選學(xué)內(nèi)容也有趣

吳涵

初學(xué)一元二次方程，你是否會認(rèn)為一元二次方程只是復(fù)雜的計算題？這只是面對系數(shù)為具體數(shù)值的時候。當(dāng)需要我們抽象分析，尤其是在學(xué)到選學(xué)內(nèi)容——一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時，就感到束手無策。很難嗎？但是非常有趣。

例1 設(shè)m、n分別為一元二次方程x2+2x-2018=0的兩個實數(shù)根，則m2+3m+n的值是多少？

你是不是上來就求解這個一元二次方程，想要把兩個實數(shù)根分別代進去？我們先稍微預(yù)想下，求解不易，代入計算更繁，更何況還要考慮m、n分別如何取值。有沒有更簡便的方法呢？我們再聯(lián)想與一元二次方程的根的情況有關(guān)的知識，就是我們教材選學(xué)部分的內(nèi)容——兩根和（積）與系數(shù)的關(guān)系。

解：∵m、n分別為一元二次方程x2+2x-2018=0的兩個實數(shù)根，

∴m2+2m=2018，m+n=-2，

∴m2+3m+n=m2+2m+（m+n）=2018+（-2）=2016。

這里，分別運用了根的概念、兩根和（積）與系數(shù)的關(guān)系的知識，運用了消除差異、整體代入的思想。這可比單純的求解一元二次方程有趣得多，你們說呢？

例2 若關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+m2-3m+3=0的兩根互為倒數(shù)，求m的值。

這里，方程的兩個根求不出來啊，如果用求根公式表達(dá)，又太過繁瑣。因此，我們需要抓住“兩根互為倒數(shù)”這一關(guān)鍵條件，聚焦思維、深入思考。這個條件的等價表達(dá)是“兩根乘積為1”，這又可以聯(lián)想到“兩根和（積）與系數(shù)的關(guān)系”。

解：設(shè)方程兩根為x1、x2，則x1·x2=1，即m2-3m+3=1，

解得m1=1，m2=2。

又∵方程有兩個實數(shù)根，

∴b2-4ac≥0，即m2-4（m2-3m+3）≥0，

∴（m-2）2≤0，

∴m=2。

比起例1，例2更多了一些嚴(yán)謹(jǐn)。我們可能會在最后一步忽視了“根與系數(shù)關(guān)系”成立的前提——存在實數(shù)根。這就要求我們不僅要善于展開聯(lián)想，還要養(yǎng)成嚴(yán)密的思維習(xí)慣。當(dāng)我們意識到自己思維習(xí)慣上的問題的時候，是不是很有收獲感呢？

例3 已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1=0的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足（x1-1）（x2-1）=8k2，求k的值。

相比前兩例，系數(shù)更復(fù)雜了，條件也更多了。給的條件讓人感到異常陌生，有的同學(xué)甚至感覺無從下手。然而，當(dāng)我們靜下心來仔細(xì)觀察、嘗試、思考之后，就會發(fā)現(xiàn)，在復(fù)雜的外衣下，例3有著和例1一樣的本質(zhì)。“兩個不相等的實數(shù)根”這一關(guān)鍵條件，正是本題的“題眼”——問題解決的關(guān)鍵第一步，接下來，先前不知如何運用的條件“（x1-1）（x2-1）=8k2”就有了用武之地。

解：∵x1、x2是關(guān)于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1=0的兩個不相等實數(shù)根，

∴x1+x2=-（3k+1），x1·x2=2k2+1。

于是（x1-1）（x2-1）=8k2可以整理為x1·x2-（x1+x2）+1=8k2，

即2k2+1+3k+1+1=8k2，

∴6k2-3k-3=0，

∴2k2-k-1=0，

解得k1=-0.5，k2=1。

是不是感覺原本復(fù)雜的題目變得簡單了，眼前頓時豁然開朗了？然而，別忘了思維的嚴(yán)密性哦。題目可不是“兩個實數(shù)根”，而是“兩個不相等的實數(shù)根”。由例2，我們知道，這里還需考慮b2-4ac>0，所以應(yīng)舍去k1=-0.5，取k2=1。至此，解答完整。

綜上，萬變不離其宗，找到關(guān)鍵條件，展開自然的聯(lián)想，運用所學(xué)知識，逐步嘗試推理，一步一步把陌生的式子轉(zhuǎn)化為熟悉的公式，這樣的過程不論是對必學(xué)內(nèi)容還是對選學(xué)內(nèi)容都是非常有趣的思維過程。讓我們一起養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，感受數(shù)學(xué)思維的魅力，增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣吧。

教師點評

小作者能夠在選學(xué)內(nèi)容中享受思維的樂趣，并在其中領(lǐng)悟到“不論是對必學(xué)內(nèi)容還是對選學(xué)內(nèi)容”，其思維過程都是“萬變不離其宗”，這才是相對于知識學(xué)習(xí)更為重要的思維學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是要像小作者一樣，在掌握“基礎(chǔ)知識、基本技能”的基礎(chǔ)上，領(lǐng)悟“基本思想方法”，積累“基本活動經(jīng)驗”，提高“發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決”問題的能力，學(xué)會有邏輯、嚴(yán)密地思考，形成數(shù)學(xué)思維方式，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)樂趣，培育科學(xué)精神，最終越學(xué)越會學(xué)、越學(xué)越智慧。

（指導(dǎo)教師：鐘 鳴）