站在“C位”的一元二次方程

浦敘德

在團隊拍照時，一般站在中間位置的人就是這個團隊的核心，俗稱“C位”。初中數學共分“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”四大板塊，其中“數與代數”又分成“數與式、方程與不等式、函數”五個部分。從代數的角度看，方程在初中代數中起著承上啟下的橋梁作用，是名副其實的“C位”。九年級的一元二次方程是初中方程家族的收官一章，它既是小學代數中方程知識的發展，又是高中代數中方程學習的奠基，從方程的角度看，一元二次方程也處于“C位”。因此，我們非常有必要全面地認識一元二次方程，并整體地認識初中方程，由此展望認識后續的方程。

一、對一元二次方程的全面認識

本章主要學習一元二次方程的概念、解法、根與系數的關系、解決問題四個方面的內容。從一元二次方程的概念來看，它是延續一元一次方程、二元一次方程的研究方法，通過列舉一些具體的方程，給出“只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2，這樣的方程叫作一元二次方程”。這些概念都是用“元”和“次”來表達，其中“元”代表未知數的個數，“次”代表未知數的最高次數。在二元一次方程（組）的學習中，我們還遇到過三元一次方程（組）。二元一次方程和一元二次方程分別可以看成是在一元一次方程的基礎上，對“元”和“次”進行拓展。概念中“未知數的最高次數”的表述，說明方程中所含的代數式是整式。因此，一元一次方程、二元一次方程（組）、一元二次方程都屬于整式方程的范疇。

本章介紹了一元二次方程的四種解法，分別是直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法。它們之間有著緊密的聯系，其中公式法最為一般，適用于任何一個一元二次方程。對一元二次方程y=ax2+bx+c（a≠0）來說，得到公式的過程就是配方法，配方后用到的方法就是直接開平方法。因式分解法的本質是通過將方程化成一般形式后對左邊代數式進行因式分解，進而找到對應方程的根。因此，對于一個一元二次方程，首選因式分解法或直接開平方法，如果不行，再使用公式法，配方法一般只有在規定用這種解法時才使用。

本章最后介紹了用一元二次方程解決問題，學以致用是數學價值之一。我們發現，每學完一類方程，最后都是用該類方程知識解決實際問題。仔細分析，我們不難發現，用方程解決實際問題都有一些共性：一是問題中都包含數量之間的相等關系;二是都按照“設未知數——找出相等關系——列出方程——檢驗方程的解是否符合方程本身和實際問題——作答”的步驟進行;三是都把實際問題抽象成數學中的方程問題，建立方程模型，進而解決實際問題。唯一不同的就是問題中含有相等關系的個數以及列出方程的次數。可見，方程是解決實際問題非常重要的模型。它和不等式、函數共同組成初中代數中的三大主要模型。

二、對初中方程的整體認識

我們在七年級學習了一元一次方程、二元一次方程（組），在八年級學習了分式中的分式方程，在九年級學習了一元二次方程。如果把數、式、方程作為一個整體來看，那么初中所學方程都可以化成左邊是一個代數式，右邊等于0的形式，此時，我們就可以根據方程左邊的代數式來判斷方程的類型。如一元一次方程、二元一次方程（組）、一元二次方程化成右邊等于0之后，可以發現，它左邊的代數式都是整式，我們把這些方程統稱為整式方程。同樣，右邊等于0之后的方程，如果左邊是一個分式，那么這樣的方程就是分式方程。因為從數學的角度看，方程還可以看成是數式的運用，所以我們發現，對方程的分類，跟數式的分類完全一致。

回顧初中三年所學的方程，我們發現，對每一類方程的研究，都經歷了一個相同的歷程。一般地，從方程的概念出發，然后研究它的解法，最后用所學方程知識解決實際問題。初中所學的一元一次方程、二（三）元一次方程（組）、分式方程、一元二次方程都是方程家族中特殊的、簡單的方程。其中分式方程去分母后轉化為整式方程，它可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程;一元二次方程通過四種解法，最后都達到了降次的目的，轉化為一元一次方程;二（三）元一次方程（組）通過代入消元、加減消元最后也變成了一元一次方程。可見，一元一次方程是研究方程的基礎，轉化、化歸是解方程的思想。

三、對后續方程的展望認識

上面我們介紹了對本章方程的全面認識和初中方程的整體認識，在此之后，我們不妨對后面可能會研究的方程作一個展望。從整式方程的概念來展望，在一元一次方程的基礎上，我們可以分別對“元”和“次”進行無限擴充，依次得到一元一次方程、二元一次方程（組）、三元一次方程（組）……n元一次方程（組），又可以得到一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程……一元n次方程，還可以組合得到一元一次方程、二元二次方程（組）……就整式方程而言，就可以完成“從有限到無限”的質的飛越。

如果把整式方程和分式方程放在一起，就組成了“有理方程”。既然有有理方程，必定會有“無理方程”。事實上，初中階段也出現過無理方程，如[x]=2。只不過我們當時是從平方根、算術平方根（數的角度）來認識這個等式的。這里，我們可以從初中的視角將這些方程統稱為實數方程。實數方程分為有理方程和無理方程，有理方程又分為整式方程和分式方程。怎么樣，這種分類方式熟悉嗎？對咯，它跟數式的分類完全一致。

再從解法的視角來展望，我們會解分式方程、整式方程等有理方程。那么，如果是無理方程，我們該怎么解？無理方程是未知數含在根號內的方程，只要想辦法把根號去掉就可以了。事實上，在初中代數中我們也遇到過這樣的問題，如[x]=2，求x。如果是二次根號，只要通過平方，就可以去掉根號，對于其他情形，感興趣的同學不妨自己去嘗試一下。無理方程怎么解？一句話，無理方程有理化，想辦法把無理方程轉化為有理方程就可以了。

（作者單位：江蘇省無錫市新吳區教師發展中心）