例說典型分類 提升解題能力

命題人常通過設(shè)置綜合性問題，考查同學(xué)們對(duì)一元二次方程的靈活運(yùn)用，突出方程思想。下面就以2021年中考題為例進(jìn)行歸納剖析，以期對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、方程概念的綜合運(yùn)用

例1 （2021·四川廣安）關(guān)于x的一元二次方程（a+2）x2-3x+1=0有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（）。

A.a≤[14]且a≠-2B.a≤[14]

C.a<[14]且a≠-2D.a<[14]

【分析】根據(jù)“一元二次方程”得到a+2≠0;由“有實(shí)數(shù)根”得到Δ=（-3）2-4（a+2）×1≥0。

【答案】A。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的根的判別式和一元二次方程根的概念。本題的易錯(cuò)點(diǎn)有：當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)含有字母時(shí)，要注意二次項(xiàng)系數(shù)不等于0;有實(shí)數(shù)根包含兩層含義，一是方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，二是方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，兩種情況都屬于有實(shí)數(shù)根，所以Δ≥0。

例2 （2021·江蘇宿遷）方程[2x2-4]-[xx-2]=1的解是。

【分析】第一步是先兩邊同時(shí)乘x2-4，將分式方程去分母化為整式方程;第二步去分母后整理為x2+x-3=0，解一元二次方程;第三步對(duì)分式方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)。

【答案】x1=[-1+132]，x2=[-1-132]。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解分式方程和一元二次方程。本題的易錯(cuò)點(diǎn)有：去分母時(shí)，漏乘常數(shù)項(xiàng)1;分式方程忘記檢驗(yàn)解是否增根。

例3 （2021·湖北黃石）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有實(shí)數(shù)根。

（1）求m的取值范圍;

（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，且x12+x22=12，求m的值。

【分析】根據(jù)“有實(shí)數(shù)根”得到Δ≥0，即（2m）2-4（m2+m）≥0;由“x12+x22=12”聯(lián)想到完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2和韋達(dá)定理x1+x2=[-ba]，x1x2=[ca]，得到（x1+x2）2-2x1x2=12，又∵x1+x2=-2m，x1x2=m2+m，由一元二次方程解得m=3或m=-2;根據(jù)m的取值范圍得到m=-2。

【答案】（1）m≤0;（2）m=-2。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系和完全平方公式的應(yīng)用。本題的易錯(cuò)點(diǎn)有：完全平方公式的應(yīng)用;在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)，忘記前提條件Δ≥0，而沒有檢驗(yàn)所求出的解。

二、新定義中的一元二次方程

例4 （2021·浙江杭州）已知y1和y2均是以x為自變量的函數(shù)，當(dāng)x=m時(shí)，函數(shù)值分別是M1和M2，若存在實(shí)數(shù)m，使得M1+M2=0，則稱函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P。以下函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P的是（）。

A.y1=x2+2x和y2=-x-1

B.y1=x2+2x和y2=-x+1

C.y1=[-1x]和y2=-x-1

D.y1=[-1x]和y2=-x+1

【分析】根據(jù)條件梳理得到以下信息：y1和y2是用x表示的函數(shù);當(dāng)x=m時(shí)，y1=M1，y2=M2，M1+M2=0，則稱函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P。具有性質(zhì)P要滿足兩個(gè)條件：存在實(shí)數(shù)m;滿足M1+M2=y1+y2=0。對(duì)照題目要求要滿足：存在x使得y1+y2=0，即將兩個(gè)函數(shù)相加和為零且所得到的方程有解即可。

【答案】A。

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于新定義類問題，根據(jù)給出的定義構(gòu)造方程，利用方程思想解決問題是常見思路。本題也可利用函數(shù)圖像快速解答。本題的易錯(cuò)點(diǎn)有：沒有理解函數(shù)y1和y2具有性質(zhì)P的含義（對(duì)于新定義題型，最關(guān)鍵的就是理解定義）;根據(jù)根的判別式判斷一元二次方程是否有解。

三、一元二次方程與圖形的結(jié)合

例5 （2021·浙江溫州）如圖1，在平行四邊形ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)），且∠AEB=∠CFD=90°。

圖1

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形;

（2）當(dāng)AB=5，tan∠ABE=[34]，∠CBE=∠EAF時(shí)，求BD的長(zhǎng)。

【分析】易證AE∥CF，再證△ABE≌△CDF

（AAS），得AE=CF，即可得出結(jié)論。

根據(jù)AB=5，tan∠ABE=[34]，在Rt△ABE中由銳角三角函數(shù)定義和勾股定理求出AE=3，BE=4;由∠CBE=∠EAF，得到tan∠CBE=tan∠ECF，得[CFBF]=[EFCF]，求出EF=[13]-2，進(jìn)而得出答案。

【答案】（1）略;（2）BD=6+[13]。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)（九年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)）、解一元二次方程。本題的易錯(cuò)點(diǎn)有：平行四邊形識(shí)別方法不夠簡(jiǎn)潔，導(dǎo)致浪費(fèi)時(shí)間;不會(huì)使用條件AB=5，tan∠ABE=[34]，在直角三角形中只要有一邊一角或兩邊就可求這個(gè)直角三角形中所有量。

四、一元二次方程和函數(shù)、圖形的結(jié)合

例6 （2021·浙江溫州）如圖2，點(diǎn)A、B在反比例函數(shù)y=[kx]（k>0，x>0）的圖像上，AC⊥x軸于點(diǎn)C，BD⊥x軸于點(diǎn)D，BE⊥y軸于點(diǎn)E，連接AE。若OE=1，OC=[23]OD，AC=AE，則k的值為（）。

圖2

A.2B.[322]C.[94]D.2[2]

【分析】根據(jù)BE⊥y軸于點(diǎn)E，OE=1，得到B（k，1），BE=OD=k;根據(jù)AC⊥x軸于點(diǎn)C，OC=[23]OD，得到A（[23]k，[32]），AC=[32]=AE;設(shè)BE與AC交于點(diǎn)F，則EF=OC=[23]k;在Rt△AEF中，AF2+EF2=AE2，得到（[23]k）2+（[12]）2=（[32]）2，進(jìn)而得出答案。

【答案】B。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用和解一元二次方程。本題的易錯(cuò)點(diǎn)有：線段和點(diǎn)的坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及線段和點(diǎn)的坐標(biāo)的相互表示;點(diǎn)的坐標(biāo)有正負(fù)，而線段永遠(yuǎn)是正數(shù);有垂直就有直角三角形，則有勾股定理這個(gè)等量關(guān)系;重視圖像這個(gè)隱含條件，反比例函數(shù)圖像在第一象限，則k>0，即一元二次方程求解時(shí)，注意解的實(shí)際意義。

（作者單位：江蘇省無錫市后宅中學(xué)）