淺談圓錐曲線離心率的求解策略

彭祥斌 柳 瑛

(重慶市巫山大昌中學校 重慶 404707)

一、方法與思想

方法：1.結合定義利用圖形中幾何量之間的大小關系。2.不等式（組）求解法：利用題意結合圖形（如點在曲線內等）列出所討論的離心率（a、b、c）適合的不等式（組），通過解不等式組得出離心率的變化范圍。3.函數值域求解法：把所討論的離心率作為一個函數、一個適當的參數作為自變量來表示這個函數，通過討論函數的值域來求離心率的變化范圍。4.利用代數基本不等式。代數基本不等式的應用，往往需要創造條件，并進行巧妙的構思。5.結合參數方程，利用三角函數的有界性。直線、圓或橢圓的參數方程，它們的一個共同特點是均含有三角式。因此，它們的應用價值在于：通過參數θ簡明地表示曲線上點的坐標；利用三角函數的有界性及其變形公式來幫助求解范圍等問題。6.構造一個二次方程，利用判別式△≥0。

思想：1.數形結合的思想方法。一是要注意畫圖，草圖雖不要求精確，但必須正確，特別是其中各種量之間的大小和位置關系不能倒置；二是要會把幾何圖形的特征用代數方法表示出來，反之應由代數量確定幾何特征；三要注意用幾何方法直觀解題。2.轉化的思想方漢。如方程與圖形間的轉化、求曲線交點問題與解方程組之間的轉化，實際問題向數學問題的轉化，動點與不動點間的轉化。3.函數與方程的思想。如解二元二次方程組、方程的根及根與系數的關系、求最值中的一元二次函數知識等。4.分類討論的思想方法。如對橢圓、雙曲線定義的討論、對三條曲線的標準方程的討論等。

二、考點及例題

（一）利用題設條件求出a，c的值

（二）借助直角三角形的邊角關系

（三）借助其他曲線的關系求離心率

（四）利用橢圓或雙曲線的定義求離心率

（五）借助雙曲線的漸近線求離心率

（六）求離心率的范圍

方法反思：若改變兩個焦半徑PF1、PF2的倍分關系，同理也可得出相應的離心率的范圍。