基于相位調制的平穩非高斯橋面不平順隨機激勵的模擬

陳水生，趙 輝，，李錦華，夏鈺桓

（1.華東交通大學 土木建筑學院，南昌 330013；2.湖北恒大建設工程有限公司，湖北 武穴 435400）

車輛在橋上行使時，高低不平的橋面狀況不僅影響車輛行駛安全和乘坐舒適性，也是橋梁產生隨機振動的主要激勵源。在空間上處于車輪與橋梁間的橋面高低起伏狀況具有很大的隨機性，對車輛和橋梁的振動響應影響較大[1-2]。特別是最近十年，中國橋梁以每年3萬多座的速度遞增，目前我國公路橋梁數量達83.25萬座，全國橋梁總數達100萬座，已成為世界第一橋梁大國[3]，龐大的橋梁數目，橋面養護需求越來越大，但是，橋面養護的技術、材料、資金和人員不足，導致橋面養護工作相對滯后，并且，大量重載、超載車輛在橋梁上行駛，加速了橋面的老化和破損，很多橋梁的橋面出現了不同程度的病害，降低了橋面等級，橋面路況的惡化又加重了車輛對橋梁的沖擊作用[4]。鑒于此，如何建立有效的、貼近實際的橋面不平順隨機激勵輸入模型，對研究車橋耦合系統的振動規律至關重要。

多年來，國內外學者對車橋耦合振動的研究從未間斷，做了很多工作，由起初的單車荷載到目前的多車荷載，創造了很多有價值的成果，但有關橋面不平順隨機激勵的數值模擬，學者們大多采用濾波白噪聲法、諧波疊加法和逆傅里葉變換法等方法，把橋面不平順看成是各態歷經的平穩高斯隨機過程[5-10]。然而，伴隨著對各類隨機過程的研究和認知的不斷深入，人們認識到，很多自然現象和工程實際并非高斯隨機過程，不僅建筑結構上的風壓、土木工程與機械工程中的振動、水體的波浪、聲波等具有非高斯特征，橋面不平順也具有明顯的非高斯特征。特別是車輛在橋上行駛時，其行駛速度不可能也無法保證嚴格勻速，行駛速度多變，其在橋上加速、減速或突然制動所引起的橋面不平順激勵已不再是平穩高斯過程，明顯具有非高斯特征，但有關橋面不平順非高斯隨機激勵的研究卻很少。誠然，人們也在其他領域努力開發模擬非高斯過程的方法，非高斯過程的模擬是一個更具挑戰性和實際重要性的問題。在過去的二十年里，平穩非高斯隨機過程的生成算法也相繼問世[11]，雖然生成的方式各種各樣，但歸納起來有代表性的方法有二類:第一類，根據目標的特征統計參數（例如均值、方差、偏度與峰度）和目標功率譜密度（power spectral density，PSD）函數，先產生平穩高斯過程，利用非線性轉換關系間接生成滿足目標要求的平穩非高斯過程[12-15]，但該類方法在同時逼近目標PSD和目標統計特征參數時，兩者之間很難協調；第二類，根據目標邊際概率密度函數（probability density function，PDF）和目標PSD函數多次迭代產生平穩非高斯隨機過程[16-18]，但該類方法目標PSD與目標PDF會出現不相容，需要反復迭代，計算量大，也可能出現不收斂的情況。在上述兩類平穩非高斯生成方法的基礎上，本文提出基于相位調制的平穩非高斯橋面不平順隨機激勵生成方法，研究平穩非高斯橋面激勵的特征，對比分析平穩非高斯橋面激勵對車橋耦合系統的影響。

1 平穩非高斯隨機過程生成理論

1.1 平穩高斯隨機過程

采用IFFT的方法生成平穩高斯隨機過程時，橋面不平順激勵的自功率譜必須轉換成激勵信號的幅值譜，并對幅值譜進行相位調制，然后才能進行IFFT（inverse fast Fourier transform）變換生成離散橋面激勵信號。為研究方便，橋面不平度用q（n）表示，其幅值譜序列為Q（f），根據雙邊自譜的定義式

進而可以得到單邊譜Gq（f）

在此設Gq（k）為橋面不平度激勵數據的單邊譜在頻率點fk處的離散值，可以表示為

根據離散傅里葉變換公式

將式（4）代入式（1）可得

式（6）的離散表達式可以寫成

結合式（2）、式（3）和式（6）推得

在給定橋面路譜的條件下，由式（8）可以計算橋面激勵幅值譜離散值的模

由于信號的自功率譜不包含相位角信息，如果橋面激勵幅值譜的模相同，相位角 ?（k）不同，經過IFFT變換，就可以得到平穩高斯橋面激勵

1.2 平穩非高斯隨機過程

高斯隨機過程的高階中心矩均為零，可以用功率譜密度來充分描述，而非高斯隨機過程的高階中心矩并非全都為零，通常采用三階中心矩偏斜度S和四階中心矩峭度K兩個特征值來表示

如果隨機過程的周期為T，則可以通過在T周期內對式（13）進行積分來近似前四階中心矩，可得

進一步可求得

將式（15）、式（16）和式（17）代入式（11）和式（12），可得[19]

式（20）和式（21）中的相位角 ?j，?k，?m，?n在[0，2π]內均勻分布，在保持所有幅值Aj，Ak，Am，An不變和部分相位角不變的情況下，只需要對少數相位角進行調制，就可以使兩式中的某些項求和變大，從而使偏斜度和峭度增加或減小。

2 平穩非高斯橋面不平順隨機激勵的生成算法

根據上文建立的峭度、偏度與相位角的關系，可以通過調制式（21）第二項的相位角?j，?k來改變峭度的大小，首先找出生成高斯激勵的相位角序列中所有滿足j=3k的多組相位角{?j1，?k1；?j2，?k2；…}，再對第一組相位角{?j1，?k1}中的?j1進行調制，用新的代替?j1，=3?k1，并采用逆傅里葉變換法生成橋面不平順激勵，最后計算生成信號的峭度值K1，若K1與目標峭度值的誤差滿足精度要求，則調制結束；若K1小于目標峭度值且誤差不滿足要求，則調制下一組相位角{?j2，?k2}中的 ?j2，取新值=3?k2；若K1大于目標峭度值且誤差不滿足要求，則調制下一組相位角{?j2，?k2}中的 ?j2，取新值=3?k2+π；再次計算峭度值K2進行判斷，反復按照上述迭代方法進行調整，就可以生成滿足目標峭度要求的平穩非高斯橋面不平順隨機激勵。相同的方法，也可以對式（20）中的某些求和項進行不斷調整，就可以生成滿足目標偏斜度要求的平穩非高斯橋面不平順隨機激勵。如果同時對峭度和偏斜度進行調整，就可以生成既滿足目標偏斜度要求，又滿足目標峭度要求的平穩非高斯橋面激勵，其算法的流程圖如圖1所示。當然，為了降低同時調整峭度和偏斜度時相互干擾，峭度調整時只調制偶數位置的相位角，偏斜度調整時只調制奇數位置的相位角。

圖1 平穩非高斯橋面不平順生成算法流程圖Fig.1 Flow chart of algorithm for generating stationary non-Gaussian deck irregularity

3 平穩非高斯橋面不平順隨機激勵的數值模擬

通常情況下，假定車輪與橋面緊密接觸，橋面不平度這一隨機激勵源將由兩部分疊加組合而成，橋面本身因施工、材料、設計等因素引起的不平度和橋梁在車輛荷載作用下變形引起的附加不平度。為了驗證相位調制的方法生成平穩非高斯橋面不平順隨機激勵的有效性，此部分數值模擬的橋面不平度不包括橋梁變形的附加不平度，橋面本身存在的不平順功率譜密度函數可以表示為

式中:當車輛以速度v勻速行駛時，橋面激勵輸入無論在頻域還是在時域都是平穩隨機過程；n0為空間參考頻率；Gq（n0）為不同等級橋面的不平度系數；f為時間頻率，當車輛行駛速度在36～108 km/h時，就可以保證時間頻率的區間是0.33～28.3 Hz，這個時間頻率范圍包括了汽車振動的主要固有頻率[20]。

3.1 亞高斯橋面不平順隨機激勵

以車輛行駛速度10 m/s為例，從式（22）可以分別得到不同等級橋面的PSD理論值，在此設定目標PSD為C級橋面功率譜密度、目標峭度Kp=2和目標偏度Sp=0，模擬精度控制在±0.1范圍之內，車輛行駛距離60 m，采樣頻率1 000 Hz，采用相位角調制的方法生成亞高斯橋面不平順隨機過程，生成信號的峭度K=2.09、偏度S=0.07，與目標設定值非常接近，生成誤差都小于0.1。從圖2的功率譜密度對比可以看出，模擬得到的高斯和亞高斯橋面不平順隨機激勵PSD與理論PSD吻合非常好；高斯和亞高斯橋面激勵的均值都為零，方差分別為15.18 mm，14.86 mm，充分說明調制相位角不會改變功率譜密度；圖3給出了模擬得到的高斯和亞高斯橋面激勵，可以看出，亞高斯橋面激勵的幅值小于高斯橋面激勵，且亞高斯橋面激勵完全在±3σ區域內，而高斯橋面激勵部分時間點的幅值超過±3σ，σ為C級橋面不平順的標準差，σ=15.23 mm；從圖4的概率密度曲線也可以看出，高斯橋面激勵有拖尾，而亞高斯橋面激勵幾乎無拖尾，幅值分布相對集中。

圖2 高斯和亞高斯橋面不平順功率譜密度Fig.2 Power spectral density of Gaussian and sub-Gaussian deck irregularity

圖3 高斯和亞高斯橋面不平順Fig.3 Gaussian and sub-Gaussian deck irregularity

圖4 高斯與和亞高斯橋面不平順概率密度Fig.4 Probability density of deck irregularity of Gaussian and sub-Gaussian

3.2 超高斯橋面不平順隨機激勵

設定車輛行駛速度10 m/s，目標PSD為C級橋面的功率譜密度，目標峭度Kp=6和目標偏斜度Sp=0，模擬精度控制在±0.1范圍之內，采用本文相位調制方法生成的超高斯橋面不平順隨機激勵峭度K=5.91、偏度S=-0.02，滿足設定精度要求。從圖5可知，生成的超高斯橋面不平順PSD與目標PSD吻合很好；雖然生成的高斯和超高斯橋面不平順激勵的PSD相同，方差值也很接近（分別為15.48 mm和15.6 mm），但從圖6可知，超高斯橋面激勵超出±3σ區域的幅值增多，超出部分的最大值達到77.7 mm，而高斯激勵只有個別時間點的幅值超出±3σ區域；從圖7的概率密度曲線也可以明顯看出，超高斯橋面不平順有長長的拖尾。

圖5 高斯和超高斯橋面不平順功率譜密度Fig.5 Power spectral density of Gaussian and super-Gaussian deck irregularity

圖6 高斯和超高斯橋面不平順Fig.6 Gaussian and super-Gaussian deck irregularity

圖7 高斯與和亞高斯橋面不平順概率密度Fig.7 Probability density of deck irregularity of Gaussian and super-Gaussian

相同的C級橋面PSD，相同行車速度10 m/s和相同偏斜度值S=0，圖8給出了不同峭度K的超高斯橋面不平順隨機激勵，可以看出，隨著峭度值的增大，超高斯橋面不平順隨機激勵幅值的最大值就越大。

圖8 不同峭度的超高斯橋面不平順Fig.8 Super-Gaussian deck irregularity with different kurtosis

圖9為C級橋面PSD，車輛行駛速度10 m/s時，采用相位調制的方法生成的同一峭度值K=7，不同偏斜度值S的超高斯橋面不平順隨機激勵，從圖中可以看出，當偏斜度值為正值時，橋面激勵的峰值分布偏向于橋面不平度的正值，即橋面凸起點多；當偏斜度值為負值時，橋面激勵的峰值分布偏向于橋面不平度的負值，即橋面凹陷點多；且偏斜度值越大，橋面激勵的峰值分布偏的就越多。

圖9 不同偏斜度的超高斯橋面不平順Fig.9 Super-Gaussian bridge deck irregularity with different skewness

4 平穩非高斯橋面激勵的重構

為了更好的認識橋面不平順的特征，課題組采用LXBP-5型公路連續式八輪平整度儀對江西上饒鄱余公路的喬木灣樂安河大橋進行了橋面不平度測試。在橋梁的兩個行車方向上采集多組數據，因為車輛行駛速度憑借觀察測速儀顯示屏來控制，車速控制較難，故選用其中外場環境最理想和車速控制最好的一組數據，車輛以2 m/s速度勻速行駛，采樣頻率50 Hz，采樣點數為3 000，如圖10所示。通過計算該橋面不平度隨機激勵的三階和四階中心矩可知，其左右輪跡橋面不平度的峭度分別為3.72，3.67，偏斜度分別為-0.37，-0.29，實測結果表明，在車輛勻速行駛的理想外場環境下，橋面不平順也表現出了較強的非高斯特征，可見，將橋面不平順視為平穩高斯隨機過程就難以吻合實際橋面路況。

圖10 實測橋面不平順Fig.10 Actual measurement of bridge deck irregularity

根據實測橋面不平度數據的PSD，采用逆傅里葉變換法生成左輪跡的高斯激勵，并通過不斷調制相位角重構橋面不平順非高斯激勵，生成信號如圖11所示，重構非高斯信號的峭度值為3.719 4，偏斜度值為-0.388 3，與實測橋面不平度很接近。圖12為重構高斯和非高斯橋面不平度的功率譜密度和現場實測不平度的功率譜密度對比，重構信號的PSD與實測數據的PSD吻合的非常好，保證了方差的一致性。圖13為重構橋面不平度的概率密度和現場實測數據的概率密度對比，由圖可以看出，重構非高斯橋面不平度與實測值的PDF非常接近，拖尾長度一致，比高斯信號表現出更明顯的非高斯特征。

圖11 重構的橋面不平度數據Fig.11 Reconstructed bridge deck roughness data

圖12 功率譜密度曲線Fig.12 Power spectral density curve

圖13 概率密度曲線Fig.13 Probability density curve

同時，課題組也對多座在役橋梁的橋面平整度進行了測試，根據實測橋梁橋面路況的惡化程度，采用本文相位調制的方法分別進行了重構，如圖14所示，從圖可以看出，橋面路況惡化越嚴重，其峭度值就越大，且偏斜度值偏向于負值一側，與橋面凹陷較多的實際情況相符；基于相位調制生成的橋面不平度與實測不平度吻合較好，橋面不平度的最大幅值也接近。

圖14 橋面不平度模擬值與實測值對比Fig.14 Comparison of simulated and measured values of deck unevenness

可見，基于相位調制的平穩非高斯橋面不平順生成方法有效可靠，與現在大量使用的平穩高斯橋面不平順生成方法相比，采用本文方法生成的平穩非高斯橋面不平順更切合實際橋面路況，實用性更強，計算方便且精度滿足要求。生成的平穩非高斯路況比傳統平穩高斯路況可以在保持功率譜密度不變的同時，提供更強烈的橋面激勵，更好的再現了橋面路況等級降低和路況惡化這一實際情況，為研究行車舒適度和橋梁振動提供了更好的橋面激勵生成方法，實用性更廣泛。

5 平穩非高斯橋面激勵對車橋耦合系統的影響

為研究平穩非高斯橋面激勵對車橋耦合系統的影響，以圖15所示的車橋耦合模型為研究對象，橋梁簡化為一30 m跨徑的簡支梁橋，移動車輛簡化為兩自由度的彈簧質量阻尼系統，y（x，t），z1，z2分別為梁的動撓度、車體的動位移和懸架動位移。其中，車體質量為m1，懸架系統質量為m2，懸架系統的彈簧剛度為k1、阻尼為c1，輪胎剛度為k2、阻尼為c2，各參數如表1所示。

圖15 車橋耦合模型Fig.15 Coupling model of vehicle and bridge

表1 橋梁結構參數及車輛參數Tab.1 Bridge structure parameters and vehicle parameters

5.1 車橋耦合振動方程

依據車輛系統振動原理，建立兩自由度車輛振動方程

式中:Mv，Cv，Kv分別為車輛的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；為車輛振動過程中作用于車輛各自由度的慣性荷載列向量；z=[z1z2]T為車輛自由度列向量。

為減少車橋耦合計算矩陣維數，采用廣義坐標離散的方法建立橋梁的振動方程

橋梁模型引入模態綜合法，把相互耦聯的節點運動方程解耦，轉化為互相獨立的模態方程，式（24）可以變為

考慮平穩非高斯橋面不平順隨機激勵的影響，車輪作用在橋梁上的荷載可以寫成

式中:N為車輪作用處位移場的插值函數；Nx為N對車輛行駛方向x坐標的導數；q為車輪的平穩非高斯橋面不平度隨機激勵值。

將式（26）代入式（25），然后聯立式（23）可得車橋耦合振動方程

式中:Mbv，Cbv，Kbv分別為車橋相互作用模型的質量、阻尼和剛度矩陣；Fg為車輛自重引起的車橋耦合豎向荷載向量；Fw為橋面不平順隨機激勵引起的車橋耦合豎向荷載向量；u為廣義坐標向量，u=[y1y2…ynz1z2]T。將前文模擬得到的平穩非高斯隨機激勵樣本q輸入到式（29），通過編制基于Newmark-β算法的MATLAB程序求解車橋系統的振動響應。

5.2 車橋振動響應分析

5.2.1 確定性橋面不平順激勵

車輛以10 m/s的速度行駛在C級橋面上，分別生成亞高斯、高斯和超高斯橋面激勵樣本，樣本偏斜度S=0，峭度值分別為K=2，K=3，K=4。 圖16給出了各激勵樣本作用下的橋梁跨中豎向振動和車體豎向振動時程曲線，由圖可得，橋梁和車輛在超高斯橋面激勵下的振動響應大于平穩高斯激勵和亞高斯激勵所產生的振動響應，且曲線波動大于平穩高斯激勵和亞高斯激勵。圖17為車橋耦合系統振動響應最大值隨橋面激勵峭度的變化關系，由圖可得，車橋振動響應隨橋面激勵峭度的增大波動較大，兩者并非成線性比例關系；不同的峭度值，橋梁振動響應最大差值為0.82 mm，車輛振動響應最大差值為5.79 mm，說明峭度的增大對車輛振動響應的影響較大，對橋梁振動響應的影響并不顯著。

圖16 橋梁和車輛的振動響應Fig.16 Vibration response of bridge and vehicle

圖17 峭度與車橋振動響應最大值的關系Fig.17 Relationship between kurtosis and maximum value of vehicle bridge vibration response

設定峭度值K=5，不同橋面激勵偏斜度值與車橋振動響應最大值的關系，如圖18所示。從圖可以看出，橋梁振動響應最大差值為0.75 mm，車輛振動響應最大差值為1.25mm，偏斜度的改變對車輛振動響應的影響大于對橋梁振動響應的影響。

圖18 偏斜度與車橋振動響應最大值的關系Fig.18 Relationship between skewness and maximum value of vehicle bridge vibration response

5.2.2 隨機性橋面不平順激勵

為進一步應用隨機振動理論對橋面不平順隨機激勵下的車橋振動響應進行統計分析，采用傳統的蒙特卡羅法對2 000個橋面隨機激勵樣本進行統計，計算車橋耦合振動響應的均值和標準差，分析平穩非高斯橋面不平順的隨機性對車橋振動響應的影響。圖19為車輛以10 m/s速度通過橋梁時，橋梁跨中豎向振動位移和車體豎向振動位移的均值，從圖中可以看出:高斯激勵與非高斯激勵的橋梁豎向振動位移均值基本重合，充分說明橋梁的振動響應主要還是由車輛重力這一確定性荷載激勵引起，平穩非高斯橋面激勵對橋梁振動響應的均值影響很小。但是，車輛振動響應均值對橋面隨機激勵較敏感，平穩高斯激勵的車體振動響應均值大于亞高斯激勵的車體振動響應均值，小于超高斯激勵的車體振動響應均值。

圖19 橋梁和車輛振動響應均值Fig.19 Mean vibration response of vibration response of bridge and vehicle body

車橋振動響應的標準差如圖20所示，橋梁和車輛在平穩高斯隨機激勵下的振動響應標準差大于亞高斯激勵的振動響應標準差，小于超高斯激勵的振動響應標準差；這是因為超高斯激勵的離散程度較大，亞高斯激勵的離散程度較小。

圖20 橋梁和車體振動響應標準差Fig.20 Standard deviation of vibration response of bridge and vehicle body

綜上所述，橋梁和車輛的振動響應對橋面隨機激勵較敏感，尤其是超高斯激勵增大了橋梁和車輛的振動響應，對橋梁運營安全和使用壽命不利，也影響了車輛乘坐的舒適性，可見，保持橋面良好路況和加強橋面養護工作的重要性。

6 結 論

（1）采用相位調制的方法生成平穩非高斯橋面不平順，不僅能滿足指定的目標特征（PSD、峭度、偏度），而且能夠滿足指定精度要求，也更接近實際橋面不平順路況特征。

（2）超高斯橋面不平順產生高峰值的可能性大于高斯，而高斯大于亞高斯；隨著峭度值的增大，橋面不平順隨機激勵幅值的最大值也越來越大；當偏斜度值變大時，橋面不平順的幅值分布偏的就越多。

（3）確定性橋面激勵作用下，超高斯激勵的橋梁和車輛振動響應大于平穩高斯激勵和亞高斯激勵所產生的振動響應，且振動響應曲線波動較大。

（4）采用蒙特卡羅法對多個橋面隨機激勵樣本進行統計分析表明:非高斯橋面激勵對橋梁振動響應均值的影響很小，但對車輛振動響應均值的影響較大。超高斯橋面激勵的車橋振動響應標準差大于平穩高斯激勵和亞高斯激勵。

（5）不同峭度和偏度的平穩非高斯橋面激勵對車輛振動響應的影響大于對橋梁振動響應的影響，車橋振動響應并非隨著橋面激勵峭度和偏度的增大而增大。