整體認識一元二次方程中的三個系數

陸文娟

如果已知一個一元二次方程，就是知道了ax2+bx+c=0（a≠0）中的系數a、b、c，那么我們可以通過直接開平方法、配方法、公式法或因式分解法把它的根求出來。反之，如果知道一元二次方程的根，就可以反過來求出待定字母a、b、c的值。這說明一元二次方程的根與三個系數之間有著緊密的聯系。下面我們就來整體認識一下這三個系數。

一、正確認識二次項系數

關于x的一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0，其中a、b、c是常數，并且a≠0。這句話告訴我們，如果確定了某一個方程是一元二次方程，那么對應的a≠0;反之，只有a≠0，才能保證所給的方程是一元二次方程。

例1 已知關于x的方程（m-2）xm2-2+5mx-7=0是一元二次方程，求m的值。

【分析】粗心的同學一看到關于x的一元二次方程，馬上想到最高次數是2，進而得到m2-2=2，求得m=±2。事實上，題目告訴我們關于x的方程是一元二次方程，所以首先要保證二次項系數不為0，即m-2≠0，得m≠2;其次才有m2-2=2，求得m=±2。結合上述兩條結論，本題正確的結果是m=-2。

二、全面認識根的判別式

一個一元二次方程有沒有實數根，只要計算根的判別式，根據判別式的值是大于0、等于0還是小于0，就可以判斷。顯然，三個系數a、b、c決定了根的判別式的值。但同學們千萬不要忘記，要計算根的判別式，其前提是給出的方程必須是一個一元二次方程。因此，我們要在a≠0的前提條件下，才能考慮計算Δ=b2-4ac的值。否則，就有可能出現差錯。

例2 當n為何值時，關于y的方程（n-1）y2+2ny+n+3=0有兩個不相等的實數根？

【分析】粗心的同學看到方程有兩個不相等的實數根，馬上計算根的判別式的值Δ=（2n）2-4（n-1）（n+3）>0，求出n<[32]。事實上，上面已經說過，要計算根的判別式的值，其前提是要保證二次項系數不為0，即先保證它是一個一元二次方程，所以n-1≠0，得n≠1。本題的解題過程是，先保證n≠1，再滿足n<[32]，這樣，正確結果為n<[32]且n≠1。

如果我們把上述問題的敘述稍加改變，就可以得到下面這樣一個問題：

當n為何值時，關于y的方程（n-1）y2+2ny+n+3=0有實數根。這時的問題又該如何求解呢？

【分析】由于問題中沒有說是一元二次方程，只說是方程，那么，我們應該把視野放大，從整式方程的角度來看問題。如果n-1=0，即n=1，方程變成2y+4=0，顯然，這個方程有實數根。如果n-1≠0，得n≠1，即方程是一元二次方程，此時有根，那么根的判別式大于等于0，求出n的取值范圍是n≤[32]。綜合上述兩種情況，得到最后的結果是n≤[32]。

三、整體認識韋達定理

上面我們介紹了一個整式方程是一元二次方程的前提是a≠0，在此前提下考慮根的判別式的值，進而確定一元二次方程有兩個不相等的實數根、有兩個相等的實數根、沒有實數根等情況。那么，一元二次方程ax2+bx+c=0根與系數的關系x1+x2=[-ba]，x1?x2=[ca]又該如何整體認識呢？談到根與系數的關系，首先對應的一元二次方程得有根，而一元二次方程有根的前提是根的判別式Δ=b2-4ac≥0，而要計算根的判別式的前提是方程必須是一元二次方程，即a≠0。由此我們就得出這樣的思考先后順序：首先是a≠0，其次是Δ=b2-4ac≥0，最后才是x1+x2=[-ba]，x1?x2=[ca]。

例3 已知關于x的方程（k2-1）x2+（k+1）x+1=0，其中k為實數，此方程的兩個實數根x1、x2滿足x1·x2=1，求k的值。

【分析】粗心的同學看到x1·x2=1，就會根據韋達定理列出關于k的等式x1·x2=[ca]=[1k2-1]=1，求出k=[±2]，進而下結論。上面的整體認識告訴我們，首先要考慮二次項系數k2-1≠0，求出k≠±1;其次計算根的判別式Δ=b2-4ac≥0，求出-1≤k≤[53];最后考慮根與系數的關系x1?x2=[ca]=[1k2-1]=1，求出k=[±2]。綜合以上三條結論，最后得出正確的結果是k=[2]。

乍一看一元二次方程的二次項系數、根的判別式、根與系數的關系，會覺得是三個不同的知識點，但上面的三個“認識”告訴我們，它們都是研究一元二次方程系數的關鍵，看似獨立，實際卻緊密聯系，甚至還有先后的邏輯關系。事實告訴我們，很多數學知識之間都是有聯系的，學好數學知識的秘訣就是要先把每個知識點熟練掌握，再把相互關聯的知識點全面認識，最后對所學章節的知識或同類知識進行整體把握。我們只有逐步跨上了這樣三個從低到高的臺階，才能在知識的海洋中自由地暢游。

（作者單位：江蘇省江陰市新橋中學）