加強概念理解 提升思維品質

顧宏萍

一元二次方程是初中數學“方程家族”最后一個亮相的方程，同學們有前面學習方程的基礎，會感覺非常容易上手，但在解題的過程中經常會出現“不明原因”的錯誤。其實這是對方程概念理解得不夠透徹，在解題過程中缺乏思考導致。

一、忽視對一元二次方程概念的理解

例1 若關于x的一元二次方程（m-1）·x2-3x+m2-1=0有一個根是0，則m的值為。

【錯解】把x=0代入方程得m2-1=0，解得m=±1，∴m的值為±1。

【正解】同上解得m=±1?！叽藶橐辉畏匠?，∴m-1≠0，m≠1，∴m=-1，即m的值為-1。

例2 若關于x的一元二次方程（k-1）·x2-2kx+k-3=0有實數根，則k的取值范圍為。

【錯解】因為此一元二次方程有實數根，根據根的判別式得Δ≥0，即Δ=（-2k）2-4（k-1）×（k-3）≥0，解得k≥[34]。∴k的取值范圍為k≥[34]。

【正解】同上解得k≥[34]。又∵k-1≠0，k≠1，∴k的取值范圍為k≥[34]且k≠1。

【剖析】這兩個例題雖然看似不同，例1考查的是方程的概念，例2考查的是根的判別式，但是做錯的原因卻是相同的。一元二次方程的概念強調，二次項系數必須不為0，在解題過程中如果忽略這個重要前提，解答就會出錯。

【點評】我們在學習一元二次方程概念的時候，不能只關注概念的表象，更要關注概念的內涵，在解題過程中要加強思維的深度和廣度，關注每個已知條件，以免出錯。

二、忽視對一元二次方程有實數根的理解

例3 下列一元二次方程中，兩根之和為1的是（）。

A.x2+x+1=0 B.x2-x+3=0

C.2x2-x-1=0 D.x2-x-5=0

【錯解】由一元二次方程根與系數關系x1+x2=[-ba]，部分同學看到選項B滿足條件即完成解答，選擇了B。

【正解】由根與系數的關系可得x2-x+3=0與x2-x-5=0的兩根之和為1，選項B、D均符合條件。但B選項的方程x2-x+3=0中Δ<0，無實根，D選項的方程x2-x-5=0有實數根且兩根之和為1，所以只能選D。

例4 關于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的兩實根之和大于-4，則k的取值范圍是（）。

A.k>-1 B.k<0

C.-1

【錯解】根據根與系數的關系求出x1+x2=-（2k+4）>-4，求出k<0。故選B。

【正解】根據條件可得此為一元二次方程，且有兩個實數根，由根的判別式求出b2-4ac=[2（k+2）]2-4×1×k2=16k+16≥0，即k≥-1;根據兩實根之和大于-4這個條件，由根與系數的關系求出-（2k+4）>-4，即k<0，所以k的取值范圍是-1≤k<0。故選D。

【剖析】這兩個選擇題雖然看似難度不高，但錯誤率都比較高，做錯的原因也完全相同。答題過程中同學們只關注題目中呈現的方程兩根滿足的條件，利用根與系數關系直接獲取答案，忽略了運用根與系數關系的前提是此一元二次方程要有實數根。

【點評】這兩題考查了根的判別式和根與系數的關系。我們要注意，應用根與系數的關系式的前提條件是一元二次方程ax2+bx+c=0中a≠0且b2-4ac≥0。因此，在做此類題目的時候，我們要仔細審題，圈出關鍵字，找尋到相關條件，提升思維的嚴密性。

三、忽視實際意義，未檢驗結果的合理性

例5 已知關于x的方程x2-（2k-3）x+k2-3k-10=0。

（1）求證：無論k為何值，這個方程總有兩個不相等的實數根。

（2）已知Rt△ABC的斜邊AB的長為5，是否存在實數k，使Rt△ABC的兩直角邊AC、BC的長是這個一元二次方程的兩個實數根？如果存在，求出k的值;如果不存在，請說明理由。

【錯解】（1）由根的判別式即可得出Δ=49>0，則無論k為何值，方程總有兩個不相等的實數根。

（2）在Rt△ABC中，斜邊AB=5，兩邊BC、AC的長是關于x的一元二次方程x2-（2k-3）x+k2-3k-10=0的兩個實數根，

∴BC2+AC2=25，BC+AC=2k-3，BC·AC=k2-3k-10。

∵BC2+AC2=（BC+AC）2-2BC·AC=25，

∴（2k-3）2-2·（k2-3k-10）=25，

化簡，得k2-3k+2=0，∴k1=2或k2=1。

答：k的值為2或1。

【正解】（1）同上。（2）同上求得k值。

當k1=2時，此方程為x2-x-12=0，BC·AC=-12<0，即BC和AC是一正數一負數，不符題意，故舍去;

當k2=1時，此方程為x2+x-12=0，同樣BC和AC是一正數一負數，不符題意，故舍去。

∴不存在實數k，使Rt△ABC的斜邊為5且兩直角邊AC、BC的長是這個一元二次方程的兩個實數根。

【剖析】本題的解題思路是利用直角三角形勾股定理建立方程，通過三角形的邊是方程的根的條件，運用根與系數關系將邊的關系轉化為關于k的方程，轉化過程中需要進行必要的恒等變形，難度有所提升。但同學們在解題過程中出現的最大的問題則是針對實際問題沒有檢驗結果的合理性。第一問雖然已經判斷出此方程肯定有兩個實數根，但三角形的邊是此方程的解，就需要額外滿足此方程有兩個正根的條件。

【點評】本題的第二問錯誤率極高，反映了同學們在解題的時候思維不夠嚴密。一元二次方程是初中數學的一個重要內容，也是中考的重要考點，在學習過程中要加強對概念的理解，解題過程中要關注每個條件，實際問題要學會檢驗結果的合理性，提升自己思維的深度、廣度和嚴謹性。

（作者單位：江蘇省無錫市東林中學）