、四極以及五極的暗孤子.根據數值研究結果,發現基態暗孤子中非局域程度d、傳播常數b、非線性參數βj與暗孤子的寬度、幅值、功率之間的關系在多極暗孤子中也存在相似的關系.多極暗孤子可以被視為多個反對稱的相位分布的基態暗孤子的非線性組合(束縛態),它們之間的作用力將它們聚集在一起.這種束縛態不可能存在于局域克爾介質中,因為孤子間的 π 相位差會導致折射率分布在交界處有個局部下降,并導致排斥;相反,在非局域克爾介質中,由于介質具有卷積形式的非線性響應,折射率變化取決于整個橫截面上的光強分布,因此在兩個反相位孤子之間形成足夠高的折射率分布,引起兩孤子的相互吸引,當排斥相互作用最終被吸引相互作用平衡,這樣就會形成束縛態.當α1=1,α2=2,β1=–4,β2=–2 時,可以得到偶極暗孤子.圖3 給出了偶極暗孤子的特征和傳輸穩定性.偶極暗孤子折射率呈鐘形分布,頂部中心區域有1 個非零傾角,傾角兩邊是兩個微微凸起的駝峰,駝峰提供吸引相互作用與孤子間原有的排斥相互作用相抗衡,這在偶極暗孤子調制穩定性中起了重要的作用,如圖3(a)所示.類似的三極、四極以及五極也可以得到相似的暗孤子分布和折射率呈鐘形分布,只是折射率中心區域的頂部微微凸起的駝峰數與暗孤子的極數相同.暗孤子幅值為零處,對應的折射率出現駝峰,此處折射率更大,提供更大的吸引力.圖3(b)顯示偶極暗孤子是區域不穩定的.顯然,在 ? 2 ≤b≤?0.2 范圍內,當非局域程度d增大時,白色穩定區域變寬且移向更大的b.當傳播常數b固定時,在 3.5 ≤d≤6.4 區間,白色穩定區域向較大的d移動,進一步證實了非局域性可以調節孤子的穩定性.在b=–1.5,d=4.2的情況下,在初解的基礎上加白噪聲作為初始擾動解,得到偶極暗孤子傳播路徑不變的結果(見圖3(c)).然而,當b=–2,d=1.5 時,偶極暗孤子在傳播過程中不能保持穩定,如圖3(d)所示.相應的傳輸圖(圖3(c)和圖3(d))證實了圖3(b)中所示的穩定性分析結果是正確的.同樣地,可以得到三極和四極甚至五極暗孤子類似的結果.研究表明,在非局域非線性耦合器中,偶數極暗孤子比奇數極暗孤子更容易穩定,并且隨著極數的增加,多極暗孤子穩定區域變窄.

圖3 偶極暗孤子的特性 (a) d =1,b =–1 時偶極暗孤子的強度分布圖;(b) 線性穩定性區域圖;(c) d =4.2,b =–1.5 時,U1 傳輸圖;(d) d =1.5,b =–2 時,U1 傳輸圖Fig.3.Characteristics of the dipole dark soliton:(a) Intensity profiles of dipole dark soliton when d =1 and b =–1;(b) linear stability region diagram;(c) transmission diagram of U1 when d =4.2 and b =–1.5;(d) transmission diagram of U1 when d =1.5 and b =–2.

4.2 不同類型的偶極暗孤子及其穩定性

在這一節中,分析不同類型的偶極暗孤子的傳輸特性,數值結果如圖4 所示.當α1=1,α2=2,β1=–2,β2=–1 時,得到圖4(a)和圖4(d)兩種不同類型的偶極暗孤子.圖4(a)和圖4(d)顯示折射率在中心區域的分布幾乎呈亮孤子型.折射率達到最大值時,暗孤子的幅值為零,此處吸引相互作用最大.在圖4(a)中的兩個暗孤子形成1 個勢阱,對應的折射率分布區域形成1 個波谷,波谷的寬度決定孤子的間距,即孤子間距越大,波谷的寬度就越寬.圖4(a)中兩暗孤子間距為 10,在初值的基礎上加白噪聲作為初始微擾解進行傳播時,發現兩暗孤子能以蛇形穩定傳輸(見圖4(b)).為了更好地證明其傳輸穩定性,圖4(c)給出了線性擾動增長率λ的實部和虛部,λ的實部為零,這驗證了圖4(b)的傳輸演化結果.相反地,在圖4(d)中,在偶極暗孤子之間形成勢壘,這導致吸引相互作用和排斥相互作用之間存在競爭.在中心軸上,偶極暗孤子相距最近,對應的折射率最小,相互排斥作用最大.隨著折射率的增大,吸引相互作用增大,直到兩個孤子相距最遠.在這種情況下,偶極暗孤子沿z方向周期性傳輸,如圖4(e)所示.經過線性穩定性分析,發現其擾動增長率λ存在實部.值得注意的是,耦合器中還存在高度對稱的兩個偶極暗孤子.當α1=1,α2=2,β1=–4,β2=–2 時,可以得到圖4(g)和圖4(i)所示的兩個偶極暗孤子.在圖4(g)中,在兩個偶極孤子之間形成1 個勢阱,相鄰兩個偶極孤子之間的孤子間距為 8 .顯然,兩個偶極暗孤子的傳輸互不干擾,傳輸過程中的整個波形可以保持穩定,如圖4(g)所示;相反,在圖4(i)中,兩個偶極暗孤子之間形成勢壘,相鄰兩個偶極暗孤子之間的距離為 5,比圖4(g)中的距離窄.在這種情況下,兩個偶極暗孤子傳輸很短的距離就開始擴散(見圖4(j)),其傳輸機制與圖4(e)的偶極暗孤子類似.從以上結果可以得知:分開的偶極暗孤子之間存在周期性相互作用,為了減弱這種孤子間的干擾,一種方法是使孤子間距足夠大,使折射率中心區域的波谷寬度達到吸引相互作用等于排斥相互作用時的寬度.很明顯,圖4(d)中的孤子間距小于圖4(a),圖4(g)的孤子間距大于圖4(i),圖4(d)和圖4(i)中的暗孤子在短距離內周期性傳輸就開始振動(見圖4(e)和圖4(j)),可以得出孤子間距對偶極暗孤子的穩定性有影響.

圖4 不同類型的偶?極暗孤子的強度分布和傳播特性 (a)?(c)分別為 d =4,b =–1.5 時,偶極暗孤子的強度分布圖、傳輸圖和穩定性圖譜;(d)(f) 分別為 b =–1.3,d =1 時,偶極暗孤子的強度分布圖、傳輸圖和穩定性圖譜;(g)和(h)分別為 b =–1.7,d =2 時,兩個偶極暗孤子的強度分布和 U1的傳輸圖;(i) 和(j)分別為 b =–1.4,d =5 時,兩個偶極暗孤子的強度分布和 U1的傳輸圖Fig.4.Intensity profiles and propagating characteristics of different types of dipole dark soliton:(a)–(c) The intensity distribution diagram,the transmission diagram and the stability diagram of the dipole dark soliton when d =4 and b =–1.5 respectively;(d)?(f) the intensity distribution diagram,the transmission diagram and the stability diagram of the dipole dark soliton when b =–1.3 and d =1 respectively;(g) and(h) the intensity distribution of dipole-dipole dark solitons and the transmission diagram of U1 when b =–1.7 and d =2,respectively;(i) and(j) the intensity distribution of dipole-dipole dark solitons and the transmission diagram of U1 when b =–1.4 and d =5,respectively.

4.3 三極暗孤子及其穩定性

當α1=1,α2=2,β1=–2,β2=–1 時,可以得到三極暗孤子.從圖5(a)和圖5(c)可以看出,傳輸穩定性的性質與偶極暗孤子相似.在相鄰的兩個孤子之間形成勢阱,使得暗孤子更容易穩定傳輸;相反,兩個相鄰的孤子之間形成勢壘,孤子傳輸很短一段距離就開始發散,很難保持穩定.比較圖5(a)和圖5(c),圖5(c)中的三極暗孤子之間形成勢壘,對應的折射率分布區域形成波谷,波谷的寬度對應了孤子間的間距.圖5(c)中的孤子間距為4.6,比圖5(a)中的孤子間距小,圖5(a)中的孤子可以長距離穩定傳輸.對三極暗孤子的穩定性分析,進一步證實了暗孤子的穩定性受孤子間距的影響.

圖5 不同類型的三極暗孤子的強度分布和傳播特性 (a)和(b)分別為 b =–4.45,d =1 時,三極暗孤子的強度分布和 U 1 傳輸圖;(c)和(d)分別為 b =–1.2,d =1 時,三極暗孤子的強度分布和 U 1 傳輸圖Fig.5.Intensity profiles and propagating characteristics of tripole dark soliton:(a) and(b) The intensity distribution of the tripole dark soliton and the transmission diagram of U1 when b =–4.45 and d =1,respectively;(c) and(d) the intensity distribution of the tripole dark soliton and the transmission diagram of U1 when b =–1.2 and d =1,respectively.

5 結 論

本文采用牛頓迭代法,通過選取不同的初始值和合適的參數,得到了基態暗孤子和多極暗孤子.首先,探究了非局域程度、傳播常數、非線性參數和耦合系數與基態暗孤子的寬度、幅值、功率之間的關系,并且發現在多極暗孤子中也存在類似的關系.研究表明,暗孤子的功率隨著非局域程度和非線性參數的增大而增大,而隨著傳播常數的增大而減小.光場誘導的折射率總是在孤子幅值為零時達到最大,并且兩端值始終是1 個固定的值.其次,通過數值分析,發現基態暗孤子可以穩定傳輸,偶極和三極暗孤子也存在穩定的束縛態,對于更高極暗孤子,選擇合適的迭代初值和參數,同樣可以得到穩定傳輸的四極和五極暗孤子.此外,通過線性穩定性分析,發現多極暗孤子存在不穩定區域,其線性穩定性分析結果與傳播的穩定性結果一致.結果表明,在非局域非線性耦合器中,基態暗孤子在其存在的區域總是穩定的;而多極暗孤子在一定的非局域程度和傳播常數范圍內,偶數極暗孤子比奇數極更容易穩定,并且隨著極數的增加,多極暗孤子穩定區域變窄,穩定區寬度隨非局域程度的增大而變寬,并移動較大的傳播常數b.最后,得到了幾種不同類型的多極暗孤子,并對其進行穩定性分析.結合暗孤子傳輸穩定性分析,發現在非局域非線性耦合器中,暗孤子的穩定性不僅受非局域程度和傳播常數的影響,而且還受孤子間距的影響.因此,如何控制非局域非線性耦合器中的孤子間距是一個具有挑戰性的問題,值得進一步研究.