考慮慣容的多顆粒阻尼器等效力學模型及試驗驗證

黃緒宏，許維炳，王 瑾，閆維明，陳彥江

（北京工業大學 工程抗震與結構診治北京市重點試驗室，北京 100124）

多顆粒阻尼器（multi-particle damper，M-PD）是一種被動減振裝置，其通過運動過程中顆粒之間及顆粒與容器之間碰撞、摩擦消耗、存儲并傳遞結構能量以達到結構振動控制的作用。因其構造簡單、布置靈活及耐久性強等優點，在機械領域尤其是航空領域得到了廣泛的研究和應用。Wang等[1]將顆粒阻尼應用到航空領域中精密儀器的振動控制中，在不同頻率條件下（20～2 000 Hz）探究了M-PD減振效果。結果表明，通過合理的設計，M-PD在附加質量比較低的情況下仍然具有較好的減振效果。限于高溫等惡劣條件，Pendleton等[2]將M-PD應用到衛星發射過程中的振動控制。試驗研究結果表明在較寬的頻帶范圍內（1～500 Hz），M-PD都具有較好的減振效果。鑒于M-PD在機械領域中優異的減振性能，近年來其在土木工程領域中也得到了關注與重視。在圣地亞哥2010年震害普查[3]過程中發現某22層高層框架剪力墻結構，通過頂層布置的調諧型顆粒阻尼器有效地減小了地震所造成的結構損傷，是目前為止多顆粒阻尼器在實際工程應用中的典范。Papalou等[4]將M-PD應用于多空腔的圓柱內，試驗研究表明附加質量比、顆粒大小及容器大小對多顆粒阻尼器減振性能影響顯著。當附加質量比較小時（1%～3%）時仍然具有較好的減振性能。文獻[5-6]針對M-PD在土木工程領域中的應用進行了詳細的研究，并以實際高架連續橋梁縮尺模型及三層框架縮尺模型作為研究對象，進行了地震激勵下減震效果分析。魯正等[7-8]基于試驗研究對地震荷載及風荷載下M-PD減振性能進行詳細分析，同樣驗證了顆粒阻尼器減振效果。

機械及土木領域相關試驗研究充分驗證了M-PD減振性能，但由于M-PD形式多變及其復雜的非線性特性，目前仍然缺少較為合理的理論模型及對應優化設計方法。離散單元法（discrete element method，DEM）能夠有效模擬每個顆粒的運動狀態和接觸關系，是研究M-PD減振效果及其參數影響規律的重要手段。Saeki[9-10]在試驗驗證模型準確性的基礎上，基于DEM進行了水平簡諧激勵下參數影響分析，數值仿真試驗結果顯示高頻激勵下附加質量越大，結構響應越小，且對應最優容器長度越大。Mao等[11]基于DEM分析了顆粒阻尼器在振動過程中的能量發展規律，認為M-PD耗能成分主要包括碰撞耗能及摩擦耗能。現階段研究成果表明DEM雖然能夠有效合理地模擬阻尼顆粒運動狀態，但因其較難實現與有限元的結合及工作效率低等缺點，限制了其在減震分析及設計中的應用。

相比較而言，基于簡化力學模型的M-PD相關研究具有更好的應用價值，且其有利于進一步認識阻尼器復雜的非線性特性。Michon等[12]在豎向激勵試驗研究的基礎上將M-PD等效為調諧質量阻尼器來近似考慮阻尼器復雜非線性特性，并基于懸臂蜂窩狀梁振動試驗研究進一步驗證了模型的合理性。許維炳將調諧型顆粒阻尼器等效為雙重調諧質量阻尼器，并據此進行了優化設計。調諧類等效方法雖然在一定程度上能夠反映M-PD減振效果，但過于簡化顆粒碰撞過程及對應復雜非線性特性。Papalou[13]及魯正等基于等效前后空隙率及顆粒總質量一致的原則將M-PD等效為單顆粒沖擊阻尼器，并基于單層框架結構振動臺試驗驗證了模型的合理性。Huang等[14]為進一步考慮顆粒之間相互作用對減振效果的影響，將M-PD等效為連體雙質量等效模型并進行了相關試驗驗證。以上研究成果均可為M-PD減震分析及設計所借鑒。

與機械領域結構振動相比，建筑結構振動以低幅低頻振動為主，阻尼顆粒與結構之間的相對速度一般小于5 m/s[15]，且結構振動以水平振動為主。試驗研究結果顯示，相比較于堆積后的M-PD，未堆積狀態下M-PD減振效果更優，且顆粒在運動過程中以滾動運動為主。然而現有等效單顆粒力學模型在建立過程中，忽略了顆粒群滾動對減振效果的影響。為此，本文通過引入慣容考慮顆粒群滾動對減振效果的影響，并建立對應考慮慣容的等效慣性單顆粒力學模型（equivalent inertia single-particle model，EISM）。 設計進行了M-PD控制下單層框架結構振動臺試驗，提出了非堆積條件下EISM的參數選取原則。在此基礎上，依次進行了等效模型試驗驗證及與現有等效單顆粒模型的數值對比分析。最后，在最優碰撞間距取值下基于EISM開展了M-PD減振效果及能量變化規律對比分析。

1 考慮慣容屬性的多顆粒阻尼器等效力學模型—EISM

與機械領域相比，土木工程領域結構振動具有低幅低頻的特性，顆粒在運動過程中以滾動為主，且多顆粒在振動過程中運動狀態更加復雜。然而目前M-PD力學模型忽略了顆粒滾動對減振機理的影響。借鑒車輛工程中加速阻力的概念[16]，假設顆粒在外荷載作用下（簡諧激勵或地震動激勵）相互獨立滾動，則顆粒群對應加速阻力FJ可由式（1）表示。

圖1 兩端點慣性元件—慣容Fig.1 Two-terminal inertial element-inerter

為不失一般性，設受控結構為單自由度結構。為進一步明確慣容系數q的力學含義，圖2（a）所示為直接考慮顆粒群滾動后等效單顆粒力學模型，圖2（b）所示為對應通過慣容考慮顆粒群滾動對應的力學模型。圖中:Ms，Ks，Cs分別為結構的質量、剛度及阻尼系數；m1為顆粒群的總質量；d為碰撞凈間距；e為碰撞恢復系數；J為顆粒群轉動慣量；q為慣容系數；xg（t）為地面簡諧激勵；xs，，分別為單自由度結構的絕對位移、絕對速度和絕對加速度；x1，，分別為阻尼顆粒絕對位移、絕對速度和絕對加速度；θ為顆粒相對結構的轉動角度。等效模型中顆粒運動狀態大致可分為:未碰撞階段、碰撞階段及黏滯振動階段。依次建立對應受控結構運動方程，并利用Runge-Kutta算法求解運動方程，從而得到結構及阻尼器在地震作用下運動狀態（詳見1.1節～1.3節）。數值仿真流程如圖3所示。

圖2 等效慣性單顆粒力學模型Fig.2 Equivalent inertia single-particle model

圖3 數值仿真流程Fig.3 Flow chart of numerical simulation

1.1 未碰撞階段體系運動方程

當直接考慮顆粒滾動對阻尼器減振效果影響時（見圖2（a）），體系動能T、勢能V及非保守力做功δw分別如下所示

式中，δxs為結構對應的虛位移，δ表示變分。將式（3）～式（5）代入拉格朗日運動方程

可得

式中:r為單顆粒半徑；J=2/5∑mar2為顆粒群總的轉動慣量。為進一步明確慣容機理，基于D’Alembert得結構體系運動方程為（見圖2（b））

對比式（7）及式（8）可得，慣容系數可由顆粒群的轉動慣量得到。當不考慮顆粒之間相互作用，即認為顆粒之間相互獨立，此時對應q=J/r2=2/5m1。令式（8）化簡后

由式（9）可知，慣容q引起的等效質量為m1λ/（1+λ），對應考慮慣容后結構響應頻率為

由拉普拉斯變換得結構響應放大系數為

式中:α=ω/ωn；β=1+μλ/（1+λ）；λ=q/m1為慣質比。其中λ=0對應僅考慮顆粒平動而不考慮顆粒滾動；當認為顆粒滾動相互獨立不受影響時，λ=0.4；λ＞0.4對應考慮顆粒之間相互作用對慣容影響（顆粒間相互作用增加了顆粒滾動的難度）。

λ及附加質量比μ對結構頻率比ω*n/ωn影響，如圖4所示。當μ=6%時，λ對結構絕對位移及顆粒相對位移放大系數頻響曲線影響，如圖5所示。圖中l1對應原結構位移放大頻響曲線，l2對應附加6%質量后位移放大頻響曲線。由圖像可知，隨著μ的增加，/ωn受λ增加影響的靈敏度逐漸增加。當μ=6%時，隨著λ的增加，結構位移頻響曲線逐漸左移并最終與曲線l2重合（即顆粒與腔體之間不發生相對滾動）；顆粒與結構之間相對位移逐漸降低。

圖4 考慮慣容后/ωn隨μ及λ變化規律Fig.4 Change rule of/ωn withμandλ

圖5 顆粒及結構位移響應頻響曲線Fig.5 Displacement frequency response curve of particles and structures

1.2 基于經典力學法的碰撞時刻恢復模型建立

結構碰撞是一種高度復雜的非線性過程[20]，本文采用經典動力學法模擬沖擊質量塊與容器壁之間的碰撞過程。假定碰撞時接觸面與質量塊運動方向垂直，碰撞為瞬時發生的點接觸行為，所以除碰撞力外其他普通外力不計。依據碰撞恢復系數e定義及動量守恒定律可得碰撞后沖擊質量塊和結構的絕對速度為

1.3 黏滯振動時體系運動方程

研究表明，當恢復系數e及碰撞間距d較小時，顆粒碰撞過程中存在顫振及黏滯振動現象[21]。顫振即自由質量在短時間內與主系統之間發生多次甚至無窮次碰撞情況；黏滯即自由質量與主系統同步運動的情況。為提高Runge-Kutta算法的收斂性及計算效率，本文對顆粒的黏滯振動進行簡化。當碰撞后顆粒相對速度較小時，認為顆粒與結構發生黏滯振動。此時假定顆粒與結構同步運動，顆粒僅起到附加質量的作用。當作用于顆粒上的慣性力合力（式（8））為零時認為顆粒黏滯振動結束。

2 EISM模型試驗驗證

2.1 試驗設計

為驗證力學模型的合理性，并初步探索多顆粒阻尼器減振效果，依次進行了簡諧激勵下及地震作用下單層鋼框架模型的電磁振動臺試驗，其中試驗模型的鋼板尺寸為500 mm×500 mm×5 mm；4根框架柱高為500 mm，橫截面尺寸為30 mm×5 mm；阻尼器腔體垂直于結構振動方向寬為300 mm，沿振動長度方向設置滑道控制兩側碰撞板之間的距離從而控制顆粒填充率。鋼框架整體效果及傳感器布置如圖6所示，其中鋼框架的質量為17.96 kg，剛度為5 400 N/m，結構附加阻尼比為1.3%。選擇8 mm鋼珠作為阻尼顆粒，附加質量比為6%。

圖6 試驗模型Fig.6 Test model

2.2 EISM模型試驗驗證

2.2.1 等效模型參數取值原則

Papalou及魯正等[22]基于顆粒在等效前后①質量相等；②顆粒材料特性及形狀不發生變化；③顆粒阻尼器內空隙與腔體體積比一致的原則將多顆粒等效為單顆粒沖擊阻尼器。然而該種等效方法計算空隙率的過程可能并不適應于非堆積狀態下的M-PD。結合現有等效原則，本文假設等效單顆粒質量為顆粒群總質量；顆粒群集中排布，兩側碰撞間距d取顆粒群等邊三角形排列后兩側凈間距，如圖7所示。等邊三角形排列對應顆粒群長度lt簡化計算如式（15）所示。

圖7 顆粒排布規則Fig.7 Particle arrangement rules

式中，lr為按照正方形排列對應的顆粒群長度。對應不同填充率碰撞間距取值如表1所示。

表1 對應假設條件參數取值（d/mm）Tab.1 Parameter values（d/mm）

碰撞恢復系數e的取值一方面反映了多顆粒與容器碰撞時的耗能及調諧作用；另一方面也包含了顆粒之間碰撞耗能對減振效果的影響。相比較于單顆粒碰撞恢復系數經驗取值方法[23]，多顆粒阻尼器對應碰撞恢復系數的確定具有更強的經驗性。Papalou及魯正等基于試驗研究發現，當碰撞恢復系數取0.25時能夠較好的模擬多顆粒阻尼的耗能能力，因此本文在模擬過程中同樣取e=0.25。

本文通過引入慣容考慮非碰撞過程中顆粒群滾動對減振效果的影響，進而引入考慮顆粒群慣容屬性的多顆粒等效單顆粒力學模型。為確定非堆積狀態下顆粒群對應的慣質比λ，當不考慮填充率對λ的影響時，可通過對比低填充率下的顆粒阻尼器-單自由度結構位移放大系數頻響實測曲線及EISM-SDOF系統理論位移放大系數頻響曲線，最終確定λ的取值。

2.2.2 簡諧激勵下EISM模型驗證

試驗激勵幅值設置為0.02g，調整兩側碰撞板間距依次進行30%，60%，80%，90%及100%填充率下鋼框架在不同激振頻率作用下的減振效果分析，其中填充率γ取顆粒有序正方形排列投影面積與容器底面積之比。拾取結構及振動臺臺面位移響應計算均方根位移RMS及位移均方根放大系數β作為評價M-PD減振效果指標，位移均方根及放大系數計算為

式中:xi為第i個時間步的位移響應；N為時間步數；上標s和t分別為結構和振動臺臺面的位移響應。30%～100%填充率下結構位移響應均方根放大系數隨激振頻率比變化，如圖8所示。由試驗結果分析可知:

（1）在當前試驗工況下，填充率為90%時減振效果最優，且作用頻帶較寬。共振頻率下位移均方根響應減振率為60.6%。

（2）當γ=30%時，顆粒在運動過程中幾乎無法與容器壁發生碰撞，因此減振效果較差，除此之外，與原結構頻響曲線對比顯示，附加阻尼顆粒后頻響曲線向左偏移。當γ＜90%時，隨著填充率的增加，顆粒與容器之間碰撞次數增多，顆粒之間相互作用加劇，減振效果逐漸增加，位移均方根放大系數曲線峰值隨填充率增加而降低。

（3）當γ＞90%時，隨著填充率的進一步增加，顆粒與容器之間的碰撞次數雖然有所增加，但沖擊顆粒群運動劇烈程度降低，致使顆粒群調諧及耗能能力降低，M-PD減振效果降低。

為驗證本文提出的EISM模型的有效性，一方面作者將EISM數值分析結果與試驗結果進行了對比，同時也給出了基于Papalou模型的相關分析結果。等效模型參數取值如表1所示。其中，結合2.2.1節提出的慣質比λ的確定方法，通過對比30%填充率下的顆粒阻尼器-單自由度結構位移放大系數頻響實測曲線及理論曲線（式（11）），最終確定本文試驗工況下的EISM模型的慣質比 λ=0.8，對應曲線的相關系數R2=0.96，如圖8（a）所示。假設顆粒初始位于容器一側，對應不同填充率下的頻響曲線擬合值及實測值對比如圖8所示，由圖8可知:

（1）當γ=30%時，Papalou模型認為等效單顆粒未與結構發生碰撞時，M-PD并沒有起到減振效果，因此頻響曲線與l1重合。相比較而言，本文提出的等效模型不僅考慮了顆粒滾動對減振效果的影響，并且進一步考慮了顆粒之間相互作用對慣質比λ的影響（λ=0.8），因此擬合結果更加理想。實測頻響曲線、λ=0.8及λ=0.4對應頻響曲線詳細對比顯示，對于M-PD，顆粒群在運動過程中的慣容屬性與結構運動幅值存在一定的非線性關系。當β＜15時，實測頻響曲線偏向λ=0.8曲線右側；而當β＞15時，實測頻響曲線偏向λ=0.8曲線左側。這可能是由于當結構運動幅值較小時，顆粒之間相互作用較弱，此時顆粒運動相互獨立；而當結構運動幅值較大時，顆粒之間相互作用增加，顆粒之間的及顆粒與結構之間的相互作用增加了顆粒群的慣性質量，顆粒在運動過程中處于多維度運動狀態。

（2）力學模型仿真結果表明，隨著填充率的增加，多顆粒阻尼器減振效果先增加后減小。當γ＜90%時，隨著碰撞間距的減小，等效單顆粒碰撞次數及碰撞穩定性逐漸增加，多顆粒耗能及調諧作用逐漸增加，因此減振效果逐漸增加；當γ＞90%時，雖然碰撞次數增大，但顆粒在容器內運動的劇烈程度降低，反而不利于顆粒耗能及調諧作用，因此減振效果逐漸降低。受填充率影響，Papalou模型及本文提出的EISM擬合結果均表現出了相同變化規律，但對比表明，考慮顆粒群慣容屬性后擬合結果更加合理（頻響曲線峰值及左右偏離程度）。需要注意的是，相同填充率下Papalou模型對應擬合多顆粒阻尼器減振效果更好。這一方面可能是由于碰撞間距等效原則不一致造成的；另一方面主要是因為減振機理的差異性造成的。由式（9）分析可知，慣容q引起的等效質量為m1λ/（1+λ），這增加了主體結構的主觀質量；另一方面，慣容將顆粒群的運動與主體結構的運動相關聯，其減小了顆粒與容器之間的相對運動，一定程度上降低了顆粒與容器碰撞的劇烈程度，減小了減振效果。相比較而言，Papalou模型認為相鄰兩次碰撞之間顆粒運動為勻速運動，顆粒與容器之間的碰撞更加充分，因此對應減振效果更好。

（3）當γ=100%時，雖然相比較而言，本文提出的等效模型擬合結果更加理想，但與實測數據對比仍然存在較大的誤差。這主要是由于100%填充率對應有序正方形排列投影面積與容器底面積之比。而實際顆粒在容器內的排布并不規則，顆粒在運動過程中較難進行重新排布，甚至可能存在顆粒群直接“黏附”與結構并與其產生同步運動的現象，如圖8（e）所示，因此基于等邊三角形排布計算的碰撞間距可能小于理論值。

圖8 填充率γ對減振效果影響分析Fig.8 The influence ofγon vibration reduction effect

（4）由于碰撞間距自身會導致等效單顆粒模型較強的非線性特性，因此擬合得到的頻響曲線并不光滑。需要注意的是，本文假設顆粒初始位于容器左側，即假設顆粒在運動過程中一定存在碰撞，而實際顆粒可能均勻分布于容器內，或者集中排布于容器中央。等效單顆粒初始位置對擬合結果存在一定的影響，這是等效單顆粒模型固有缺陷。如何降低該因素的影響是等效模型推廣需要考慮的重要因素。

2.2.3 地震作用下EISM模型驗證

由于地震激勵具有復雜的頻譜特性，地震作用下等效模型的驗證對于進一步認識M-PD非線性特性及模型的缺陷具有重要作用，為此我們進行了地震作用下M-PD控制下單層鋼框架的振動臺試驗。依據場地條件的不同，共選擇8條地震波作為振動臺輸入，并調整峰值加速度為0.2g，依次進行90%填充率下顆粒阻尼器振動臺試驗及模型驗證，部分結構頂層實測及預測位移曲線如圖9所示。預測結果相對誤差統計如圖10所示。

圖9 地震作用等效模型試驗驗證Fig.9 Experiment verification of equivalent model under seismic excitation

圖10 擬合結果誤差統計Fig.10 Error statistics

由圖9、圖10分析可知:

（1）通過引入慣容考慮顆粒群滾動對多顆粒阻尼器減振效果影響后，本文提出的等效單顆粒力學模型擬合結果更加理想，考慮慣容影響后（λ=0.8），位移峰值相對誤差為4.28%，均方根位移相對誤差為3.29%；當不考慮慣容影響時（Papalou模型），位移峰值相對誤差為5.43%，均方根位移相對誤差為11.40%。

（2）由于等效單顆粒模型自身存在碰撞間距引起的非線性特性，多顆粒耗能能力及調諧作用主要通過碰撞瞬時體現，單顆粒碰撞與否直接影響等效模型擬合結果。對于時程曲線復雜的地震動而言，多顆粒阻尼器減振效果預測更加復雜。

3 基于等效模型的M-PD減振性能分析

以第二章中單層鋼框架模型作為研究背景進行多顆粒阻尼器減振性能分析，首先進行簡諧激勵下碰撞間距參數尋優分析。當激勵幅值為0.02g時，考慮慣容的最優碰撞間距d=0.01 m。相同碰撞間距取值時Papalou模型及本文提出的等效模型擬合結果，如圖11所示。由圖像可知，相同碰撞間距時，考慮顆粒群慣容屬性后減振效果總體降低。在最優碰撞間距取值下，依次進行自由振動、簡諧激勵及地震作用下減振效果分析及能量分析，詳見3.1～3.3節。

圖11 位移放大系數頻響曲線（d=0.01 m）Fig.11 Frequency response curve ofβ（d=0.01 m）

3.1 自由振動

初始結構位移取0.06 m，碰撞間距取0.01 m進行6%附加質量比單層鋼框架模型自由振動減振性能分析，如圖12所示。當結構發生自由振動時，多顆粒阻尼器具有較好的減振效果，結構位移峰值呈非線性衰減，初期衰減較快，后期衰減變慢。模型對比表明，Papalou模型減振效果略優于本文提出等效模型，尤其當結構位移較小時，此時由于Papalou模型對應顆粒運動更加充分，減振效果更加明顯。

圖12 自由振動下減振效果分析Fig.12 Analysis of vibration reduction effect under free vibration

為進一步探究q對結構體系能量響應的影響，統計振動過程中能量變化規律如圖13所示，圖中Em，Ev，De，DRe依次為累加系統機械能、結構自身阻尼耗能、顆粒群與結構垂直碰撞耗能、因顆粒群轉動引起的碰撞耗能。其中Em為結構勢能Es、結構動能Ek、顆粒群動能Dk、顆粒群慣容對應轉動動能DRk之和。

圖13 結構體系能量變化規律Fig.13 Energy change rule of controlled system

式中:Ein為體系總輸入能量；vη為第η次碰撞時刻兩個碰撞質量的相對速度；n為碰撞次數。由公式分析可知DRe/De=（1+μ）λ。由圖像可知，Em呈非連續的梯形衰減；EISM對應能量比Ev∶De∶DRe=1∶0.34∶0.27；Papalou模型對應Ev∶De=1∶0.68。隨著結構振動位移降低，碰撞耗能逐漸降低，因此自由振動時受控體系能量最終主要以結構自身耗能的形式進行耗散，其中考慮慣容后結構阻尼耗能略有增加。總能量發展曲線也反映了本文建立模型求解算法的合理性。

3.2 簡諧激勵

在共振簡諧荷載下進行M-PD減振性能分析，激勵幅值為0.02g。結構位移時程曲線如圖14所示。由圖像可知，簡諧激勵下M-PD也具有較好的減振性能，其中考慮慣容對應減振率為72.18%，Papalou模型對應減振率為80.56%。考慮慣容后相同碰撞間距條件下減振效果降低。為進一步探究簡諧激勵下減振機理，進行了體系能量響應分析，如圖15所示。由圖像分析可知穩定狀態下，考慮慣容后DRe∶De∶Ev=1.07∶1.26∶1；Papalou模型對應De∶Ev=3.87∶1。 考慮慣容后，顆粒阻尼耗能約為結構自身耗能2.33倍。相比較而言，Papalou模型高估了顆粒耗能能力（顆粒阻尼耗能約為結構自身耗能3.87倍）。

圖14 簡諧激勵下位移時程曲線（ω=ωn）Fig.14 Displacement time history curve under harmonic excitation（ω=ωn）

圖15 簡諧激勵下能量變化規律Fig.15 Energy change law under harmonic excitation

3.3 地震作用

選取地震記錄El Centro、Kobe及Taft波作為地震激勵，并將地震波加速度峰值統一調整為0.2g，進行地震作用下M-PD減振效果分析，El Centro波及Taft波作用下受控結構及原結構位移時程曲線，如圖16所示。特征值統計如表2所示。分析可知，M-PD對結構最大位移響應及均方根位移響應都具有一定的減震效果。均方根位移響應減震效果優于最大值位移響應減震效果。且相同條件小，考慮顆粒群慣容屬性后多顆粒阻尼器減振效果降低。其中Kobe波作用下結構最大位移存在放大現象。

表2 地震作用下受控結構減振效果分析Tab.2 Analysis of vibration reduction effect of controlled structure under earthquake

圖16 多顆粒阻尼器減震效果分析Fig.16 Damping effect analyses of M-PD

為進一步探究地震作用下M-PD減振機理，進行減振體系能量響應分析，從而得到地震作用下Em，Ev，De，DRe的累加耗能曲線，El Centro波及Taft波作用下減振體系能量響應時程曲線分別如圖17和圖18所示。由圖像分析可知，初期多顆粒阻尼器動能及勢能相對較小，未能發揮較好的效果，減振效果較差，隨著結構振動響應的發展，阻尼器產生劇烈運動，充分發揮了減振效果；與El Centro波及Kobe波相比，Taft波作用下，系統機械能發展較為穩定，因此減振效果較為理想，相比之下，El Centro波及Kobe波在峰值地震波來臨之前，結構動能、結構勢能、阻尼器動能及勢能都出現了極低點。由于M-PD在耗能過程中同樣具有時間延遲效應，因此阻尼器未能充分發揮作用，位移均方根及峰值位移減震效果受到影響，這一減震規律與TMD減震規律相近。地震作用下結構自身耗能、顆粒垂直碰撞耗能、因慣容引起的碰撞耗能比例如表3所示。分析可知，在不同地震波作用下，各耗能機制所占比例有所變化，但總體而言，碰撞耗能高于結構自身耗能。考慮慣容后，由于結構等效質量增加，增加了結構相對位移，且顆粒耗能能力降低，因此結構自身耗能占比略有提升。

圖17 El Centro波Fig.17 El Centro record

圖18 Taft波Fig.18 Taft record

表3 耗能成分對比Tab.3 Comparison of energy consumption %

4 結 論

（1）基于EISM的未碰撞階段MPD-SDOF理論分析結果表明，慣容的引入能夠體現多顆粒阻尼器與受控結構的質量耦合效應。M-PD對應的慣容q引入的耦合質量為μλMs/（1+λ），這導致位移放大系數頻響曲線向左偏移，且隨著μ的增加，/ωn受λ增加影響的靈敏度逐漸增加。

（2）簡諧激勵下填充率對減振效果影響試驗研究表明，當γ=30%，雖然顆粒未與結構產生明顯碰撞，但是位移頻響曲線偏向原結構頻響曲線左側。隨著填充率的增加，阻尼顆粒群耗能能力及調諧作用先增加后減小，對應顆粒阻尼減振效果先增大后減小，當γ=90%時減振效果更優。

（3）EISM不僅考慮了顆粒群滾動對減振效果的影響（λ=0.4），并且能夠進一步考慮顆粒之間相互作用對慣質比λ的影響（λ=0.8）。簡諧激勵及地震作用下等效模型試驗驗證綜合表明，相比較于現有Papalou模型，EISM能夠更加合理的反應M-PD的減振機理及減振效果。本文提出的非堆積狀態下等效模型參數取值原則具有更好的適應性。

（4）基于等效模型的M-PD減振效果分析表明，M-PD具有較好的減振性能。簡諧激勵及地震作用下能量變化規律分析表明碰撞耗能為體系耗能的主要成分，其中DRe/De=（1+μ）λ。ESIM與Papalou模型減振效果對比表明，相同碰撞間距下，如果不考慮慣容（顆粒滾動）的影響，可能會高估M-PD減振效果，且能量變化規律分析結果顯示，考慮慣容后提高了結構自身阻尼耗能占比。