一種單參變量Bernstein序列及其在含變分數階非線性邊界值問題中的應用

王春秀，周星德，方立雪，金奕潼，石賢增

（1.河海大學 土木與交通工程學院，南京 210098；2.合肥工業大學 土木與水利工程學院，合肥 230009）

分數階微積分也稱為非整數階微積分，當階次為常數時，稱為常分數階，當階次為函數時，稱為變分數階，對于許多材料（如鹽巖、聚合物等）來講，其應力-應變關系采用分數階描述更為合理[1-2]，相應的變分數階振動控制研究漸漸興起[3-4]。振動控制從本質上來講是求解一個邊界值問題。有關非線性邊界值問題的研究成果較多，但含分數階的非線性邊界值問題（nonlinear boundary value problems，NBVP）研究還較少，目前主要有三種處理方式:其一，采用線性逼近的方式，Jia等[5]分別采用準牛頓法和簡化復制核方法把含分數階的NBVP近似為線性系統，通過迭代方式獲得逼近解，其中，分數階階次為常數，且計算量偏大；其二，對分數階進行近似處理，即把分數階用整數階多項式近似表示，進而變為普通的NBVP非線性邊界值，然后通過常規的數值方法進行求解，Matteo等[6]根據廣義微分變換法把RL分數階變為高階整數階表示，進而解出NBVP的解，但由于高階微分的出現，提供足夠的邊界值是較為困難的；其三，通過攝動法求解，即對非線性部分采用假設解可以按小參數展成冪級數，可得各級近似方程，進而對級數進行截斷得到原方程的漸進解[7]。

對于含分數階的NBVP，目前研究側重于通過重構的方式把分數階近似表示為整數階多項式形式，諸如移位或加權Jacobi多項式[8]、Chebyshev多項式[9]、Bernstein多項式[10-12]等，由于分數階，尤其是變分數階，其表達式復雜，采用常規的正交多項式逼近需要項數較多，可采用改進多項式，如加權Jacobi多項式、超Bernstein多項式等，其處理方式就是在原多項式定義的基礎上，引入參變量以加速收斂。Hassani等[13-14]提出的超Bernstein序列（transcendental Bernstein series，TBS），其n+2維多項式構造如下:引入n個參變量，前二項為恒定項，從第三項始，每一項都表示為n個參變量的函數。這種模式對問題的求解無疑是有利且精度較高，但計算難度較大。此外，在目標函數求解方面，目前多采用含變分數階的NBVP表示為積分形式，附加邊界值約束，變為含約束的優化問題，由于非線性的存在，較大可能會出現多解現象，且優化難度也較大。

針對上述存在缺陷，本文以含變分數階的非線性邊界值問題為研究對象，提出一種單參變量Bernstein序列（single Bernstein sequence，SBS），即，從Bernstein序列第三項始，每一項附加一個參變量。相對于TBS，雖然引入的總參變量個數不變，但Bernstein基將變簡單，相應的計算難度也會下降。此外，對于含約束的優化問題，若采用諸如拉格朗日乘子法，求解較為困難。為此，本文采用高斯勒讓德積分近似目標函數，仿真結果顯示此種處理方式可減少優化計算量，且可滿足計算精度要求。具體過程如下:首先，引入單參變量構造SBS，進而把變分數階項轉換為SBS為基的多項式表示；其次，對于含積分的目標函數，用高斯勒讓德積分近似表示；再次，考慮到非線性優化時存在多解現象，引入遺傳算法以期同時獲得所有次優解，進而以次優解作為初始值，采用MATLAB優化模塊獲得最優解；最后，給出了二個仿真實例，結果顯示本文方法求解的精度與超Bernstein多項式一樣，且均比采用同樣維數的Bernstein多項式精度高。

1 含變分數階邊界值問題及Bernstein多項式

設含變分數階NBVP為

式中:G（·）為非線性算子；α，a，b，c，f均為時變參數；τ為時間t的函數，并且假設在[0，1]區間二階可微；1＜α＜2；u0，u1分別為兩端邊界值參數；為在Caputo定義下的變分數階微分，表示為

當u（t）=tm時，

m次Bernstein多項式（Bernstein polynomials，BP）的通項為

2 單參變量Bernstein序列

本文提出的單參變量Bernstein序列，是在Bernstein多項式的基礎上，引入參變量si，其通項為

這里需要注意的是，不同于Hassani等提出的TBS，本文提出的SBS，從第三項起，每一項均包含1個參變量。

以i=4（m≧4）為例:

SBS

TBS

其中，

有關SBS收斂性證明如下:

定理1假設μ是函數J在Cn[0，1]內的最優解，若μn是J在Cn[0，1]∩Y內的最優解，則有[15]

定理2假設g（t）∶[0，1]→R是一個連續函數，對于任意t∈ （0，1）且 ε＞0，存在一個SBS，使成立。證明如下:

給定一個任意數ε，利用維爾斯特拉定理[16]，通過多項式有

因此，此處令

構造一個實數數列{si，n}，當n→∞時，參變量si，n→si，這就說明，當n→∞時，tsi，n→1/ci，其中ci=（i！ （mi）！）/（m！ （1-t）m-i）。 對 于 任 意 的 ε＞0， 有

存在v=max{N0，N1，…，Nm∈N}， 使

證明完畢。

3 數值算法

以SBS為基函數，u可近似表示為

式中:CT=[c0c1…cm]為待定常數；Sm（t）=[1 t S2，m（t）S3，m（t）…Sm，m（t）]T。

對于Sm（t）的變分數微分根據式可近似為矩陣形式，為

同理，對于Sm（t）的一階微分，可近似表示為，其中為

根據變分數階和一階微分表示，可以得到下列展開式

將式（9）代入式（1），得

目標函數定義為

也可以取目標函數為

其中，

優化的約束條件為式（1）中的邊界條件，為

目標函數J1計算相對簡單，但在優化過程中，由于絕對值的存在，err曲線會出現尖點，優化時可能出現奇異，適合于不太復雜的非線性邊界值問題；目標函數J2計算較為復雜，但在優化過程中，err曲線不會出現尖點，優化時出現奇異概率較小，適合于較為復雜的非線性邊界值問題。

采用拉格朗日乘子法求解非線性邊界值較為困難，因此，本文采用（q+1）點高斯勒讓德積分形式對式（11a）、式（11b）進行簡化

式中:δk為勒讓德多項式的零點；wk為相應的權值。

4 遺傳算法

考慮到非線性優化時存在多解現象，而常規優化得到的最優解往往與初始值相關，為避免漏失最優解，本文引入遺傳算法以期同時獲得所有次優解，進而將次優解作為初始值代入MATLAB優化模塊獲得所有最優解。

考慮到本文優化約束中含有自變量，把其作為個體，在遺傳算法中，只能先確定自變量所在區間[d，e]，

但這個區間不易確定，可以先選擇大的范圍，根據優化結果來縮小區間。在個體產生方面，為簡化計算，此處，直接采用十進制數產生，為

式中:Rand為介于0～1的隨機數；pi為第i個自變量。

交叉和變異均采用式（15）產生新的個體，適應度取

5 算例分析

本章將通過兩個算例證明上述所提算法的精確性和可行性。在ti∈[0，1]上的絕對誤差值定義為

例1

其中，

采用m=3的SBS為基函數，以式（11a）作為目標函數形式，通過5點高斯勒讓德積分方法對該問題進行近似。

其中，c0，c1，c2，c3和s2，s3均為未知量。

由hij組成的系數矩陣H可表示為

因此，近似解可表示為u（t）≈CTS3（t）。

根據式（7），變分數階微分算子矩陣中K為

根據式（8），一階微分算子矩陣中Z為

式（14）表示的邊界條件為

根據以上計算可得到本例的目標函數

其中，

利用遺傳算法，初始時各未知變量取值區間為[-300，300]，可以通過優化結果來縮小各個變量區間。所有變量的初始群體均為200，考慮到遺傳算法的優化結果僅僅作為采用MATLAB優化的初始值，這里，誤差取為2.0，限于篇幅，此處僅列出m=3時各變量最終取值范圍:s2為[-20，20]，s3為[-1，1]，c1為[-0.5，0.5]，c2為[-1，1]，根據邊界條件可知c0=0，c3=1-c1。由遺傳算法得到的部分結果（見附表1）確定MATLAB優化模塊中所需要的初值，此處取初值為:s2=0.550 6，s3=-0.612 9，c0=0，c1=-0.081 1，c2=-0.050 1，c3=1.081 1從而得到未知參變量最優解

表1 不同m值SBS和BP的絕對誤差Tab.1 The absolute errors of SBS and BP to different m

為了對比分析，筆者還用同樣的優化方式求解該例題在BP基函數下的近似解。當t在[0，1]內時，取不同的m值，通過SBS方法和BP方法求得的近似解與精確解的絕對誤差情況見表1。使用BP法時產生的絕對誤差曲線見圖1（m=3（圖1（a））、m=5（圖1（b））。結果表明，在SBS方法下的結果比使用BP方法精確度更高。

圖1 采用BP近似時的絕對誤差Fig.1 The absolute errors when using BP approximation

例2變分數階非線性Troesch邊界值問題

當α=2時，精確值在文獻[17-18]中給出。針對不同的m和α值，以式（14b）作為目標函數，通過7點高斯勒讓德積分方法對該問題進行近似。圖2給出了m=4時，α=2，θ=0.5（圖2（a））和 α=2，θ=1（圖2（b））的近似曲線和精確點值的吻合情況。圖3給出了m=4，θ=0.5（圖3（a））和m=4，θ=1（圖3（b））時，α函數分別取1+0.1cos t2，2-0.2exp（-10t），2-（sin t）2/5，2的近似曲線。結果表明，本文提出的SBS數值方法精度較高，且無論α函數如何選取，u的近似曲線都很穩定，說明此方法穩定性較好。

圖2 α=2時SBS近似解與精確點對比Fig.2 The SBStechnique compared with the exact solution withα=2

圖3 不用α函數時SBS近似曲線Fig.3 The approximate solution based on SBSto different functionsα

6 結 論

本文在Bernstein多項式和Hassani等提出的超Bernstein序列的基礎上，提出了單參變量Bernstein序列，以SBS為基函數解決非線性變分數階邊界值問題，得出如下結論:

（1）所提出的SBS，從第三項目始，每項僅含有一個參變量si，和Hassani等相比計算量大幅減少。

（2）針對積分表示的優化目標，利用高斯勒讓德積分方法近似減少計算量，從實例結果來看，精度也可滿足。

（3）考慮到非線性優化時存在多解現象，通過引入遺傳算法同時獲得所有次優解，進而以次優解作為初始值，采用MATLAB優化模塊獲得最優解，此種處理方式可有效避免漏失最優解現象。

（4）算例分析表明引入參變量可擴展BP的實用性。

附錄A

表A.1 遺傳算法所得的部分次優解及適應度Tab.A.1 Partial sub-optimal solutions and fitness of using genetic algorithm