巖體結構面空間可視化
——結構面發育特征的數學表征

宋振江

（甘肅省建筑設計研究院有限公司，甘肅蘭州 730030）

0 引言

不連續面在巖體中的空間特征描述（包括不連續面的產狀、幾何形態、間距、規模、密度及其空間組合形式）是對各類巖體結構地質作用進行正確分析與評價的主要手段[1]。

在當今的地質應用技術中，計算機屏幕所顯示的圖形、圖像是一種描述巖體結構信息的有效手段，通過結構面三維可視化圖形，使地質工程師直觀地看到巖體結構面空間的幾何形態、相互關系和分布，準確地進行科學分析。本文以研究結構面發育特征及數學表征為重點，內容包括：①研究結構面的發育特征，包括產狀、間距、延續性等，根據結構面的張開度推測結構面的發育程度；②研究地理坐標與數學坐標之間的關系，在三維坐標中得到它們的轉換關系；③以若干條結構面為例，在得到結構面上一點坐標及其產狀的前提下，利用數學技巧算出結構面在三維坐標中的方程；或通過結構面上不在同一直線上的三點坐標得到結構面在三維坐標中的方程。通過結構面方程研究它們的交切關系。

1 結構面發育特征

結構面是巖體內開裂的和易開裂的地質界面，包括物質分異面和不連續面，如層理、片理、沉積間斷面、斷層、節理、劈理等。在地質體上，結構面是一定物質組成的，如斷層由上下兩個面與充填于其間斷層巖和水組成，節理和裂隙也是由兩個面和面間的水和氣組成。

1.1 發育特征

結構面成因不同，加之經歷過不同時期構造運動改造，造成巖體結構特征千差萬別。結構面的自然特性決定著巖體的物理、力學性質，對其進行定量描述或研究是工程巖體力學的基礎工作，是使工程地質研究進入定量化的基礎工作。

1.1.1 產狀

結構面產狀即它在空間的分布狀態。在工程地質研究中，應特別注意對結構面產狀與工程建筑物方位間關系的研究，它往往對巖體穩定性和建筑物安危起重要作用。

1.1.2 間距

結構面間距指同組結構面法線方向上該組結構面間的平均距離，來表征巖體內結構面發育密集程度，也反映了巖體的完整程度和大小，通常按表1 進行分級描述。

表1 結構面間距的描述

1.1.3 延續性

延續性又稱延展性或連續性，指單個暴露面見到的結構面跡線的長度。表征有關結構面面積延伸或貫穿長度的粗略數值范圍。其測量應直接在露頭上進行，對走向和傾向方向分別進行測量。可參照表2 對其延續性進行描述。

表2 結構面延續性的描述

1.1.4 張開度

張開度是指結構面兩壁間的垂直距離，除水和空氣之外，壁間無充填物。張開度對巖石的變形和水力學性質影響很大，對巖石的強度也有一定的影響。

結構面張開度通常不大，一般<1mm。但某些情況下產生的裂隙，可能有較大的張開度，如發生過剪切位移和波狀和粗糙結構面；河谷侵蝕或冰川后退而發生拉伸作用形成的張性裂隙等。

1.1.5 組數

結構面組數是指巖體中交叉分布的結構面的組數。組數的多少是決定被切割塊體形狀的主要因素，它與間距一起決定了塊體的大小，從而決定了巖體的結構類型，進而控制著巖體的力學性質和工程的穩定性。

1.1.6 塊體尺寸

巖體中被交叉結構面分割的巖石塊體的大小稱塊體尺寸，與結構面間距、組數和延續性存在函數關系。嚴格來說，它不屬結構面的特征，而是由結構面上述特征所決定的結構體的特征之一。根據單位體積巖體中通過的結構面數量（即體積裂隙系數）來表示（見表3）。

表3 塊體尺寸描述

2 結構面的數學表征

結構面的各種信息，如走向、傾向、傾角是建立結構面數學模型最基礎的實測資料。根據這些資料，可以確定結構面在空間坐標中的位置以及它的數學方程。結構面在空間域中可分為平面、單值曲面和多值曲面，用不同的擬合函數來反映。只探討平面方程的形式。

2.1 坐標轉換

通常，地質坐標以北軸為0 度，以順時針旋轉為正方向；數學坐標是以x 軸為0 度，以逆時針旋轉為正方向。在數學坐標中，規定 y 軸正方向為地質坐標中的北（N），x 軸正方向為東（E），具體情況如圖1 所示。

圖1 坐標轉換

設一結構面走向為α，則它在數學坐標中的角度是“450°-α”，若這個值大于 360°，再減去 360°，若小于 360°，即為此值。

如，一結構面走向為NE72°，則它在數學坐標中的角度為450°-72°-360°=18°；再如，一結構面走向為 NW350°，則它在數學坐標中的角度為 450°-350°=100°。

2.2 結構面方程

為了方便研究，本文中涉及的結構面都認為是平面型式。下面給出兩種計算結構面方程的方法。

2.2.1 點法式

點法式是確定平面方程常用的數學方法。其原理是過空間一點可以作而且只能作一平面垂直于一已知直線。所以當知道平面上一點的坐標以及它的一個法向量，根據它們數量積為零，便可確定平面方程。

根據實測資料可以知道結構面上任意一點的空間坐標，以及結構面的傾角和傾向。設結構面上有一點M0，其坐標為（x0， y0，z0），結構面傾角為 α，傾向轉換成數學坐標的角度為 β。有一單位法向量n 垂直于結構面（見圖2），那么，這個單位法向量在 x、y、z 軸上的投影可根據傾角、傾向算出，其值為（sinαcosβ，sinβsinα，cos）。結構面上有一任意點 M（x，y，z），它們的數量積等于零：

圖2 結構面產狀

這就是該結構面的平面方程。

2.2.2 三點確定平面方程

此方法原理于點法式相同，只是求法向量的方法和前提不同。利用三點確定平面方程需要在實測時得到在結構面上不在同一直線上三個點的坐標，如圖3 所示。

圖3 三點確定平面

2.3 頂點坐標的確定

在結構面成圖時，需要確定結構面的范圍，這時候利用頂點坐標確定圖形的范圍是比較容易實現的。實際測量結構面時，可測得結構面出露兩點的坐標以及結構面的層內錯動帶的厚度。我們可以根據層內錯動帶厚度與結構面發育程度的公式（這是一個理論公式，實際情況也許與計算不同）推知其在走向方向上的發育范圍，公式如下：

式中：L中、L上分別為層內錯動帶點群長度中值和上限值，m；T-層內錯動帶實測厚度，cm。

根據露頭兩點的坐標，結構面發育的長度，以及走向可以確定結構面在巖體內另兩點的坐標。因為數學模型為長方形，所以z 軸數值不變，只需計算 x、y 值。

計算方法：設出露點M 的坐標為（x，y），其走向轉換為數學坐標的角度為α，結構面發育長度為h，求點M1的坐標。如圖4所示。

圖4 結構面頂點坐標求解

那么，所求點的坐標為（x+hcosα，y+hsinα）。

2.4 交點、交線

結構面相互之間相交，必定會有交線，兩個以上的結構面相交有可能產生交點。交線、交點的算法是我們熟悉的聯立方程。只要知道結構面的數學方程，這一部自然沒有什么難度。在求交點時，有時會有很多方程聯立，為了計算方便，可以把它們寫成矩陣形式，然后根據矩陣的初等變換進行計算。

3 結論與展望

巖體結構三維可視化將是今后巖體結構研究的一個重要方向，對巖土工程穩定性具有重要影響。巖體結構復雜，難以利用單一的構模方法來進行描述。本文從數學角度淺顯地研究結構面三維可視化中坐標的轉換、數學方程的建立。巖體結構三維可視化研究與開發目前仍在進一步研究和開發，將要成為地質工作者研究巖體的重要手段。