整體認(rèn)識(shí)一元二次方程中的三個(gè)系數(shù)

陸文娟

如果已知一個(gè)一元二次方程，就是知道了ax2+bx+c=0（a≠0）中的系數(shù)a、b、c，那么我們可以通過(guò)直接開(kāi)平方法、配方法、公式法或因式分解法把它的根求出來(lái)。反之，如果知道一元二次方程的根，就可以反過(guò)來(lái)求出待定字母a、b、c的值。這說(shuō)明一元二次方程的根與三個(gè)系數(shù)之間有著緊密的聯(lián)系。下面我們就來(lái)整體認(rèn)識(shí)一下這三個(gè)系數(shù)。

一、正確認(rèn)識(shí)二次項(xiàng)系數(shù)

關(guān)于x的一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0，其中a、b、c是常數(shù)，并且a≠0。這句話告訴我們，如果確定了某一個(gè)方程是一元二次方程，那么對(duì)應(yīng)的a≠0;反之，只有a≠0，才能保證所給的方程是一元二次方程。

例1 已知關(guān)于x的方程（m-2）xm2-2+5mx-7=0是一元二次方程，求m的值。

【分析】粗心的同學(xué)一看到關(guān)于x的一元二次方程，馬上想到最高次數(shù)是2，進(jìn)而得到m2-2=2，求得m=±2。事實(shí)上，題目告訴我們關(guān)于x的方程是一元二次方程，所以首先要保證二次項(xiàng)系數(shù)不為0，即m-2≠0，得m≠2;其次才有m2-2=2，求得m=±2。結(jié)合上述兩條結(jié)論，本題正確的結(jié)果是m=-2。

二、全面認(rèn)識(shí)根的判別式

一個(gè)一元二次方程有沒(méi)有實(shí)數(shù)根，只要計(jì)算根的判別式，根據(jù)判別式的值是大于0、等于0還是小于0，就可以判斷。顯然，三個(gè)系數(shù)a、b、c決定了根的判別式的值。但同學(xué)們千萬(wàn)不要忘記，要計(jì)算根的判別式，其前提是給出的方程必須是一個(gè)一元二次方程。因此，我們要在a≠0的前提條件下，才能考慮計(jì)算Δ=b2-4ac的值。否則，就有可能出現(xiàn)差錯(cuò)。

例2 當(dāng)n為何值時(shí)，關(guān)于y的方程（n-1）y2+2ny+n+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？

【分析】粗心的同學(xué)看到方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，馬上計(jì)算根的判別式的值Δ=（2n）2-4（n-1）（n+3）>0，求出n<[32]。事實(shí)上，上面已經(jīng)說(shuō)過(guò)，要計(jì)算根的判別式的值，其前提是要保證二次項(xiàng)系數(shù)不為0，即先保證它是一個(gè)一元二次方程，所以n-1≠0，得n≠1。本題的解題過(guò)程是，先保證n≠1，再滿足n<[32]，這樣，正確結(jié)果為n<[32]且n≠1。

如果我們把上述問(wèn)題的敘述稍加改變，就可以得到下面這樣一個(gè)問(wèn)題：

當(dāng)n為何值時(shí)，關(guān)于y的方程（n-1）y2+2ny+n+3=0有實(shí)數(shù)根。這時(shí)的問(wèn)題又該如何求解呢？

【分析】由于問(wèn)題中沒(méi)有說(shuō)是一元二次方程，只說(shuō)是方程，那么，我們應(yīng)該把視野放大，從整式方程的角度來(lái)看問(wèn)題。如果n-1=0，即n=1，方程變成2y+4=0，顯然，這個(gè)方程有實(shí)數(shù)根。如果n-1≠0，得n≠1，即方程是一元二次方程，此時(shí)有根，那么根的判別式大于等于0，求出n的取值范圍是n≤[32]。綜合上述兩種情況，得到最后的結(jié)果是n≤[32]。

三、整體認(rèn)識(shí)韋達(dá)定理

上面我們介紹了一個(gè)整式方程是一元二次方程的前提是a≠0，在此前提下考慮根的判別式的值，進(jìn)而確定一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根、沒(méi)有實(shí)數(shù)根等情況。那么，一元二次方程ax2+bx+c=0根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=[-ba]，x1?x2=[ca]又該如何整體認(rèn)識(shí)呢？談到根與系數(shù)的關(guān)系，首先對(duì)應(yīng)的一元二次方程得有根，而一元二次方程有根的前提是根的判別式Δ=b2-4ac≥0，而要計(jì)算根的判別式的前提是方程必須是一元二次方程，即a≠0。由此我們就得出這樣的思考先后順序：首先是a≠0，其次是Δ=b2-4ac≥0，最后才是x1+x2=[-ba]，x1?x2=[ca]。

例3 已知關(guān)于x的方程（k2-1）x2+（k+1）x+1=0，其中k為實(shí)數(shù)，此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2滿足x1·x2=1，求k的值。

【分析】粗心的同學(xué)看到x1·x2=1，就會(huì)根據(jù)韋達(dá)定理列出關(guān)于k的等式x1·x2=[ca]=[1k2-1]=1，求出k=[±2]，進(jìn)而下結(jié)論。上面的整體認(rèn)識(shí)告訴我們，首先要考慮二次項(xiàng)系數(shù)k2-1≠0，求出k≠±1;其次計(jì)算根的判別式Δ=b2-4ac≥0，求出-1≤k≤[53];最后考慮根與系數(shù)的關(guān)系x1?x2=[ca]=[1k2-1]=1，求出k=[±2]。綜合以上三條結(jié)論，最后得出正確的結(jié)果是k=[2]。

乍一看一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，會(huì)覺(jué)得是三個(gè)不同的知識(shí)點(diǎn)，但上面的三個(gè)“認(rèn)識(shí)”告訴我們，它們都是研究一元二次方程系數(shù)的關(guān)鍵，看似獨(dú)立，實(shí)際卻緊密聯(lián)系，甚至還有先后的邏輯關(guān)系。事實(shí)告訴我們，很多數(shù)學(xué)知識(shí)之間都是有聯(lián)系的，學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)的秘訣就是要先把每個(gè)知識(shí)點(diǎn)熟練掌握，再把相互關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)全面認(rèn)識(shí)，最后對(duì)所學(xué)章節(jié)的知識(shí)或同類(lèi)知識(shí)進(jìn)行整體把握。我們只有逐步跨上了這樣三個(gè)從低到高的臺(tái)階，才能在知識(shí)的海洋中自由地暢游。

（作者單位：江蘇省江陰市新橋中學(xué)）