函數單調性教學實踐研究

雷會榮

(江蘇省徐州財經高等技術學校基礎部 江蘇徐州 221008)

《江蘇省五年制高等職業教育數學課程標準》指出，數學教學應“根據五年制高等職業教育學生的認知水平，提出與學生認知基礎相適應的邏輯推理、空間想象、數據處理等能力要求”，既要讓高職學生“了解數學的思想方法和精神實質，真正掌握數學這門學科的精髓”，同時“要尊重學生的基礎，遵循學生的認知規律”。高職數學教學中，應本著嚴謹性和量力性相結合的原則，把握好適度的嚴謹，采用多元化教學手段。下面，我基于著這一原則，探討高職數學函數單調性的教學[1]。

一、教材分析

函數單調性是高職數學教材第一冊的2.3節內容，學生在初中學習了一次函數、二次函數和反比例函數，對函數單調性有一個初步的感性認識。本節在此基礎上，進一步學習函數單調性的嚴格定義，后續將研究冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的單調性。在三年級第六冊書還將以導數為工具，研究函數的單調性。因此，本節課的知識，既是初中學習的延續和深化，又為后面的學習奠定堅實基礎。

李邦河院士說“數學根本上是玩概念的”，數學概念教學應是數學教學的重點。在高職數學教材中，函數單調性概念的符號語言，也是在教材中反復出現并在各種例題、練習中均用到，對高職學生來說雖有難度但不能隨意刪掉；同時考慮到高職學生的知識基礎和認知能力，數學的概念教學采用情境教學可以激發學生學習興趣，同時采用信息化手段化抽象為形象，以問題串形式啟發引導學生循序漸進生成概念。例題和練習選擇計算能力要求不高的題目，讓學生通過認知和實踐，能深入地理解函數單調性的符號語言，不會因為運算的復雜性影響對概念的理解掌握，體現了適度嚴謹的原則。因而，高職“函數的單調性”教學目標確定如下：

1.能結合一次函數、二次函數，說明函數的變化趨勢。

2.能借助具體函數的圖像直觀，經歷符號化過程，抽象出函數的單調性概念。

3.能利用函數圖像寫出函數的單調區間，能利用定義證明一次函數的單調性。

4.能積極參與同學間、師生間的交流活動，培養自己觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力。

二、教學過程

（一）創設情境，引入課題

課前布置預習任務，學生復習一次函數、二次函數、反比例函數及其圖像，并尋找生活中的事物變化圖像，例如本地某一天溫度隨時間變化圖、一年的降雨量圖、我國近十年的經濟增長圖、某股票一月走勢圖、青春期女生的身高變化圖、艾濱浩斯遺忘曲線圖等，要求每個學生提交至少一種，選取部分優秀作品用于課堂展示、欣賞，引導學生觀察圖像的特點，獲得“從左到右看，圖像的某些部分有上升、某些部分有下降”的整體認識，引出本節課要學習的內容[2]。

以任務的方式創設情境，促使學生完成對新課的學習準備，引入新課，同時拉近數學和生活的距離，激發學生對數學的學習興趣，點燃學生的數學學習參與熱情，擴展學生的知識面，也通過滲透函數是研究生活中事物運動變化規律的數學模型的概念，培育了學生的數學模型化核心素養[3]。

（二）循序漸進，生成概念

選取學生課前預習作業，以一次函數、二次函數圖像來研究分析，設計下列問題串，啟發、引導學生循序漸進、深入思考，建構函數單調性概念。

問題1：觀察下面，說說它們圖像有什么變化特征？

（1）y=x+1；（2）y=-x+1；（3）y=x2；

設計意圖：以一次函數、二次函數圖像為例，以學生已有的知識基礎作為先行組織者來建構新知識，符合認知規律，利于新知識的學習。通過對圖像分析，學生直觀感知圖形“上升”“下降”，歸納函數圖像的共同屬性，抽象出本質屬性，從而形成函數單調性的圖形語言概念：即從左往右觀察函數圖像，如果圖像在區間D上呈上升（下降）趨勢，則稱函數在區間D上是單調增函數（減函數）。

選擇部分學生的課前作業，利用函數的圖像特征分析函數的單調性，深化學生用圖像的升降判斷函數單調性的認知。

問題2：結合函數圖像，試用自變量和函數的變化規律，說明函數圖像的“上升”（“下降”），函教師利用幾何畫板，動態地演示問題1中的三個函數圖像，當點從左往右滾動過程，將點的坐標變化情況同步顯示出來，直觀地顯示函數圖像從左至右上升（下降）時，x增大時函數y增大（減小）。學生據此不難歸納得出函數單調性的自然語言概念：函數在定義域的某個集合上，隨著自變量x增大數f(x)也增大（減小），則稱函數f(x)在數集I上是增函數（減函數）。

設計意圖：利用信息化手段，化抽象為形象，化靜態為動態，啟發引導學生將形轉化為數，將單調函數概念的圖形語言轉化為自然語言，用自然語言描述函數的單調性。對于高職學生，既能激發學生的學習興趣，又可以降低理解抽象的數學概念的難度。

問題3：如果f(x)=x+1，試填空：

（1）f(50)=_______，f(100)=_______，f(50)______f(100)（<或>）；

（2）如果x1）；

（3）如果任意x1）。

設計意圖：抽象出單調函數的概念，是本節課的難點。此處重在突破本節難點，讓學生在教師搭建的腳手架下，以簡單函數為例，化解學生理解的難度，但不影響揭示單調函數的本質特征，由特殊到一般，循序漸進，同時讓學生充分理解對全稱量詞“任意”這一邏輯用語；以問題啟發引導學生，最終形成符號語言表達具體的函數單調性的概念；也體現職業教育的特點，適當降低理論要求，“不過分追求系統性、完整性和嚴密性”，本著嚴謹性和量力性相結合的原則，提高學生數學抽象核心素養，提高學生思維品質。

對于函數f(x)=x+1，任意x1∈R，x2∈I，當x1

問題4：試用符號語言表示函數f(x)在數集上是單調函數

對于函數f(x)，任意x1∈I，x2∈I，當x1

對于函數f(x)，任意x1∈I，x2∈I，當x1f(x2)，則稱函數f(x)在I是單調減函數。

如果函數f(x)在區間D上是單調增函數或單調減函數，則稱函數f(x)在區間D是單調函數，區間D為單調區間。

設計意圖：由特殊到一般，由具體到抽象，水到渠成地得到一般函數單調性概念的符號語言，類比得到單調減函數的符號語言概念，進一步得到單調函數、單調區間概念。在函數單調性概念的形成過程中，充分尊重學生的基礎，遵循學生的認知規律，學生經歷由具體到抽象的過程，有利于數學抽象核心素養的培養。

（三）例題及練習，強化理解

1.寫出函數f(x)=-2x+1的單調區間，并證明；

通過例題及練習，深化學生對符號化定義的理解，以及對“任意”全稱量詞的進一步理解。

三、教學反思

本次課的教學設計，通過創設豐富的生活情境，拉近數學與生活的聯系，激發學生學習興趣；借助信息化教學手段，降低學生理解抽象的數學理論學習難度。教學過程注重知識銜接，聯系學生在初中學習的一次函數、二次函數和反比例函數，聯系后面將學習的函數的奇偶性、周期性等函數的性質以及函數的導數等知識，幫助學生建構良好的知識體系或概念網絡圖[4]。

課堂以問題串形式，給學生搭好腳手架，引導學生思考、交流、討論、歸納，讓學生合作學習，循序漸進，逐步生成抽象的函數單調性概念的符號語言，體現以學生為學習主體的教學理念。教學中重視培養學生的數學核心素養，函數單調性概念的教學過程中，培養了學生的數學抽象、直觀想象素養，以及對“任意”全稱量詞的理解和利用概念證明函數單調性，培養了學生的邏輯推理、數學運算素養。在核心素養形成中，進一步提高了學生數形結合思想、模型化思想、特殊與一般思想等數學思想和數學方法。因此，函數單調性概念的教學，將培養學生的核心素養和提高數學思想融合在一起，從而實現高職數學教學的最終目的。