基于局部共振理論的齒輪成形磨削縱彎諧振系統設計

郭星晨，趙 波，尹 龍，別文博，王曉博

（河南理工大學 機械與動力工程學院，河南 焦作 454000）

大負載型成形砂輪盤諧振系統，為目前鮮有研究的齒輪成形磨削縱彎諧振振動系統。該系統分為兩部分組成:圓錐過渡型復合變幅桿和成形砂輪盤。其中，變幅桿做單一縱向振動，激勵成形砂輪做節圓型橫向彎曲振動，從而實現兩種不同振型的復合。在旋轉超聲加工領域，將振動附加在磨具上，通過改變材料去除機理，可降低宏觀磨削力與磨削熱，并具有精度高、效率高、成本低等優勢[1-5]。由于盤形負載輻射面積大、功率大、帶寬大等特點，故通常應用于超聲清洗、超聲換能器等聲學領域，且相比超聲鉆削、銑削等，縱振變幅器具有較高的聲輻射效率[6]。成形砂輪盤諧振系統作為齒輪超聲磨削技術的關鍵，其設計理論對超聲加工、超聲后處理等應用具有重要影響。

據文獻[7-8]顯示，在多數超聲振動系統設計中，若工具頭滿足兩點條件之一，則可遵照全諧振設計理論進行設計，即變幅桿質量遠大于工具桿，可忽略對系統設計的影響，亦或較大工具頭可結合設計頻率進行自由設計。文中所述砂輪作為變幅桿直接負載，其幾何尺寸和相關材料特性等均取決于使用條件，故不能按照頻率進行自由設計。再者，因其體積大、質量重，則全諧振設計方法不適用于本系統的設計。此外，全諧振設計方法是基于同一頻率對系統整體進行設計，對系統各部分的精度要求較高，一般工裝設計精度和加工條件難以滿足所需要求，且少許偏差均可致使各部分諧振頻率發生漂移，從而影響系統穩定性[9]。由此，局部共振設計方法為大負載工具頭振動系統的設計提供了一種高效穩定的途徑。

范國良等[10]最早在有關超聲鉆削深小孔加工中發現局部共振現象。隨著超聲加工技術的發展，基于局部共振理論，Lin等[11]和Suzuki等[12-13]分別提出整體共振設計和非諧振設計理論。李鵬濤等[14]運用局部共振理論設計了超聲銑削聲學系統。文獻[15-17]基于Mindlin理論，對縱彎諧振變幅器及超聲珩齒系統進行了一體式非諧振設計。文獻[18-21]研究了變幅桿激勵面積及變幅器幾何尺寸，對矩形板和階梯圓盤的諧振頻率、振幅、振型等振動特性的影響規律。其中，局部共振理論既可使所需振動系統工具頭幾何尺寸根據使用條件進行設計，又可通過調節發生器頻率，降低工具頭因磨損所導致的諧振頻率漂移影響，具有較高的穩定性。

基于以上研究，本文結合局部共振理論，對超聲磨齒系統中的大負載成形砂輪盤縱彎諧振系統進行一體式設計。結合振動單元間的連續條件和邊界條件，按照一體式設計思路建立縱彎諧振系統的理論模型和頻率方程，并利用相關軟件進行計算、建模及仿真模擬。此外，通過有限元模態分析、諧響應分析、阻抗分析試驗和超聲諧振試驗，對系統頻率以及實際效果進行分析驗證，表明了基于局部共振設計理論的砂輪盤縱彎諧振系統設計方法的可行性與準確性。

1 齒輪成形磨削縱彎諧振系統理論模型

1.1 模型條件

基于局部共振耦合理論，本文采用一體式設計思路，對齒輪成形磨削砂輪盤振動系統進行設計。系統從左至右分為三段:圓柱段L1、圓錐過渡段L2以及砂輪盤段L3，λ為波長。 其中，R1=16 mm，R2=11 mm、變幅桿為3/4波長圓錐過渡型、設計頻率為35.00 kHz、Ⅰ為磨齒工作端、Ⅱ為砂輪基體、Ⅲ為變幅桿、砂輪盤厚L3=12 mm。

齒輪成形磨削砂輪盤振動系統模型示意圖，如圖1所示。具體表現為:砂輪與變幅桿經螺母固連；為簡化理論分析，忽略螺母的影響；換能器作為激勵源與變幅桿經螺栓緊密連接。變幅桿中質點以縱波形式傳向砂輪盤段，并轉換為橫波振動方式。鑒于砂輪厚度遠小于其半徑大小，故可將該段按薄圓盤振動形式處理。而當該系統做縱彎諧振時，砂輪盤單元則在縱振變幅桿的激勵下做橫向節圓型彎曲振動，即系統整體以縱-彎的形式傳導。故，砂輪盤工作端質點實際振動方向表現為與變幅桿軸線形成一定夾角。

圖1 齒輪成形磨削超聲振動系統Fig.1 Gear forming and grinding ultrasonic vibration system

1.2 頻率方程

諧振條件下，變截面桿縱振動波動方程表示為[22]

式中:S=S（x）為變幅桿的橫截面積函數；ξ=ξ（x）為質點位移函數；k=ω/c，k為縱波圓波數，c為縱波在細棒中的傳播速度，m/s。

結合式（1）求得變幅桿各段位移函數ξ（x）以及應力函數 ?ξ（x）/?x:

（1）圓柱段位移函數和應力函數

（2）圓錐段位移函數和應力函數

（3）砂輪盤段位移函數和應力函數

由薄圓板厚徑比計算標準（L3/R3?1）得知，砂輪盤做薄盤自由振動，其無阻尼運動微分方程為[23]

式中:D為彎曲剛度，N/m；E0為彈性模量，GPa；ρ為面密度，kg/m2；L3為盤厚，mm；μ為泊松比；w為砂輪盤上質點的位移函數；?2為拉普拉斯算子

當極坐標系的原點與砂輪中心點重合，且砂輪盤做簡諧運動時，工具盤的理想化振動微分函數表示為

式中:ω1為砂輪盤振動角頻率，rad/s；Jn（·）和Yn（·）分別為第一類、第二類貝塞爾函數；n為砂輪盤振動的節徑數。

根據薄圓盤振動設計要求，通常假定其振動節徑數n=0，則圓盤段的位移函數和應力函數可分別表示為

假設諧振系統左右兩端處于自由狀態，故而滿足兩端應力函數和位移函數為零。結合振動單元間的連續條件，獲得邊界條件

分別將該系統各部分位移和應力函數代入式（7），則系統頻率方程可表示為

2 齒輪成形磨削諧振系統參數優化

基于本試驗振動系統加工條件，為滿足其加工使用強度以及實際振動效果要求，變幅桿和砂輪盤基體均選用45#鋼，相關物理性能參數如表1所示。

表1 45#鋼物理性能參數Tab.1 45#steel physical performance parameters

結合系統已知材料性能及尺寸參數，求解超越方程得知，在給定圓柱段L1=36.5 mm、砂輪盤半徑R3=37.50 mm下，圓錐段L2=90.2 mm，且模態仿真響應諧振頻率fB=33.78 kHz，如圖2所示。

圖2 系統模態仿真振型云圖Fig.2 Cloud chart of vibration mode of system modal simulation

2.1 系統諧振頻率相關特性分析

鑒于本試驗激勵源選用35.00 kHz換能器。故，為使系統整體處于最佳諧振狀態，需對諧振頻率影響因子進行探究，以此優化系統各部分尺寸參數。

基于表2所示參數基礎，采用單因素變量分析法，以此探究系統各部分尺寸參數與系統諧振頻率之間的相關特性關系。具體表現為:分別改變圓柱段、圓錐段以及砂輪盤厚徑比等相關尺寸參數。通過SOLIDWORKS軟件對系統進行三維實體建模，而后導入有限元分析軟件ANSYS Workbench中。采用Block Lancazos法對自由狀態下的系統進行模態、諧響應及瞬態動力學分析。設定各個材料性能參數，選用Solid95單元對系統進行4級精度的智能網格劃分。模態仿真拓展階數為37，頻率搜索范圍設置為20.00～40.00 kHz，并于求解器中查看各階模態振型云圖和系統模態響應諧振頻率。其中，試驗分9組進行，且每組仿真重復3次，取均值分析，以此減小有限元軟件仿真系統誤差，確保結果更具可靠性、精確性。

表2 系統仿真試驗參數設計Tab.2 System simulation test parameter design

2.1.1 變幅桿尺寸與諧振頻率相關特性

系統自由狀態下，變幅桿各部分尺寸參數和其響應諧振頻率之間的相關規律特性，如圖3所示。具體表現為:系統模態響應諧振頻率與變幅桿圓柱、圓錐段長度尺寸參數之間呈負相關特性。相關原因則表示為:系統整體質量與變幅桿長度呈正比，且結合牛頓第二定律可知，質量和加速度成反比關系。故，相同激勵應力下，系統質量增加可致使系統工作端質點振動單元加速度降低，即整體振動頻率減小。此外，增加系統整體長度，可降低其剛性和強度，進而施加相同的應力作用，變幅桿振動傳輸部分的變形量變大，即相當于減小系統整體材料的彈性模量E。而已知彈性模量E與波速c的平方成正比，故系統諧振頻率伴隨波速的減小呈下降趨勢。

圖3 變幅桿各部分尺寸參數與諧振頻率關系特性Fig.3 The relationship between the size parameter of each part of the horn and the resonance frequency

根據相關數據擬合結果，得知其規律特性表現為:圓柱段長度平均每增加1 mm，系統諧振頻率則下降0.128 kHz左右。同理，圓錐段長度平均每增加1 mm，系統諧振頻率則下降0.145 kHz左右，但相比圓柱段降低幅度較大，即影響程度高于圓柱段。

2.1.2 砂輪盤厚徑比與系統響應效果相關特性分析

砂輪盤厚徑比與系統諧振頻率、徑/縱振幅比之間相關特性關系，如圖4所示。具體表現為:砂輪盤系統諧振仿真頻率伴隨砂輪盤厚徑比值的增加，呈現逐漸遞增的趨勢。而系統輸出端徑/縱振幅之比則伴隨比值的增加，呈現遞減的態勢，與系統諧振頻率形成負相關特性。相關原因分別表示為:隨著砂輪盤厚徑比值的不斷增加，即砂輪盤半徑的不斷減小，系統整體的剛性及強度增強；施加相同的應力作用，變幅桿振動傳輸部分的變形量較小，即可等效為該部分材料的彈性模量E變大，而彈性模量E與波速c的平方成正比，波速的增大，則可增大系統諧振頻率。但伴隨砂輪盤厚徑比的增加，薄盤振動逐漸向中厚盤振動形式演化，進而呈現出系統輸出端的徑/縱振幅分量之比逐漸遞減趨勢。

圖4 砂輪盤厚徑比與系統響應效果相關特性分析（L1=30.0 mm，L2=40.0 mm）Fig.4 Analysis of the correlation characteristics of the thickness-diameter ratio of the wheel disc and the system response effect（L1=30.0 mm，L2=40.0 mm）

此外，經相關仿真數據擬合結果分析得知，伴隨砂輪盤厚徑比的變化又可展示如下規律特性:砂輪盤厚徑比平均每變化±0.01，系統諧振頻率則隨之變化±0.660 kHz左右。其中，在確保滿足薄盤振動前提下，砂輪盤厚徑比平均每變化±0.01，系統輸出端徑/縱振幅分量之比則隨之變化?4.1（正號示為增量，負號示為減量）。

表3、表4分別表示為系統諧振頻率L9（34）正交仿真試驗因素水平表及其結果，具體表現為:對比分析極差R得知，諧振頻率影響因子按主次關系依次表示為砂輪盤厚徑比＞圓錐段長度＞圓柱段長度。此外，本次仿真試驗參數范圍中的最優組合為L1=30.0 mm，L2=50.4 mm，ε=0.24。但根據其仿真驗證結果得知，最優組合參數下系統固有諧振頻率為20.83 kHz，與設計頻率35 kHz相去甚遠。故，需結合頻率與系統尺寸參數之間相關變化特性，推導頻率修整方程優化系統參數。

表3 正交因素水平表Tab.3 Orthogonal factor level table

表4 正交因素水平表Tab.4 Resonance frequency simulation orthogonal test results

2.2 系統諧振頻率優化

經系統輸出端徑/縱振幅比分析可知，其與仿真頻率呈負相關特性。但鑒于系統設計頻率f=35.00 kHz及實際應用要求，則優先選擇滿足諧振頻率條件。因此，基于系統各部分尺寸參數與系統諧振頻率之間相關特性關系，可推得如下所示有關砂輪盤縱彎諧振頻率修整方程。

式中:ΔL1，ΔL2，Δε1分別為圓柱段、圓錐段以及砂輪盤厚徑之比的變化量；f1，f2分別為系統仿真及設計頻率值，kHz；j為變幅桿結構總長改變量。

系統修整后各影響因子尺寸參數，如表5所示。具體表現為:結合頻率修整方程以及實際加工條件，計算得出優化后圓柱段長度L1、圓錐段長度L2和砂輪盤厚徑比ε分別為31.5 mm，89.6 mm，0.32。

表5 系統優化尺寸參數Tab.5 Size optimization parameters

2.3 諧振系統有限元仿真分析

2.3.1 模態仿真與分析

系統頻率修整后模態向量振型云圖，如圖5所示，展示了變幅桿和砂輪盤耦合后，砂輪盤工作端質點實際振動方向。變幅桿中振動單元以縱向振動形式將振動傳遞至砂輪盤，隨后砂輪盤做彎曲振動，并在其邊緣處表現出最佳振動效果，即實際振幅輸出最大。其次，根據工作端質點振動向量得知，砂輪盤邊緣振動單元實際振動方向，位于砂輪盤徑向和軸向夾角處，并可分為徑向振動和軸向振動兩部分，繼而有效驗證了齒輪成形磨削砂輪盤振動系統縱-彎諧振分析理論，并表明了系統中質點整體以縱-彎形式進行能量傳輸。此外，系統仿真模態諧振頻率為35.01 kHz，相比35.00 kHz，誤差值約為0.02%。由此得知，齒輪成形磨削縱彎諧振系統經頻率修整后處于最佳諧振狀態，滿足系統設計及使用要求。

圖5 向量振型云圖Fig.5 Cloud chart of vector vibration mode

結合系統實際應用條件，需將其經由法蘭盤與刀柄進行固連。此外，為確保高效率傳輸振動能量傳至砂輪盤段，以此提升系統實際振動效果，則需計算系統振動節點位置。

為系統于約束條件下模態仿真結果，如圖6所示。具體表現為:在仿真模態中添加局部坐標系，設置應變路徑，得知其試驗節點位置為33.75 mm左右。其次，在法蘭施加約束條件下，系統諧振頻率為f=36.01 kHz，相比添加法蘭前頻率f=35.01 kHz增加約1.00 kHz，系統諧振頻率有所上升。原因可表現為:添加法蘭盤并約束后，系統整體剛性及強度得到增強，施加相同激勵應力作用，變幅桿振動傳輸部分變形量減小，即等效于系統整體材料彈性模量E相對變大。而彈性模量E與波速c平方成正比，波速的增大，可致使系統諧振頻率上升。

圖6 約束條件下系統模態振型云圖Fig.6 Cloud chart of system vibration modal under constraints

變幅桿以及砂輪盤模態仿真振型云圖，如圖7所示。具體表現為:變幅桿諧振頻率為27.16 kHz，砂輪盤模態頻率為35.18 kHz，且系統整體仿真頻率并未接近變幅桿固有頻率，而是在砂輪盤固有頻率附近小幅變化，與砂輪仿真頻率誤差僅為0.17 kHz左右。其原因可表現為:砂輪盤體積和質量相比變幅桿較大，其固有頻率對系統整體諧振頻率可產生較大影響，甚至改變系統固有頻率的大小。此外，本文所述砂輪盤與變幅桿雖組成了齒輪成形磨削超聲振動系統，但其可作為獨立系統單元而發生縱-彎諧振。據相關研究表明，確保工具間連接耦合系數和其振動足夠小，即直徑比小于0.30和面積比小于0.10前提下，諧振系統可發生局部共振[24]。而文中變幅桿與砂輪盤連接處直徑和面積比分別為0.29，0.09，滿足局部共振條件。結合圖7（b）砂輪盤模態振型云圖可知，砂輪盤與變幅桿相連接位置變形程度最低，故可有效表明振動十分微小。因此，可有效驗證基于局部共振設計理論所得齒輪成形磨削砂輪盤振動系統，出現了局部縱-彎共振現象。

圖7 變幅桿及砂輪盤模態振型云圖Fig.7 Modal vibration cloud diagram of horn and grinding wheel

2.3.2 諧響應仿真與分析

為探究頻率修整后系統實際位移響應幅度，進行諧響應仿真試驗:在圓柱端左端部給予4μm初始位移激勵，頻率搜索范圍設為30.00～40.00 kHz，響應輸出面為砂輪盤邊緣工作部分，且法蘭盤處于自由狀態。

圖8 系統諧響應振型云圖Fig.8 Simulation cloud diagram of system harmonic response

砂輪盤振動系統工作端振動單元在X，Y方向的位移響應時域曲線圖，如圖9所示。具體表現為:當振動能量輸出趨于穩定后，由于砂輪盤縱彎諧振作用，使X，Y方向均產生了位移。其中:X方向為縱向振動的平行方向，且振幅值相比初始激勵幅值（4μm）放大1～2倍；而Y方向為縱向振動的垂直方向，振幅遠小于初始激勵幅值。此外，經由振動單元輸出位移軌跡曲線觀察得知，系統整體輸出狀態符合諧振波振動形式，故系統隨激勵源做簡諧振動得以有效驗證。

圖9 砂輪盤工作端一點振動曲線Fig.9 Response curve of the particle unit at the working end of the grinding wheel

采用相關數據分析軟件，對輸出端質點X，Y兩方向位移進行數據擬合后，所得工作端振動質點單元軌跡擬合曲線，如圖10所示。相關特性表現為:Y振動方向質點單元激勵源響應幅值遠小于X振動方向質點單元，系統總體振動輸出形式與單一縱向相近。此外，經模擬所得二者位移幅值數據擬合曲線得知，該曲線軌跡為一平面橢圓，相符于輸出端質點單元軌跡預測結果。由此，可驗證齒輪成形磨削中砂輪盤產生彎振，以及工作端質點單元以縱-彎的形式傳輸系統能量。

圖10 工作端質點單元振動仿真軌跡擬合曲線Fig.10 Fitting curve of vibration simulation trajectory of particle unit at working end

3 系統阻抗特性及諧振效果測試

3.1 阻抗測試與分析

采用PV70A型號阻抗分析儀，對實際加工并裝配后的振動系統進行阻抗特性測試所得結果，如圖11所示。具體表現為:系統的導納圓圓度較好、阻抗-相位-頻率曲線比較規則，證明兩者諧振點及其附近點的振動效果較為理想。而動態電阻為95.5Ω，則表明所設計的聲學系統內阻較小，換能器與變幅桿、砂輪盤的阻抗匹配度較高。其中，系統整體品質因數較為理想，即表示為其聲-電轉換效率較高。

圖11 砂輪盤振動系統阻抗測試Fig.11 Impedance test of the vibration system of the grinding wheel

表6所示參數為齒輪成形磨削縱彎諧振系統設計、仿真及試驗頻率三者之間的相對頻率誤差。其中，ΔE和ΔF的頻率誤差分別為0.20%，0.34%，相對仿真與設計頻率之間的誤差（ΔD）較大。原因可表現為:①理論設計時忽略了螺母以及各連接部分間隙的影響，而實際螺母的質量對系統整體的剛度和質量均有影響，繼而致使系統諧振頻率產生變化；②理論設計及仿真分析時，近似認為變幅桿與砂輪盤間通過螺栓實現理想化的剛性連接，但實際情況下，螺母因預緊力的不足，可能會影響各組成部分間的連接剛度，從而導致理論與仿真之間的非協調性；③實際加工過程中，由于材料各力學性能參數與設計、仿真參數以及各部分零件尺寸的加工和配合精度之間均存在一定誤差，進而系統諧振頻率理論值與實測值間難以完全保證一致性。

表6 理論、仿真和試驗諧振頻率比較Tab.6 Comparison of theoretical，simulation and experimental resonance frequencies

3.2 諧振效果測試與分析

砂輪盤縱彎諧振系統徑/縱響應振幅測試現場，如圖12所示。具體表現為:選用SZ12型智能超聲波發生器進行成形砂輪縱彎諧振系統振動性能測試。而后調試發生器至工作穩定狀態下，通過Keyence LK-G10型激光位移傳感器，分別測量砂輪盤縱向及徑向分量諧響應振幅。其中，數據采集器將所測高頻機械振動信號進行收集和模數轉換，經計算機相關軟件計算輸出相關振幅時域響應曲線。

圖12 振動系統徑/縱響應振幅測試現場Fig.12 Vibration system diameter-longitudinal response amplitude test

系統諧振狀態下，砂輪盤工作端和側面質點單元振幅實際測量結果，如圖13所示。具體表現為:在砂輪盤端面邊緣及側面分別均布選取8個位置點進行測振，每處重復3次，取均值。結果表明，縱向振幅響應狀態、徑向分量振幅響應狀態以及系統整體振動耦合性能均比較穩定，由此證明該聲學系統的傳聲效果較好。此外，經振幅分量均值分析可知，縱向分量均值穩定在5.2μm左右，徑向分量均值穩定在1.1μm左右。相比仿真結果而言，振幅值和徑縱比均有所降低，原因可表現為:①超聲波發生器定頻性能不夠穩定，以及測量過程中周圍環境的擾動等均會影響測量結果的準確性，從而具有一定的系統誤差；②系統裝配過程中，各連接部位因間隙存在不可避免，可造成一定程度上的能量損失，繼而使實際響應振幅因能量衰減而降低；③超聲波在系統中傳播時，因法蘭盤、砂輪盤和變幅桿連接部位存在一定的波反射，從而存在能量損耗、雜波、系統整體阻抗失配等問題，進而致使振幅的衰減。

圖13 砂輪響應端振幅測試曲線Fig.13 Amplitude test curve of the response end of the grinding wheel

工作端任一質點振動軌跡實測數據擬合曲線，如圖14所示。其中，提取縱向振幅和徑向振幅響應曲線中單周期內數據點進行擬合。擬合結果曲線表現為近似橢圓形的軌跡，與仿真結果相近。但，此軌跡曲線并非完全形成封閉圈，原因可表現為:縱向和徑向振動之間存在一定的相位差，以及周期振動過程中振幅難以保證完全均勻性和穩定性等。其次，砂輪盤工作端鍍有磨粒，其反射作用亦可引起一定的誤差。此外，礙于激光位移傳感器的精度不足，單周期內所采集數據點較少，繼而致使擬合所得橢圓展現得不夠圓滑。

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圖14 工作端質點單元實測振動軌跡擬合曲線Fig.14 Fitting curve of measured vibration trajectory of particle unit at working end

結合圖10和圖14對比分析可知，砂輪盤工作端面任一質點仿真與實測結果擬合軌跡相似，均表現為近似橢圓形曲線。由此表明，齒輪成形磨削砂輪盤縱彎諧振系統中參與磨削加工的磨粒，均以橢圓周期形式運動。其中，縱向振動作用于磨削加工的磨深方向，形成磨粒與工件高頻分離-接觸-分離的作用模式；徑向振動分量則等效于在垂直進給方向拉伸了磨粒沿進給方向的軌跡，形成一個傾斜一定角度的橢圓運動軌跡。而橢圓振動形式可改變單顆磨粒普通磨削狀態下的純直線運動，增加了磨削軌跡的干涉程度以及磨粒與工件的分離時間，增加砂輪有效磨粒數的同時也促進了磨削液的流通，從而在一定程度上減小了單顆磨粒的磨削力和磨削熱。且在單位時間內，增大了磨痕的寬度，這導致磨除體積增加，故而可提高材料的去除率。此外，基于超聲振動的高頻破碎作用，橢圓磨削可使沙粒具有自銳性，延長工具盤的使用壽命，更有助于降低加工表面粗糙度，提升加工質量等[25]。

保持工具盤半徑給定情況下，縱向振幅大小與測量位置點半徑之間的關系，如圖15所示。具體表現為:在砂輪盤端面，沿其半徑由內向外選取9處位置點進行測振，而礙于螺母和墊片的影響，測振點半徑范圍選為16.0～37.5 mm。結果表明，工作端質點單元縱向振幅，伴隨測振點半徑的增加呈現先減后增的趨勢。在測振半徑為23.5 mm附近振幅達到最小，并接近為零，故在此測振點環形區域內為砂輪盤振動節圓位置。而測振點半徑大于節圓半徑時，縱向振幅則又表現為逐漸遞增趨勢，至37.5 mm處測振點振幅達到最大。故，可認為成形砂輪盤工作面處于波峰附近。

圖15 振幅隨測振點半徑大小的變化特性Fig.15 Variation characteristics of amplitude with radius of measured vibration point

砂輪盤做節圓型振動響應結果，如圖16所示。具體表現為:將系統放置為豎直自由狀態；連接SZ12型智能超聲波發生器與換能器；啟動發生器并調節調頻螺母，使系統工作在諧振頻率f=34.93 kHz附近，并于砂輪端面撒少量細沙。由系統實際響應結果可知，沙粒迅速以圓盤中心為圓心形成同心圓環，而圓環的產生表示沙粒所處位置振動最弱，以此證明了砂輪盤在變幅桿縱向振動激勵下做節圓型橫向彎曲振動，有效驗證了仿真結果。

圖16 工具盤節圓振動測試Fig.16 Tool disc pitch circle vibration test

4 結 論

（1）根據ANSYS Workbench有限元仿真結果得知，本文基于局部共振理論可對成形砂輪縱-彎諧振系統進行有效設計，且砂輪可獨立于振動系統而存在縱彎諧振，即局部縱-彎共振現象。此外，砂輪盤工作端磨粒質點單元徑縱振幅比a與其厚徑比ε、系統固有頻率間均呈負相關特性。其中，系統固有頻率可結合文中所述頻率修整方程進行優化，并以此獲得系統各部分滿足設計頻率所需幾何尺寸。

（2）經系統優化參數下磨粒質點單元運動特性分析得知，系統耦合后砂輪工作端振動模式變現為徑/縱復合振動，且縱、徑方向振型均近似為正弦曲線，徑縱比a=0.193。系統整體諧振頻率伴隨復合變幅桿各段長度尺寸增加，呈逐漸遞減趨勢，而與工具盤半徑呈負相關特性。此外，因超聲波波長伴隨諧振頻率下降呈遞增態勢，進而造成波峰和波谷位置不斷變化，使縱向及徑向響應振幅產生一定程度的波動。

（3）磨削端面上任一質點的振動軌跡仿真及試驗結果表明，磨粒在垂直于進給方向平面內拉伸，形成傾斜一定角度的橢圓形振動軌跡，并周期性地參與磨削加工。超聲諧振試驗結果表明，成形砂輪工作端磨粒單元振型和諧響應振幅比較穩定，對該預期效果進行了有效驗證，并為后續局部共振設計理論，特別是大負載型齒輪成形磨削砂輪盤縱彎諧振系統的設計，提供了參考基礎。