從圖形運(yùn)動(dòng)看全等三角形

第一章 全等三角形

領(lǐng)? ? 銜? ? 人：王金坤

組稿團(tuán)隊(duì)：江蘇省鹽城市毓龍路實(shí)驗(yàn)學(xué)校

在以前的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，我們常常將一個(gè)圖形平移、翻折、旋轉(zhuǎn)，以此來進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圖形的性質(zhì)。圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)統(tǒng)稱為圖形的運(yùn)動(dòng)。圖形的運(yùn)動(dòng)不改變圖形的形狀、大小，也就是說，運(yùn)動(dòng)前、后的兩個(gè)圖形是全等圖形。下面，讓我們一起通過圖形運(yùn)動(dòng)的方式來認(rèn)識(shí)全等三角形。

一、在圖形運(yùn)動(dòng)中感受全等三角形

問題1：我們觀察圖1、圖2、圖3中的兩個(gè)全等圖形，想一想，怎樣改變其中一個(gè)圖形的位置，使其與另一個(gè)圖形完全重合？你能按照同樣的方法，在這3個(gè)圖中分別畫出第3個(gè)、第4個(gè)圖形嗎？（蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第7頁。）

通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)，在圖1中可以平移其中一個(gè)圖形得到另一個(gè)圖形，在圖2中可以把其中一個(gè)圖形翻折得到另一個(gè)圖形，在圖3中可以把其中一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)得到另一個(gè)圖形。按照同樣的運(yùn)動(dòng)方式，我們可以分別畫出第3個(gè)、第4個(gè)圖形。

上述過程中，我們經(jīng)歷了觀察、比較、思考、畫圖等活動(dòng)，體會(huì)到圖形運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)是圖形的形狀、大小不變，只是圖形的位置發(fā)生變化。因此，我們可以用動(dòng)態(tài)的、直觀的方法認(rèn)識(shí)全等三角形。

二、在圖形運(yùn)動(dòng)中識(shí)別全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角

兩個(gè)能完全重合的三角形叫作全等三角形，互相重合的頂點(diǎn)叫作對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫作對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫作對(duì)應(yīng)角。表示兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常要把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上，這樣方便找出全等三角形的對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角。那么，怎樣正確地找出全等三角形的對(duì)應(yīng)元素呢？

問題2：圖4、圖5、圖6中的兩個(gè)三角形是全等三角形，請(qǐng)你找出它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角。

這3個(gè)圖形中的兩個(gè)三角形是全等三角形，說明它們能分別完全重合。我們可以用一張透明紙覆蓋在其中一個(gè)三角形上，用筆描出這個(gè)三角形，然后移動(dòng)這張透明紙，嘗試與另一個(gè)三角形重合。在操作活動(dòng)中，我們發(fā)現(xiàn)，圖4中，平移△ABC可以與△DEF重合，點(diǎn)A與點(diǎn)D、點(diǎn)B與點(diǎn)E、點(diǎn)C與點(diǎn)F分別重合，這樣就找到了它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，接下來就找出了對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角。類似地，圖5中，將△ABC沿BC所在直線翻折，可以與△DBC重合;圖6中，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°，可以與△DEC重合。

下面，請(qǐng)同學(xué)們用上述方法嘗試解決問題3。

問題3：圖7、圖8、圖9分別是兩個(gè)全等三角形的組合圖形，想一想，怎樣改變其中一個(gè)圖形的位置，使其可以與另一個(gè)圖形完全重合？請(qǐng)你找出各對(duì)全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角。

三、在圖形運(yùn)動(dòng)中發(fā)現(xiàn)復(fù)雜圖形中的全等三角形

在本章的學(xué)習(xí)中，我們要認(rèn)識(shí)全等三角形及其性質(zhì)，學(xué)習(xí)兩個(gè)三角形全等的條件，學(xué)會(huì)利用全等三角形探索圖形的性質(zhì)，其中，識(shí)別并證明三角形全等是關(guān)鍵。

問題4：已知，如圖10，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，AB=AC，∠B=∠C，你能證明AD=AE嗎？

這個(gè)問題中，我們也可以用一張透明紙覆蓋在圖10上，畫出△ABE，嘗試與△ACD重合。操作中不難發(fā)現(xiàn)，先將△ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為∠A，使AE落在AD所在直線上，再沿AD所在直線翻折就能與△ACD重合。更簡(jiǎn)單的方法是，將△ABE沿AF所在直線翻折與△ACD重合。這樣，我們用圖形運(yùn)動(dòng)的方法找到了全等三角形，接下來思考如何證明△ABE≌△ACD。

問題5：已知，如圖11，點(diǎn)E、F在CD上，DE=CF，AC=DB，且AC∥BD，你發(fā)現(xiàn)AE與BF有什么關(guān)系？證明你的發(fā)現(xiàn)。

觀察圖形，從直觀來看，將△ACE沿EC方向平移，使點(diǎn)E與點(diǎn)F重合，再將△ACE繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)180°，就可以與△BDF重合，或者將△ACE繞點(diǎn)EF中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，就可以與△BDF重合。這樣的圖形運(yùn)動(dòng)給我們提供了思路，通過證明△ACE≌△BDF，從而發(fā)現(xiàn)AE=BF，AE∥BF。請(qǐng)同學(xué)們自己寫出證明過程。

上述兩個(gè)問題中，我們都是先觀察圖形，用圖形運(yùn)動(dòng)的方法先識(shí)別兩個(gè)全等三角形，再根據(jù)三角形全等的條件進(jìn)行證明。接下來，請(qǐng)同學(xué)們自己解決以下問題：

問題6：如圖12，已知AB=AD，∠1=∠2，∠3=∠4。請(qǐng)找出圖中的全等三角形并進(jìn)行證明。

問題7：如圖13，已知∠DAB=∠EAC=60°，AB=AD，AC=AE，BE、CD相交于點(diǎn)O，AB、CD相交于點(diǎn)P，AC、BE相交于點(diǎn)F。你能求出∠DOE的大小嗎？

問題8：如圖14，已知點(diǎn)C、D在BE上，BC=ED，∠1=∠2，∠3=∠4。圖中有哪些全等三角形？請(qǐng)分別加以證明。

圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)給了我們對(duì)全等三角形的初步的、動(dòng)態(tài)的、本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，使我們對(duì)全等三角形有了更深刻的感悟。借助圖形的運(yùn)動(dòng)，我們探索并發(fā)現(xiàn)了許多圖形的性質(zhì)。當(dāng)然，確認(rèn)一個(gè)圖形的性質(zhì)，通常需要運(yùn)用推理的方法，有時(shí)也可以運(yùn)用圖形運(yùn)動(dòng)的方法，請(qǐng)同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中進(jìn)一步體會(huì)。

（作者單位：江蘇省鹽城市毓龍路實(shí)驗(yàn)學(xué)校）