大學物理教材自由度部分的常見問題

王建永 劉翠紅 王一凡 文 文

(1.河海大學理學院 江蘇常州 213022；2.河海大學物聯網工程學院 江蘇常州 213022)

自由度及其相關內容是大學物理的重要組成部分之一，在理論力學、熱學等物理學分支中有非常重要的應用價值[1][2][3]，但目前不同作者編著的大學物理教材關于自由度的講解差別很大，有的教材甚至存在不當之處。這給教師講解和學生學習這部分內容造成了很多困難，甚至會使學生產生一些錯誤認識。已有文獻[4][5][6][7]對此做了一些分析，但這些文獻的分析主要集中在自由度的定義上，對和自由度相關的其他問題一般沒有涉及，即便是關于自由度的定義的分析，也有一些可商榷之處。因此，很有必要對自由度及其相關內容做一個比較全面的分析。

一、問題及分析

經過查閱和分析不同作者編著的多個不同版本的大學物理教材，我們發現目前的大學物理教材自由度部分主要存在以下三個問題。

（一）不同教材給出的自由度的定義一般不同，而且定義比較多

經過梳理統計，發現目前的教材中常見的自由度的定義有：1.確定物體的空間位置和方位所需要的獨立坐標的數目。2.描述物體運動的獨立方程的數目。3.物體能量函數中獨立的坐標和速度的平方項的數目。4.物體能量函數中廣義坐標和廣義動量的總數。另有一些不太常見的自由度定義這里就不再列出了。

可以證明，自由度的前兩個定義是等價的，后兩個定義也是等價的，但前兩個定義和后兩個定義卻不等價。因此，對于同一個研究對象，使用不同的自由度的定義，得到的自由度可能不同。例如，非剛性雙原子分子，如果使用自由度的前兩個定義，其自由度為6，如果使用自由度的后兩個定義，其自由度為7。對于其他更復雜的分子，顯然也存在這樣的問題。學生在學習中如果接觸到了不同的教材或參考書，就可能對此非常困惑，這無形中增加了他們學習的難度。當然，不同的定義各有優缺點，前兩個定義尤其是第一個定義的優點是簡單直觀，物體的自由度也比較容易判斷，缺點是在計算非剛性分子系統的內能時需要另作處理，后兩個定義尤其是第三個定義的優點是易于根據能量均分定理計算系統的內能，但因為分子能量函數通常不易寫出，所以判斷分子的自由度通常比較困難。

經過研究，我們建議在教學中使用第一個定義，主要理由有：1.第一個定義具有物理圖象鮮明直觀、易于掌握和判斷等優點，而中學物理里通常沒有自由度的有關內容，學生在大學物理中是第一次接觸自由度，應該以簡單易學為教學標準。2.前兩個定義研究力學問題方便，后兩個定義研究熱學問題方便，而在目前的大學物理內容體系中，力學都是排在熱學前面的。3.第一個定義的唯一的不足是在計算非剛性分子系統的內能時需要另作處理，而這其實是很容易做到的，只需要補充機械振動理論中的“簡諧振動的動能的平均值和勢能的平均值相等”的結論即可。

（二）部分教材給出的確定轉動自由度的方法有問題

部分教材給出的確定轉動自由度的方法如下：如圖1所示，首先確定轉軸的空間指向，這需要知道轉軸的三個方向角α、β和γ，但由公式cos2α+cos2β+cos2γ=1可知，只要知道了兩個方向角，第三個方向角可通過該公式計算得出，因此三個方向角其實只需要知道兩個，確定轉軸的空間指向只需要兩個方向角。如果研究對象是非直線形的，則為了完全確定研究對象的空間位置和方位，還需要考慮研究對象繞著轉軸的轉動，這就又需要一個坐標。因此非直線形研究對象的轉動自由度為3，而直線形研究對象的轉動自由度為2。

為了解決這些教材給出的確定轉動自由度方法的問題，我們建議采用以下方法：如圖2所示，建立球坐標系，并設圖中的向量OP和研究對象的轉軸共線且同向。球坐標系有三個坐標，即ρ、θ和φ，其中ρ用來確定P到O的距離，θ和φ用來確定向量OP的方向。由于我們已假定向量OP和研究對象的轉軸共線且同向，因此為了確定研究對象的轉軸的空間指向，只需要θ和φ兩個坐標，這就避免了上述部分教材給出的確定研究對象轉動自由度方法的問題。

（三）大多數教材在給出剛性多原子分子的自由度時沒有區分直線型分子和非直線型分子兩種情況

大多數教材給出的剛性多原子分子的自由度都是6，顯然這里的分子是非直線型的，因為非直線型分子的平動自由度為3，轉動自由度也為3，總自由度自然為6。但多原子分子還有直線型的，例如二氧化碳分子。對于直線型多原子分子，其平動自由度仍為3，但轉動自由度為2，因為可以假定分子的轉軸和分子本身共線，則分子繞轉軸的轉動就不需要考慮了，只要確定轉軸的空間指向就可以了，而確定轉軸的空間指向，如上分析，只需要θ和φ這兩個球坐標。因此，直線型多原子分子的總自由度為5。所以，大多數教材在給出剛性多原子分子的自由度時不區分直線型分子和非直線型分子是有問題的，我們建議這些教材的作者在修訂教材時解決這一問題。

二、結束語

目前的大學物理教材自由度部分存在定義不統一、講解有不足等問題，這給教師講解和學生學習這部分內容增加了不少困難，甚至使學生產生了錯誤認識，并且影響了后續課程的學習。我們建議大學物理教材的編寫者在修訂教材時解決這些問題，在教材修訂之前，廣大的大學物理教師在教學中應該不拘泥于教材，發揮主觀能動性，向學生傳授正確的知識和方法。